王建松，許鋒，羅雄麟

（中國石油大學(xué)（北京）自動化系，北京 102249）

引 言

化工過程一般為多變量系統(tǒng)，即存在著多個被控變量和多個操縱變量。隨著各種化工過程先進工藝的快速發(fā)展，越來越多的生產(chǎn)過程被構(gòu)造成多變量控制系統(tǒng)[1]。與單變量系統(tǒng)相比，多變量系統(tǒng)輸入變量和輸出變量之間一般存在一定程度的耦合，這就為多變量系統(tǒng)的控制器設(shè)計帶來了不小的困難。對于多變量系統(tǒng)，設(shè)計一個包含所有被控變量和操縱變量的集中控制系統(tǒng)是最為理想的，但是這樣的控制設(shè)計方案復(fù)雜，難以實現(xiàn)，不易維護，可靠性差。因此，考慮到底層控制系統(tǒng)安全可靠的要求，工業(yè)現(xiàn)場的底層控制系統(tǒng)仍然主要采用常規(guī)分散PID 控制[2?3]，即將多變量系統(tǒng)分解為多個單變量子系統(tǒng)，分別設(shè)計PID 控制回路，組成分散的多回路PID 控制系統(tǒng)。分散多回路PID 控制因其結(jié)構(gòu)簡單、設(shè)計和整定的簡便性以及良好的魯棒性等優(yōu)點，從而在工業(yè)過程控制領(lǐng)域占有較大的比重。

在進行多回路PID控制系統(tǒng)設(shè)計時，首先確定操縱變量和被控變量的控制回路配對，然后將各PID控制回路視為單變量系統(tǒng)，整定PID 控制參數(shù)，多回路PID 控制系統(tǒng)設(shè)計應(yīng)考慮多變量系統(tǒng)的操縱變量和被控變量之間存在的相互耦合作用[4]，控制系統(tǒng)設(shè)計應(yīng)使控制回路間的耦合作用盡可能小。Bristol[5]提出了相對增益陣(relative gain array,RGA)，Wang 等[6]將其推廣到高維系統(tǒng)。在RGA中應(yīng)當(dāng)盡可能選擇大于零且接近于1的元素對應(yīng)的輸入輸出配對，即可保證控制回路之間的耦合最小化。為保證閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性，Niederlinski[7]提出了尼德林斯基指數(shù)(Niederlinski index,NI)，與RGA配合使用，篩選不合適的控制回路配對。由于RGA只是利用系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)信息，忽略了系統(tǒng)的動態(tài)特性，因此在其基礎(chǔ)上提出了各種基于動態(tài)信息的改進方法。RGA的動態(tài)改進方法大體可以分為：基于開環(huán)階躍響應(yīng)的時域RGA[8?9]、基于頻率特性的頻域RGA[10?11]、基于最優(yōu)閉環(huán)控制器的動態(tài)RGA[12?13]、穩(wěn)態(tài)信息與動態(tài)信息結(jié)合的組合RGA[14?17]。雖然RGA及其改進方法在一定程度上解決了常規(guī)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計問題，但是控制系統(tǒng)性能還與控制器參數(shù)有關(guān)。由于系統(tǒng)內(nèi)部耦合作用的存在，其他回路的控制器參數(shù)必定對本回路的等效被控對象產(chǎn)生影響[18]。在實際工業(yè)現(xiàn)場，由于種種工藝需求，操作人員往往需要對控制回路進行手動/自動切換。當(dāng)其他回路開環(huán)/閉環(huán)切換時，本回路的等效被控對象必然發(fā)生變化，本回路的PID控制器參數(shù)應(yīng)當(dāng)進行相應(yīng)的調(diào)整以適應(yīng)本回路被控對象動態(tài)特性的變化，才能保證穩(wěn)定性并維持一定的控制性能。

