李華安，白寶明，徐恒舟，陳 超

(1.西安電子科技大學(xué) 綜合業(yè)務(wù)網(wǎng)理論及關(guān)鍵技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710071；2.周口師范學(xué)院 網(wǎng)絡(luò)工程學(xué)院，河南 周口 466001)

低密度校驗(yàn)(Low-Density Parity-Check，LDPC)碼是一類具有可逼近香農(nóng)容量限的信道編碼，由稀疏矩陣的零空間定義。低密度校驗(yàn)碼最早由GALLAGER[1]于20世紀(jì)60年代在其博士論文中提出，在此后的近35年里，幾乎被編碼界忽略。在此期間，關(guān)于低密度校驗(yàn)碼的研究甚少。值得一提的是TANNER[2]的工作，他推廣了低密度校驗(yàn)碼，并為其引入了圖表示方法，即現(xiàn)在廣被使用的Tanner圖。直到上世紀(jì)90年代中期，多位編碼學(xué)者發(fā)現(xiàn)具有稀疏(低密度)校驗(yàn)矩陣的線性分組碼在迭代譯碼算法下具有逼近信道容量限的性能[3]，而且這類碼還具有線性編譯碼復(fù)雜度，因此低密度校驗(yàn)碼又重新引起大家的研究興趣。雖然低密度校驗(yàn)碼的早期研究不夠成熟，錯(cuò)過了3G和4G標(biāo)準(zhǔn)，但因?yàn)槠涑錾男阅芎洼^低的譯碼復(fù)雜度，被重新發(fā)現(xiàn)后迅速被廣泛且深入地研究。起初低密度校驗(yàn)碼的校驗(yàn)矩陣很少具有結(jié)構(gòu)特性，即原始低密度校驗(yàn)碼是隨機(jī)的。而若一個(gè)碼沒有結(jié)構(gòu)特性，則編譯碼過程將比較復(fù)雜，因此人們提出了結(jié)構(gòu)化低密度校驗(yàn)碼。最為典型的結(jié)構(gòu)化低密度校驗(yàn)碼是準(zhǔn)循環(huán)低密度校驗(yàn)(Quasi-Cyclic LDPC，QC-LDPC)碼[4]。這類碼編譯碼復(fù)雜度低，且在中短碼長下，設(shè)計(jì)良好的QC-LDPC碼譯碼錯(cuò)誤平層低，性能優(yōu)于隨機(jī)低密度校驗(yàn)碼，因此被廣泛研究，包括設(shè)計(jì)與構(gòu)造[5-8]、譯碼算法[9-11]以及應(yīng)用[12-15]，并且這類碼已被多個(gè)重要國際標(biāo)準(zhǔn)采納，如WiMAX[12]、CCSDS[13]、WiFi[14]以及5G[15]等。

在實(shí)際的移動(dòng)通信系統(tǒng)中，無線信道的時(shí)變特性以及多徑衰落影響了信號(hào)傳輸，一些不可預(yù)測的干擾也會(huì)導(dǎo)致信號(hào)傳輸失敗。除了采用糾錯(cuò)碼，還會(huì)采用自動(dòng)重傳請求和自適應(yīng)編碼調(diào)制等方法進(jìn)行差錯(cuò)控制，以確保服務(wù)質(zhì)量，而可支持多種碼率的變碼率低密度校驗(yàn)(Variable-Rate LDPC，VR-LDPC)碼可以滿足這一要求。目前最為常見的VR-LDPC碼主要有兩種：具有固定信息位長度的速率兼容低密度校驗(yàn)(Rate-Compatible LDPC，RC-LDPC)碼[15-17]和具有固定碼長的多速率低密度校驗(yàn)(Multi-Rate LDPC，MR-LDPC)碼。其中，打孔、縮短以及擴(kuò)展是構(gòu)造RC-LDPC碼的常見方法，最為典型的是標(biāo)準(zhǔn)5G LDPC碼[15]。由于MR-LDPC碼的碼長固定，非常適用于一些特殊的應(yīng)用場景，包括多級編碼調(diào)制系統(tǒng)和衛(wèi)星通信，因此也被廣泛研究。如在文獻(xiàn)[18]中，作者基于刪除的方法分別構(gòu)造了多元MR-LDPC碼，仿真結(jié)果顯示所構(gòu)造的碼在不同碼率下均具有較好的譯碼性能。

