蔣小平,陳曉飛

(中國礦業(yè)大學(北京)機電與信息工程學院，北京 100083)

1 引言

魯棒性原是統(tǒng)計學中的一個專門術語，20 世紀70年代初開始在控制理論的研究中流行起來，用以表征控制系統(tǒng)對特性或參數(shù)攝動的不敏感性[1]。由于魯棒性這一性質，隨著在工程中對控制系統(tǒng)的精度以及穩(wěn)定性的要求逐漸嚴格，魯棒控制便早已成為控制屆的重要問題，在控制理論課程中的地位也是愈來愈重要。極點配置作為改善線性時不變系統(tǒng)性能指標的常用技術方法之一，其魯棒極點配置的相關問題研究相應有著很重要的教學和研究意義。關于魯棒極點配置問題的研究，為了方便魯棒系統(tǒng)設計，要引入了一些魯棒指標，進而提出了各種最優(yōu)魯棒極點配置方法。但遺憾的是，大多指標較難計算，且最優(yōu)魯棒極點配置方法具有一定的局限性?？紤]特征系數(shù)靈敏度計算簡單，本文把加權后的特征系數(shù)靈敏度作為魯棒指標，目標函數(shù)的極小化采用標準的具有二次收斂性質的參數(shù)最優(yōu)化方法。并且本著控制課程教學的目的，對原理進行詳細講解，設計實例驗證算法的可行性。

2 線性系統(tǒng)

線性系統(tǒng)通常因某些不確定因素而無法精確建立，這就導致了系統(tǒng)的不確定性[2]。

具有不確定參數(shù)的線性時不變多變量系統(tǒng)可用下列狀態(tài)方程描述[3-5]：

式中，x(t)∈Rn為狀態(tài)向量；u(t)∈Rm為輸入向量；β∈D∈Rr為不確定性參數(shù)向量(D 為β 的取值區(qū)域)，其名義值為β0；A(β)∈Rn×n，B(β)∈Rn×m是依賴于不確定性參數(shù)向量β 的系統(tǒng)矩陣和控制矩陣。

系統(tǒng)的特征多項式為：

特征系數(shù)靈敏度定義為[6]：

3 魯棒極點配置

對于(1)式的線性時不變多變量系統(tǒng)，設計一個定常狀態(tài)反饋控制器即可使系統(tǒng)具有期望的極點，從而滿足系統(tǒng)的性能指標。

構成控制：

此時閉環(huán)系統(tǒng)變?yōu)椋?/p>

式中，K∈Rm×n為狀態(tài)反饋增益矩陣；w∈Rm為外輸入向量。

當不確定參數(shù)向量處于其名義值，即β=β0時，加了定常狀態(tài)反饋器的系統(tǒng)極點精確的位于期望極點。當參數(shù)β 偏離名義值時，應保證系統(tǒng)的極點盡可能小的偏離期望極點，這就是魯棒極點配置。一般的方法是極小化閉環(huán)極點對不確定參數(shù)向量β 的靈敏度來實現(xiàn)。根據(jù)文獻[7-8]可知，極小化特征系數(shù)對不確定參數(shù)向量β 變化的靈敏度也可以有效實現(xiàn)魯棒極點配置[5]。

β=β0時，假設[A(β0)，B(β0)，]能控，則根據(jù)極點配置原理知識可知，必定存在狀態(tài)反饋矩陣為K 的定常狀態(tài)反饋器，使該閉環(huán)系統(tǒng)具有期望極點。同時，若B(β0)的秩大于1時，參數(shù)在名義值狀態(tài)下，可使閉環(huán)系統(tǒng)具有期望極點的狀態(tài)反饋矩陣K具有無窮多個，這些K值共同構成一個集合。此集合中的每個K值對應的系統(tǒng)都有著不同的特征系數(shù)靈敏度，故只需取由特征系數(shù)靈敏度組成的某一式子作為性能指標，集合中的K值作為自變量，變化K值，使這一性能指標取得最小，就能很好的實現(xiàn)系統(tǒng)的極點魯棒性。

假設閉環(huán)系統(tǒng)的期望極點均為單極點，取由特征系數(shù)靈敏度組成的性能指標

關于加權矩陣Ni的選取如式(7)所示：

式中，θi為與不確定參數(shù)βi變化范圍的寬度成正比的正數(shù)，為期望極點對特征系數(shù)變化的靈敏度矩陣，如式(8)所示，其上標H表示共軛轉置[9]。

不難證明：

Re{Ni}表示取實部。

故此魯棒極點配置問題轉化成了有約束的最優(yōu)化問題，如式(11)。

對此最優(yōu)化問題，可采用外部罰函數(shù)將其轉化為無約束最優(yōu)化問題，轉化后如式(12)。

外部罰函數(shù)的具體步驟如下：

(1)初始化，給出K0初始值，懲罰因子Mi(1)的值和終止界限ε的值，令x=1。

(2)Yx-1為初始值，采用DFP算法求式(12)的極小值點Yx。

4 設計實例

假設具有參數(shù)不確定性線性系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣和控制矩陣分別為

其中β1∈[0.8，1.2]，β2∈[1.9，2.1]，β3∈[0.7，1.3]。各不確定參數(shù)名義值為β1=1，β2=2，β3=1。閉環(huán)系統(tǒng)的期望極點分別為-1，-2，-1±j。

設狀態(tài)反饋增益矩陣如式(14)，加了狀態(tài)反饋控制器后的系統(tǒng)的特征方程式如式(15)

根據(jù)期望的閉環(huán)極點求出對應的特征方程如式(16)

通過對特征系數(shù)靈敏的計算，求出其目標函數(shù)為式(17)

利用外部罰函數(shù)對此目標函數(shù)求解[10]，可得到極小值點為Yx=0.8895，此時的狀態(tài)反饋增益矩陣為：

未進行極點配置的系統(tǒng)零極點圖如圖1所示，經(jīng)過魯棒極點配置后的系統(tǒng)的零極點圖如圖2所示，由圖可知，閉環(huán)系統(tǒng)極點可以很好的置于期望極點處。

圖1 原系統(tǒng)零極點分布圖

圖2 魯棒極點配置后系統(tǒng)零極點分布圖

若將不確定變量中變化范圍最大的β3由其名義值1 變?yōu)?.3，則此時系統(tǒng)的閉環(huán)零極點分布圖如圖3所示，圖中可以看出系統(tǒng)的閉環(huán)極點并沒有較大的偏離期望位置，故此時系統(tǒng)的極點具有相對較好的魯棒性。

圖3 β3為1.3時系統(tǒng)零極點分布圖

5 結束語

本文利用加權的特征系數(shù)靈敏度作為魯棒指標，介紹了一種魯棒極點配置的方法，通過實例計算結果表明，高階系統(tǒng)通過此算法可以得到理想的魯棒極點配置效果，這也是該方法的顯著優(yōu)點。介紹該方法并且設計實驗，對加深學生對相應的現(xiàn)代控制原理課程的重點內容的理解有著良好的促進作用，同時，理論聯(lián)系實際，在提高學生學習和探究興趣等方面也有著較好的促進作用。此方法中關于特征系數(shù)靈敏度組成的性能指標和式(7)所表示的加權矩陣還可進一步完善，實現(xiàn)系統(tǒng)更好的魯棒性，這也為同學們留下了思考空間。