本文將利用現(xiàn)代頻域法，從多變量系統(tǒng)對角優(yōu)勢下正Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)的角度考慮，進行控制回路模式切換時的控制器參數(shù)校正工作。目前現(xiàn)代頻域法的控制系統(tǒng)設(shè)計從單變量系統(tǒng)推廣到了多變量系統(tǒng)[19?20]。Nyquist 陣列設(shè)計法是現(xiàn)代多變量頻域設(shè)計法中最成熟的一種方法。Rosenbrock 等[21?23]論述了Nyquist陣列設(shè)計法的基本思想，為后續(xù)研究提供了基本研究方法。在此基礎(chǔ)上，McMorran[24?25]提出了逆Nyquist 陣列設(shè)計的擴展方法。Ho 等[26]和Chen 等[27]提出了正Nyquist 陣列設(shè)計方法。Nyquist陣列設(shè)計法往往與Gershgorin 帶結(jié)合使用，Gershgorin 帶可以同時判斷控制系統(tǒng)的對角優(yōu)勢和閉環(huán)穩(wěn)定性，Chen 等[28]利用Gershgorin 帶定理對多變量系統(tǒng)完成了PID控制器參數(shù)設(shè)計。

常規(guī)PID 控制的整定算法一般只是針對單變量系統(tǒng)。Luyben[29]提出了著名的BLT 方法，即利用Z?N 規(guī)則來調(diào)整PID 參數(shù)，Ho 等[30]提出了基于增益和相角裕量的設(shè)計方法。多變量分散PID 控制中控制回路模式切換時控制器參數(shù)的校正問題尚無研究。

本文基于對角優(yōu)勢下正Nyquist 穩(wěn)定判據(jù)，從Gershgorin圓邊界點的角度分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，根據(jù)閉環(huán)穩(wěn)定性進一步確定控制器增益的調(diào)整方向及程度，以保證控制回路在切換前后的閉環(huán)穩(wěn)定性。

1 控制回路模式切換問題

對于一個存在內(nèi)部耦合的多變量化工過程，考慮到化工過程多回路PID 控制系統(tǒng)模式切換時對實時性和實際工業(yè)現(xiàn)場操作人員對可操作性的要求，本文采用了工業(yè)過程控制中常用的一階慣性純滯后的傳遞函數(shù)矩陣G(s)形式，如式(1)所示。

其中

式中，s為復(fù)變量。

式(1)為系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)點附近的線性化模型，具有形式簡單、適用性強、易于獲取的特點，并且在定值控制系統(tǒng)中各變量都不會偏離穩(wěn)態(tài)點太遠，因此精度也能滿足控制系統(tǒng)設(shè)計要求。

工業(yè)現(xiàn)場經(jīng)驗豐富的工藝人員很容易獲取這種一階慣性純滯后模型，他們一般都能知曉各輸入變量對各輸出變量的靜態(tài)增益k，以及當(dāng)輸入變量發(fā)生變化后輸出變量多長時間才能變化和多長時間到達穩(wěn)定狀態(tài)，分別對應(yīng)純滯后時間τ和動態(tài)響應(yīng)時間ts，由此可以計算得到時間常數(shù)T（動態(tài)響應(yīng)時間ts減掉純滯后時間τ后再除以3或4）。

對于由式(1)表示的化工過程，其控制方式可以分為兩種：集中控制和分散控制。

集中控制采用單個控制器，變量之間僅一種配對方式，其控制效果較好，但直接設(shè)計集中控制器的難度較大。一般設(shè)計單個解耦器和多個控制器作為集中控制器[31]，變量之間采用對角配對方式，控制效果與解耦效果相關(guān)，其控制結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 多變量解耦控制Fig.1 Multivariable decoupling control

分散控制采用多個單變量控制器，變量配對方式有多種，控制效果稍差，但其結(jié)構(gòu)簡單、設(shè)計難度小、易于維護以及具有良好的魯棒性能等，因此應(yīng)用比較廣泛[32?33]，其控制結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 多變量分散控制Fig.2 Multivariate decentralized control

本文所研究的控制系統(tǒng)為分散PID 控制系統(tǒng)。下面以雙輸入雙輸出的2 × 2被控過程為例，分析控制回路模式切換時系統(tǒng)的耦合問題對控制回路的閉環(huán)影響。例如，精餾塔就是典型的2 × 2系統(tǒng)，塔頂冷回流量和塔底再沸蒸汽量就是兩個操縱變量，塔頂溫度和塔釜溫度為兩個被控變量，操縱變量和被控變量之間存在比較嚴重的耦合。眾所周知，當(dāng)采用常規(guī)PID控制器時，塔頂溫度和塔底溫度是很難同時進行控制的，當(dāng)塔頂溫度與冷回流量組成控制回路時，塔底溫度就不能作為被控變量了。具體原因如下。