5G通信是通信基礎(chǔ)研究與科技創(chuàng)新的結(jié)晶，也代表著信道編碼技術(shù)在移動(dòng)通信領(lǐng)域的突破與變革。3GPP關(guān)于5G信道編碼的標(biāo)準(zhǔn)化基本完成，相關(guān)結(jié)論也已寫入NR的R15規(guī)范[15]。R15階段屬于基礎(chǔ)功能階段，完成了增強(qiáng)移動(dòng)寬帶場景下信道編碼研究與標(biāo)準(zhǔn)化工作，而后續(xù)階段主要任務(wù)之一是增強(qiáng)超高可靠性的低時(shí)延通信等。我國科技部于2018年11月擬將“與5G/6G融合的衛(wèi)星通信技術(shù)研究與原理驗(yàn)證”課題列入國家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃“寬帶通信和新型網(wǎng)絡(luò)”重點(diǎn)專項(xiàng)中。這說明了探索地面網(wǎng)絡(luò)與其他通信系統(tǒng)融合方案的必要性與重要性，也是我國實(shí)現(xiàn)無線通信技術(shù)與星地融合從跟跑、并跑到領(lǐng)跑的重大需求。5G NR R15標(biāo)準(zhǔn)化的低密度校驗(yàn)碼是一類具有類Raptor(Raptor-like)結(jié)構(gòu)的RC-QC-LDPC碼[17]。因此，筆者主要研究具有Raptor-like結(jié)構(gòu)的MR-QC-LDPC碼的構(gòu)造方法，探索未來地面網(wǎng)絡(luò)與其他對MR-LDPC碼有需求的通信系統(tǒng)的編碼融合方法。

結(jié)合代數(shù)和疊加構(gòu)造方法，通過漸進(jìn)改變移位尺寸，筆者構(gòu)造了一類碼長固定、具有Raptor-like結(jié)構(gòu)的MR-QC-LDPC碼。所構(gòu)造的碼具有易于硬件可實(shí)現(xiàn)的編譯碼器，而且可基于校驗(yàn)矩陣直接編碼。此外，因?yàn)榻Y(jié)合了代數(shù)方法，所構(gòu)造的碼的循環(huán)移位矩陣具有明顯的代數(shù)結(jié)構(gòu)，矩陣存儲(chǔ)復(fù)雜度極低，即在已知基矩陣條件下，根據(jù)兩個(gè)值就可得到MR-QC-LDPC碼不同碼率的循環(huán)移位矩陣。這種方法適用于構(gòu)造具有類Raptor結(jié)構(gòu)的MR-QC-LDPC碼，在多種速率下具有較好的整體性能。

1 Raptor-like低密度校驗(yàn)碼與準(zhǔn)循環(huán)低密度校驗(yàn)碼

1.1 Raptor-like LDPC碼

二元低密度校驗(yàn)碼是一類特殊的線性分組碼，由稀疏矩陣H(矩陣中包含多數(shù)個(gè)“0”和相對少量的“1”)的零空間定義，這里矩陣H被稱為低密度校驗(yàn)碼的校驗(yàn)矩陣。而Raptor-like LDPC碼的校驗(yàn)矩陣具有如下形式：

其中，HHR為高碼率的校驗(yàn)矩陣，HIR是在高碼率矩陣的基礎(chǔ)上擴(kuò)展得到的矩陣，I為單位陣?？梢钥闯觯琑aptor-like LDPC碼可以看成是高碼率校驗(yàn)矩陣碼為外碼、擴(kuò)展校驗(yàn)矩陣碼為內(nèi)碼的串行級聯(lián)碼，非常適用于設(shè)計(jì)RC-LDPC碼。因?yàn)閿U(kuò)展部分引入了很多重量為1的列，這些列一般會(huì)惡化碼的譯碼錯(cuò)誤平層性能，但由于此處低碼率擴(kuò)展部分[HIRI]只是作為內(nèi)碼，并不會(huì)引起明顯的錯(cuò)誤平層問題。

Raptor-like LDPC碼可否基于校驗(yàn)矩陣直接編碼與HHR的結(jié)構(gòu)有關(guān)。當(dāng)考慮系統(tǒng)Raptor-like LDPC碼時(shí)，可以將其校驗(yàn)矩陣分為5個(gè)部分，如圖1左邊所示。此時(shí)，校驗(yàn)矩陣是否支持可直接編碼與矩陣D的結(jié)構(gòu)有關(guān)。而當(dāng)D設(shè)計(jì)為下三角、單對角或者雙對角矩陣以及三者的混合結(jié)構(gòu)時(shí)，即可根據(jù)校驗(yàn)矩陣直接編碼。筆者只關(guān)注D為雙對角或者“單對角+雙對角”的混合形式，而圖1中的D即為雙對角矩陣。