假設(shè)2 × 2系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣為

當(dāng)僅第一個控制回路投入自動模式，如圖3 所示，此時u2不發(fā)生變化，此時u1對y1控制回路的等效被控對象的傳遞函數(shù)為g11(s)。

圖3 僅第一個控制回路閉合時系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.3 Block diagram of the system structure when only the first control loop is closed

當(dāng)?shù)诙€控制回路也投入自動模式(圖4)，由于系統(tǒng)內(nèi)部的耦合作用，輸入u1除了通過g11(s)影響輸出y1，還通過g21(s)影響輸出y2，輸出y2通過閉環(huán)的第二個控制回路影響輸入u2，輸入u2通過g12(s)影響輸出y1，此時

圖4 第二個控制回路閉合時系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.4 Block diagram of system structure when the second control loop is closed

u1對y1控制回路的等效被控對象的傳遞函數(shù)中除了第二個控制回路開環(huán)時的等效傳遞函數(shù)g11(s)，還包含了輸入u1、u2和輸出y1、y2之間的相互耦合影響g12(s)、g21(s)，第二個控制回路的開環(huán)被控對象g22(s)和控制器c2(s)。y1和u1之間的開環(huán)傳遞函數(shù)可用虛線框中部分來表示。因此，由于系統(tǒng)內(nèi)部耦合的影響，當(dāng)其他回路進行手動/自動模式切換時，本回路的等效被控對象會發(fā)生較大的變化，原有的控制器參數(shù)如果不進行及時的調(diào)整，控制性能會下降，甚至?xí)斐烧麄€系統(tǒng)的不穩(wěn)定。隨著系統(tǒng)規(guī)模的增大，其耦合程度也將加劇，每增加一個控制回路，將會對更多已設(shè)計完成的控制回路產(chǎn)生影響，已設(shè)計好的控制器大概率上無法維持控制回路模式切換后整個控制系統(tǒng)的性能。

2 全局Nyquist穩(wěn)定判據(jù)

對于多變量系統(tǒng)的多回路分散常規(guī)控制系統(tǒng)，由于各控制回路之間存在相互影響，控制系統(tǒng)不能僅考慮各個局部的控制回路的穩(wěn)定性，而應(yīng)從整個系統(tǒng)的角度研究控制回路模式切換時的穩(wěn)定性。下面基于對角優(yōu)勢下正Nyquist 穩(wěn)定性判據(jù)，從Gershgorin 圓邊界點出發(fā)定量分析各個控制回路在模式切換前后的穩(wěn)定性變化程度的方法。

2.1 對角優(yōu)勢

若G(s)在包圍右半s平面的初等D 形圍線上滿足以下關(guān)系

則稱G(s)具有行對角優(yōu)勢。

若G(s)在包圍右半s平面的初等D 形圍線上滿足以下關(guān)系

則稱G(s)具有列對角優(yōu)勢。

G(s)滿足行對角優(yōu)勢或列對角優(yōu)勢都稱其具有對角優(yōu)勢。

2.2 Gershgorin圓

對于傳遞函數(shù)矩陣G(s)，以其對角元素gii(s)在復(fù)平面s上的對應(yīng)點為圓心，以其第i行的行非對角元素模之和di為半徑作圓，此圓稱為第i行Gershgorin圓。以其第i列的列非對角元素模之和d′i為半徑作圓，此圓稱為第i列Gershgorin圓。對于n階傳遞函數(shù)矩陣，其具有n個行Gershgorin圓和n個列Gershgorin圓。

行Gershgorin圓的表達式為

列Gershgorin圓的表達式為

隨著s的變化，這些圓掃出n個帶狀區(qū)域，稱為行(或列)Gershgorin帶。

2.3 多變量系統(tǒng)正Nyquist穩(wěn)定判據(jù)