圖1 一種可直接編碼的Raptor-like LDPC碼校驗(yàn)矩陣結(jié)構(gòu)

1.2 準(zhǔn)循環(huán)低密度校驗(yàn)碼的疊加構(gòu)造

考慮正整數(shù)Z和整數(shù)集合SZ={0，1，…，Z-1}。對于集合中的任意元素p∈SZ，可以用Z×Z大小的二元循環(huán)置換矩陣(Circulant Permutation Matrix，CPM)表示。為簡單起見，將該循環(huán)置換矩陣表示為Q(p)。Q(p)具有如下特點(diǎn)(注：行和列標(biāo)注方式均為0，1，…，Z-1)：

(1) 首行惟一非零元素“1”所在位置為p；

(2) 每一行由上一行循環(huán)右移一位得到；

(3) 最后一行循環(huán)右移一位得到首行。

不難看出，p∈SZ和Q(p)具有一一對應(yīng)關(guān)系。方便起見，引入Q(-1)表示Z×Z大小的全零矩陣。稱上述過程為Z階矩陣散列(Z-fold Matrix Dispersion)，參數(shù)Z被稱為移位尺寸。

二元(N，K)QC-LDPC碼的校驗(yàn)矩陣H通常可以表示為陣列H=[Hi，j]0≤i

上述過程統(tǒng)稱為疊加構(gòu)造過程。這個(gè)過程依次設(shè)計(jì)基矩陣B和循環(huán)移位矩陣P，將P中的移位值散列為循環(huán)矩陣或大小相同的全零矩陣，從而得到QC-LDPC碼的校驗(yàn)矩陣H。因此，疊加構(gòu)造主要涉及3個(gè)矩陣和一個(gè)過程，即基矩陣、循環(huán)移位矩陣、循環(huán)矩陣和矩陣散列。

相關(guān)研究表明，影響QC-LDPC碼迭代譯碼性能的主要因素有碼字分布、環(huán)分布、圍長和陷阱集等結(jié)構(gòu)，而環(huán)分布均與其他結(jié)構(gòu)有著直接或間接的聯(lián)系。研究中還發(fā)現(xiàn)，QC-LDPC碼Tanner圖中的環(huán)由循環(huán)移位矩陣P以及移位尺寸Z決定，具體如下面引理所述。

引理1(Fossorier公式[4])設(shè)QC-LDPC碼的循環(huán)移位矩陣P=[pi，j]0≤i

(1)

其中，0≤iZ

引理1指出了長度為2d∈[g，2g-2]的環(huán)的個(gè)數(shù)的一種計(jì)算方法，即只需搜索矩陣P中滿足式(1)的非負(fù)移位值組數(shù)即可。在下文中，“d-環(huán)”表示長度為d的環(huán)，Nj(P，Z)表示對于移位尺寸為Z、圍長為g的循環(huán)移位矩陣P，考慮長度為(2j+2)∈[g，2g-2]的環(huán)時(shí)滿足式(1)的非負(fù)移位值組數(shù)。

1.3 一類代數(shù)構(gòu)造方法及其有關(guān)結(jié)論

有很多代數(shù)方法可以用來構(gòu)造不存在長度為4的環(huán)的循環(huán)移位矩陣。一種典型且非常靈活的方法是基于非二元素有限域的兩個(gè)任意集合來設(shè)計(jì)。設(shè)S1={i0，i1，…，imb-1}(mb

P=[pk，t]0≤k

(2)

下面的引理給出了基于式(2)所示代數(shù)方法構(gòu)造的循環(huán)移位矩陣的圍長特性。

引理2基于素域GF(q)任意兩個(gè)集合構(gòu)造的具有如式(2)形式的循環(huán)移位矩陣P，其q階矩陣散列定義的QC-LDPC碼的Tanner圖不存在4-環(huán)，圍長至少為6[19]。

因此，當(dāng)待設(shè)計(jì)的循環(huán)移位矩陣的移位尺寸為素?cái)?shù)時(shí)，可以基于式(2)方法構(gòu)造循環(huán)移位矩陣P，此時(shí)由P散列得到的陣列H不存在4-環(huán)。此外，還可以通過對P或H進(jìn)行掩模處理以進(jìn)一步改善QC-LDPC碼的環(huán)分布。

2 Raptor-like MR-QC-LDPC碼的代數(shù)構(gòu)造

在QC-LDPC碼的疊加構(gòu)造中，要求基矩陣B已知。一般要求B具有較好的迭代譯碼門限，設(shè)計(jì)方法主要有計(jì)算機(jī)輔助的EXIT圖搜索算法(如P-EXIT[20])和代數(shù)方法[19]。好的迭代譯碼門限可以提供較好的瀑布區(qū)性能，但不能保證所設(shè)計(jì)的碼有較低的譯碼錯(cuò)誤平層。而影響錯(cuò)誤平層的主要因素有距離分布、環(huán)分布、圍長以及陷阱集等。為獲得較低的錯(cuò)誤平層性能，在構(gòu)造QC-LDPC碼的循環(huán)移位矩陣P時(shí)應(yīng)綜合考慮這些因素的影響。在筆者提出的構(gòu)造方法中，主要考慮環(huán)分布以及圍長。

筆者提出的Raptor-like MR-QC-LDPC (RL-MR-QC-LDPC) 碼代數(shù)構(gòu)造方法需要已知具有類Raptor結(jié)構(gòu)的基矩陣，而設(shè)計(jì)這類基矩陣的常見方法有基于P-EXIT的擴(kuò)展方法。為提高性能，在設(shè)計(jì)基矩陣時(shí)可以基于打孔打掉某些信息比特，即假設(shè)前np列為內(nèi)置打孔列。這些列的重量一般較高，與這些列對應(yīng)的信息位不會(huì)被送入信道中傳輸，接收端譯碼時(shí)將這些信息位按照打孔比特處理。由于基矩陣是基于擴(kuò)展方法設(shè)計(jì)的，高碼率部分的基矩陣嵌套在低碼率部分的基矩陣中，而低碼率的基矩陣由高碼率的基矩陣擴(kuò)展而得，基矩陣的大小會(huì)隨著碼率的減小而增大。因此，構(gòu)造這類碼的難點(diǎn)在于：在保證碼長固定不變的條件下，如何構(gòu)造RL-MR-QC-LDPC碼不同碼率的循環(huán)移位矩陣，即隨著碼率變小(此時(shí)對應(yīng)的基矩陣/循環(huán)移位矩陣的大小變大)，如何同時(shí)增加校驗(yàn)位和減少信息位。針對該難點(diǎn)，筆者結(jié)合代數(shù)方法和疊加構(gòu)造，通過漸進(jìn)改變移位尺寸來設(shè)計(jì)RL-MR-QC-LDPC碼。

已知基矩陣B的信息位列數(shù)為kb，內(nèi)置信息位打孔列數(shù)為np。為簡單起見，將np固定為2。假設(shè)要構(gòu)造的RL-MR-QC-LDPC碼的碼長為N，碼率集合R={R1，R2，…，RT}(對于1≤i

(3)

(1) 計(jì)算參數(shù)：確定基矩陣B=[bi，j]0≤i

(2) 構(gòu)造系數(shù)矩陣：構(gòu)造mb×nb大小的系數(shù)矩陣C=[ci，j]mb×nb，其中

(4)

因此，待確定的值為{c0，kb，cr2nd，kb，cmdual-1，kb}。為了保證校驗(yàn)矩陣可直接編碼，要求c0，kb=cmdual-1，kb，最終只有{c0，kb，cr2nd，kb}兩個(gè)值需要確定。進(jìn)一步，基于基矩陣B對C的前kb列進(jìn)行掩模處理，得到Cmask=[c′i，j]0≤i

(5)

(3) 循環(huán)移位矩陣：碼率Rt的循環(huán)移位矩陣為Pt=[pi，j]mt×nt，對于0≤i

(6)

因?yàn)樗醒h(huán)移位矩陣均基于Cmask獲得，而Cmask基于式(2)的代數(shù)方法構(gòu)造，因此要求Zt∈SP，其中，SP表示由所有素?cái)?shù)構(gòu)成的集合。

(7)

其中，gt表示Pt的圍長。選取{c0，kb，cr2nd，kb}，同時(shí)使M1和M2盡可能小，即只考慮圍長g以及長度為g+2的環(huán)的影響?？梢钥闯觯瑴?zhǔn)則M1和M2摒除了移位尺寸大小的影響，從而實(shí)現(xiàn)對可支持不同移位尺寸的循環(huán)移位矩陣的構(gòu)造。

例如，大小為7×10、支持3種碼率的RL-MR-QC-LDPC碼的基矩陣以及系數(shù)矩陣如圖2所示，其中mdual=4，r2nd=2。如圖2所示，為了編碼簡單，雙對角部分除了第1列，其余非負(fù)移位值均固定為0。根據(jù)Fossorier公式，即使C的多數(shù)值具有式(2)的形式，但因?yàn)殡p對角部分0的存在，也可能存在4-環(huán)，因此需要優(yōu)化選取{c0，kb，cr2nd，kb}，改善最終循環(huán)移位矩陣的環(huán)分布，以獲得較好的性能。