多變量控制系統(tǒng)的一般結(jié)構(gòu)如圖5所示。

圖5 系統(tǒng)的控制結(jié)構(gòu)Fig.5 System control chart

圖中，r、e、y分別為被控變量給定值、控制偏差和系統(tǒng)輸出；G(s)為被控過程傳遞函數(shù)矩陣；對于多回路PID 控制器，C(s)為對角矩陣形式的控制器；F為反饋系數(shù)矩陣，為滿秩常數(shù)對角矩陣。

令Q(s)為前向通道傳遞函數(shù)矩陣Q(s) =G(s)C(s) =[qij(s)]n×n，由 于 基 于RGA 方 法 進 行 控制回路配對后G(s)一般為對角優(yōu)勢矩陣，C(s)為對角矩陣，因此Q(s)大概率為對角優(yōu)勢矩陣。

基于開環(huán)對角優(yōu)勢系統(tǒng)Q(s)，結(jié)合Gershgorin 圓的概念，多變量系統(tǒng)的正Nyquist穩(wěn)定判據(jù)如下。

(1)諸qii(s)的行Gershgorin 帶或列Gershgorin 帶不包含對應(yīng)的臨界點(?f?1i,j0)在內(nèi)。

(2)諸qii(s)的行Gershgorin帶或列Gershgorin帶關(guān)于臨界點(?f?1i,j0)的逆時針圍繞周數(shù)之和等于Q(s)的開環(huán)特征多項式在右半s平面的零點個數(shù)no，即

如果Q(s)為開環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，即Q(s)的開環(huán)特征多項式在右半s平面的零點個數(shù)為零，并且反饋系數(shù)矩陣F為單位陣，則穩(wěn)定判據(jù)(2)改為：諸qii(s)的行Gershgorin帶或列Gershgorin帶不繞過臨界點(?1,j0)。

上述對角優(yōu)勢下正Nyquist穩(wěn)定判據(jù)中，(1)為對角優(yōu)勢判據(jù)，判斷Q(s)是否對角優(yōu)勢；(2)為穩(wěn)定性判據(jù)，判斷Q(s)滿足對角優(yōu)勢條件下是否穩(wěn)定。該判據(jù)為一充分性判據(jù)。當(dāng)系統(tǒng)滿足上述判據(jù)時，一定為穩(wěn)定系統(tǒng)；當(dāng)某一系統(tǒng)不滿足對角優(yōu)勢時，也可能為一穩(wěn)定系統(tǒng)。該判據(jù)與系統(tǒng)穩(wěn)定性的邏輯關(guān)系可用Venn圖表示(圖6)。

圖6 正Nyquist判據(jù)與穩(wěn)定性之間的Venn圖Fig.6 The Venn diagram between direct Nyquist criterion and system stability

3 控制回路模式切換時控制器參數(shù)校正方案

基于對角優(yōu)勢下的正Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)，當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時，行Gershgorin 帶或列Gershgorin 帶在實軸上的邊界點將成為閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定的關(guān)鍵。根據(jù)各控制回路在模式切換前后各Gershgorin 帶邊界點的變化程度，可確定各回路控制器增益的調(diào)整方向及程度，進而實現(xiàn)各回路的控制器參數(shù)在控制回路模式切換瞬間的自動整定。

3.1 一階慣性純滯后多變量系統(tǒng)的Gershgorin圓邊界點

如果被控過程傳遞函數(shù)矩陣G(s)的各元素gij(s)均為一階慣性純滯后系統(tǒng)，控制器傳遞函數(shù)對角矩陣C(s)的各元素ci(s)均為PID 控制器，反饋系數(shù)矩陣F一般為單位陣，即

令s=jω，可以得到其頻域表達式為

進一步可以得到前向通道傳遞函數(shù)矩陣的頻域表達式為

文獻[34?35]指出，模型的開環(huán)頻率響應(yīng)不需要在所有的頻段都很準(zhǔn)確，只需在穿越頻率附近或控制器的工作頻帶范圍內(nèi)足夠準(zhǔn)確，就可以滿足系統(tǒng)設(shè)計的要求。下面分析ω= 0+→+∞時，Q(s)對角元素qii(s)幅值和相角的變化情況：

綜上所述，研究∠φ= ?π 時的Gershgorin 帶對閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性具有重大意義。此時頻率為圓心qii(jω)的穿越頻率ωc。Gershgorin 帶與實軸兩交點的左交點為Gershgorin帶邊界點。通過求解qii(jω)的穿越頻率ωc，代入式(16)，即可求出對角元素和非對角元素在qii(jω)穿越頻率的幅值。

當(dāng)i=j時，Aii為與實軸相交的Gershgorin帶的圓心；當(dāng)i≠j時，∑Aij為與實軸相交的Gershgorin 帶圓的半徑。由此可得行Gershgorin 圓邊界點和列Gershgorin圓邊界點。

行Gershgorin圓邊界點表達式

列Gershgorin圓邊界點表達式

式中，hi,0、h'i,0為接近原點的Gershgorin 圓邊界點；hi,?1、h'i,?1為 接 近(?1,j0) 的Gershgorin 圓 邊界點。

根據(jù)Gershgorin 圓邊界點，對角優(yōu)勢下的正Nyquist穩(wěn)定判據(jù)可以轉(zhuǎn)化為:行對角優(yōu)勢

或列對角優(yōu)勢

3.2 控制器參數(shù)校正方法

當(dāng)控制回路模式切換后，控制系統(tǒng)出現(xiàn)不穩(wěn)定的情況時，由對角優(yōu)勢下正Nyquist穩(wěn)定判據(jù)可知，其原因為某行（列）Gershgorin 圓邊界點hi,?1(或h'i,?1)在(?1,j0)點左側(cè)，如圖7(a)所示。此時，需要通過校正相應(yīng)控制器參數(shù)，使得所有行（列）Gershgorin圓邊界點hi,?1(或h'i,?1)在(?1,j0)點右側(cè)，如圖7(b)所示。

圖7 校正前后Gershgorin圓情況Fig.7 The situation of Gershgorin circle before and after correction

對于一個多回路分散PID 控制系統(tǒng)，控制器為對角矩陣形式，其前向通道傳遞函數(shù)矩陣如下

由式(22)和列Gershgorin 圓邊界點定義可知，若調(diào)整第i個控制器ci(s)的參數(shù)，則第i列Gershgorin圓邊界點h'i,?1將發(fā)生變化；若第i個控制器ci(s)增益調(diào)整為原來的p倍，則第i列Gershgorin 圓邊界點h'i,?1的 值 也 將 調(diào) 整 為 原 來 的p倍；而 對 于 行Gershgorin 圓邊界點而言，若調(diào)整第i個控制器ci(s)的參數(shù)，則所有的行Gershgorin 圓邊界點hi,?1都將發(fā)生變化，調(diào)整后的諸行Gershgorin 圓邊界點hi,?1的值需由式(18)重新計算。因此，行Gershgorin 圓邊界點的計算遠不如列Gershgorin 圓邊界點的計算便利，故本文根據(jù)列Gershgorin 圓邊界點的值來完成控制器參數(shù)的校正工作。

當(dāng)控制回路模式切換時，若第i列Gershgorin 圓邊界點h'i,?1不滿足對角優(yōu)勢下的正Nyquist 穩(wěn)定判據(jù)，即h'i,?1＜?1，此時需將第i個控制器的增益縮小pi倍，pi的大小可由式(23)確定

式中，為確保Gershgorin 圓邊界點與(?1,j0)有一定距離，一般對pi乘以裕量系數(shù)λi(0.5 ≤λi≤0.95)。

綜上所述，當(dāng)控制回路模式切換時，對各控制回路控制器參數(shù)校正步驟如下。

(1)現(xiàn)場工藝人員根據(jù)其操作經(jīng)驗給出所有輸入變量對所有輸出變量的模型參數(shù)k、T、τ，分別將各回路投自動，而其他回路投手動，采用經(jīng)驗湊試法獲得各控制回路初始PID參數(shù)值。

(2) 根據(jù)被控過程和控制器初始參數(shù)，求qii(jω)的穿越頻率ωc，進而求校正前諸列Gershgorin 圓的邊界點h'i。其中穿越頻率ωc可采用牛頓迭代法解方程求解。

(3)比較列Gershgorin圓的邊界點h'i,?1與(?1,j0)點的大小，判斷系統(tǒng)整體穩(wěn)定情況，確定需調(diào)整的控制器ci(s)。

(4)根據(jù)現(xiàn)場干擾大小及模型精度情況設(shè)定裕量系數(shù)λi(0.5 ≤λi≤0.95)，計算控制器增益調(diào)整系數(shù)pi。

(5)校正后控制器為pici(s)。

上述控制器參數(shù)校正流程如圖8所示。

圖8 計算機輔助設(shè)計流程圖Fig.8 Computer?aided flowchart

4 實例分析

選取Shell 公司的典型重油分餾塔模型為仿真實例[36]，如圖9 所示。該重油分餾塔由一個側(cè)線汽提塔、三個中段循環(huán)回流（頂部循環(huán)回流、中段循環(huán)回流、底部循環(huán)回流）和頂部冷回流組成，操縱變量包括頂部抽出流量u1、側(cè)線抽出流量u2和塔底循環(huán)回流換熱量u3，被控變量包括塔頂餾出物溫度y1、側(cè)線汽提塔餾出物溫度y2、塔底循環(huán)回流抽出溫度y3、塔頂溫度y4、塔頂循環(huán)回流抽出溫度y5、側(cè)線抽出溫度y6、中段循環(huán)回流抽出溫度y7。重油分餾塔是一個多變量、強耦合、大時延的被控過程，被公認為典型的比較難控制的對象，也是眾多學(xué)者用來驗證理論研究的仿真實例。

圖9 重油分餾塔流程圖Fig.9 Flowchart of heavy oil fractionator

本實例中，操縱變量和被控變量組成3 個PID控制回路，分別為：頂部抽出流量u1(kmol·h?1)?塔頂餾出物溫度y1(K)，側(cè)線抽出流量u2(kmol·h?1)?側(cè)線汽提塔餾出物溫度y2(K)，塔底循環(huán)回流換熱量u3(kJ·h?1)?塔底循環(huán)回流抽出溫度y3(K)，現(xiàn)場工藝人員憑借操作經(jīng)驗很容易獲取所有輸入變量對所有輸出變量的一階慣性純滯后模型，其傳遞函數(shù)矩陣為

當(dāng)3 個PID 控制回路u1-y1、u2-y2、u3-y3分別進行控制時，首先只將本控制回路閉環(huán)投自動，其他控制回路開環(huán)手動，避免控制回路之間相互耦合的影響，然后通過經(jīng)驗湊試法整定獲得本控制回路初始PID 參數(shù)。控制器初始參數(shù)分別為c1=(0.3, 0.01,0.3)，即PID參數(shù)分別為：比例系數(shù)KP1=0.3，積分系數(shù)KI1=0.01，微分系數(shù)KD1=0.3，后文控制器參數(shù)寫法與之相同，c2=(0.5, 0.03, 0.3)，c3=(0.05, 0.004, 0.3)。各個控制回路在只對本回路閉環(huán)條件下在初始PID 參數(shù)下是穩(wěn)定的。

假設(shè)系統(tǒng)的被控變量給定值為r1=1，r2=0，r3=2。然后按照u1-y1，u2-y2，u3-y3的順序?qū)? 個PID 控制回路依次由手動投入自動。通過仿真發(fā)現(xiàn)，如果不對各個PID 控制回路的參數(shù)進行校正，整個系統(tǒng)將不能穩(wěn)定；如果通過本文所述方法來校正控制器c1、c2、c3，可使閉合后的系統(tǒng)依然可以穩(wěn)定。

(1) 只將控制回路u1-y1閉合，控制器參數(shù)初始值設(shè)置為c1=(0.3, 0.01, 0.3)?？刂葡到y(tǒng)仿真曲線如圖10 所示，可以看出，在僅有一個控制回路投入自動時，整個控制系統(tǒng)是閉環(huán)穩(wěn)定的。

圖10 控制回路u1?y1閉合時輸出曲線Fig.10 Output curve when control loop u1?y1 is closed

(2) 控制回路u1-y1到達穩(wěn)定后，在t= 1000 min時將控制回路u2-y2閉合，控制器參數(shù)初始值設(shè)置為c1= (0.3, 0.01, 0.3),c2= (0.5, 0.03, 0.3)。 此 時 列Gershgorin 圓 的 邊 界 點 為h'1,?1=?1.1780，h'2,?1=?0.8685，可確定需校正控制器為c1，設(shè)置裕量系數(shù)為λ1=0.8，則控制器增益校正系數(shù)p1=0.6791。校正前后控制器參數(shù)及Gershgorin圓邊界點數(shù)據(jù)見表1。校正前后控制系統(tǒng)的閉環(huán)仿真輸出曲線如圖11所示。

表1 控制回路u2-y2模式切換時控制器參數(shù)及Gershgorin圓邊界點校正前后數(shù)據(jù)Table 1 Control loop u2-y2 mode switching controller parameters and Gershgorin circle before and after correction

(3) 控制回路u1-y1和u2-y2到達穩(wěn)定后，在t=3000 min 時將控制回路u3-y3閉合，控制器參數(shù)初始值設(shè)置為c1=(0.2037, 0.0068, 0.2037),c2=(0.5, 0.03,0.3),c3=(0.05,0.004,0.3)。此時列Gershgorin 圓的邊界點為h'1,?1=?1.3206，h'2,?1=?1.5565，h'3,?1=?0.2579，可確定需校正控制器為c1和c2。設(shè)置裕量系數(shù)為λ1=0.8，λ2=0.8，則控制器增益校正系數(shù)p1=0.6058，p2=0.5140。校正前后控制器參數(shù)及Gershgorin 圓的邊界點數(shù)據(jù)見表2。校正前后控制系統(tǒng)的閉環(huán)仿真輸出曲線如圖12所示。

表2 控制回路u3-y3模式切換時控制器參數(shù)及Gershgorin圓邊界點校正前后數(shù)據(jù)Table 2 Control loop u3-y3 mode switching controller parameters and Gershgorin circle before and after correction

從圖11 和圖12 可以發(fā)現(xiàn)，在現(xiàn)有控制回路已閉環(huán)的情況下，將新的控制回路也投入自動，由于控制回路之間的耦合作用，等效被控對象發(fā)生變化，原有的控制器參數(shù)均不能與之適應(yīng)，Gershgorin圓邊界點將在(?1,j0)左側(cè)，會導(dǎo)致閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；而在新的控制回路模式切換的瞬間對原有控制回路的增益進行校正，Gershgorin 圓邊界點將調(diào)整至(?1,j0)右側(cè)，閉環(huán)系統(tǒng)將恢復(fù)穩(wěn)定。

圖11 控制回路u2?y2切換時校正前后輸出曲線Fig.11 Output curve before and after correction when control loop u2?y2 is closed

圖12 控制回路u3?y3切換時校正前后輸出曲線Fig.12 Output curve before and after correction when control loop u3?y3 is closed

5 結(jié) 論

本文基于對角優(yōu)勢下正Nyquist穩(wěn)定判據(jù)，從整個系統(tǒng)的角度研究控制回路模式切換時的穩(wěn)定性。通過對一階慣性純滯后多變量系統(tǒng)的頻域分析，找到Gershgorin 圓邊界點的位置。根據(jù)原有控制器參數(shù)下的列Gershgorin 圓邊界點，確定需要校正的控制器，然后根據(jù)Gershgorin 圓邊界點與穩(wěn)定性之間的關(guān)系確定控制器增益校正系數(shù)。最后通過Shell公司重油分餾塔的多回路PID 控制系統(tǒng)的實例分析，驗證了該方法的可行性和有效性。

在實際工業(yè)現(xiàn)場，通過系統(tǒng)辨識獲得多變量系統(tǒng)的一階慣性純滯后模型較為容易，本文所述方法可輔助現(xiàn)場操作人員完成多變量系統(tǒng)常規(guī)PID 控制回路的手動/自動切換，可以保證手動/自動模式切換時系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對于被控過程模型不精確和噪聲干擾問題，在實際應(yīng)用時，可適當(dāng)減小裕量系數(shù)，來保證控制回路的穩(wěn)定性，而當(dāng)模型參數(shù)較為精確時，可適當(dāng)增大裕量系數(shù)以獲得較好的控制性能。