圖2 一個(gè)RL-MR-QC-LDPC碼的基矩陣與系數(shù)矩陣

圖3 Raptor-like MR-QC-LDPC碼的打孔與縮短示意圖

筆者所構(gòu)造的低密度校驗(yàn)碼在不同碼率下校驗(yàn)矩陣均具有類Raptor結(jié)構(gòu)，這類碼的快速編碼參見文獻(xiàn)[20]。

綜上，筆者提出的設(shè)計(jì)與構(gòu)造方法融合了多種技術(shù)，包括擴(kuò)展、打孔和縮短處理，以及代數(shù)與疊加構(gòu)造方法。所構(gòu)造的RL-MR-QC-LDPC碼的碼率越低，基矩陣/循環(huán)移位矩陣越大，移位尺寸越小。因?yàn)镃mask具有明顯的代數(shù)結(jié)構(gòu)，在已知基矩陣B前提下，只需已知{c0，kb，cr2nd，kb}即可獲得所提出的RL-MR-QC-LDPC碼所有碼率的循環(huán)移位矩陣，因此存儲(chǔ)復(fù)雜度極低。

基矩陣B的非零元用于指示循環(huán)移位矩陣中非負(fù)移位值的位置，而置換非打孔信息列并不影響B(tài)的迭代譯碼門限。因此，還可以通過置換基矩陣B的非打孔信息列得到新的基矩陣和系數(shù)矩陣Cmask，并同時(shí)優(yōu)化選取{c0，kb，cr2nd，kb}，保證最終的循環(huán)移位矩陣整體具有較好的環(huán)分布，進(jìn)一步提高性能。

3 數(shù)值結(jié)果

根據(jù)上一節(jié)介紹的方法構(gòu)造了RL-MR-QC-LDPC碼，并通過仿真驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的碼的性能。在所有仿真中，考慮二進(jìn)制輸入加性高斯白噪聲(Binary Input Additive White Gaussian Noise，BI-AWGN)信道，譯碼算法采用最大迭代次數(shù)為50的和積算法(Sum-Product Algorithm，SPA)[20]。

筆者所構(gòu)造的RL-MR-QC-LDPC碼的碼長為960 bit，可支持的碼率集合R={1/2，2/3，5/6}，基矩陣B的散點(diǎn)圖如圖4(a)所示，因此mb=18，nb=34，np=2，kb=16，r2nd=2。選取Wc=(10 000，1 000，100，1)，根據(jù)上一節(jié)介紹的代數(shù)方法，選取{c0，16，c2，16}={31，35}。基于上一節(jié)方法可獲得不同碼率的循環(huán)移位矩陣Pt(1≤t≤3)，將Pt(1≤t≤3)進(jìn)行Zt階矩陣散列，最終得到碼率Rt(1≤t≤3)的編譯碼校驗(yàn)矩陣Ht(1≤t≤3)。3種碼率的相關(guān)編碼參數(shù)如表1所示，包括基矩陣大小、移位尺寸、信息位縮短位數(shù)和校驗(yàn)位打孔位數(shù)。對于3組碼率，信息位打孔位數(shù)均為2Zt(1≤t≤3)。

表1 構(gòu)造碼長為960 bit的RL-MR-QC-LDPC碼的編碼參數(shù)

圖4(b)展示了所構(gòu)造的RL-MR-QC-LDPC碼的誤塊率(BLock Error Rate，BLER)性能，以及WiMAX標(biāo)準(zhǔn)中具有相同參數(shù)的低密度校驗(yàn)碼的誤塊率性能。從圖中可以看出，筆者所構(gòu)造的碼整體性能優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)WiMAX LDPC碼[12]。需要說明的是，不同參數(shù)下標(biāo)準(zhǔn)WiMAX LDPC碼對應(yīng)不同的循環(huán)移位矩陣，而筆者構(gòu)造的RL-MR-QC-LDPC碼的矩陣存儲(chǔ)復(fù)雜度極低，即只需要知道基矩陣和數(shù)值對{c0，16，c2，16}，就可以得到不同碼率的循環(huán)移位矩陣。

(a) 基矩陣

(b) BLER性能

4 結(jié)束語

結(jié)合代數(shù)和疊加構(gòu)造方法，通過漸進(jìn)改變移位尺寸，筆者提出并構(gòu)造了具有固定碼長的類Raptor多速率準(zhǔn)循環(huán)低密度校驗(yàn)碼。基于該方法，隨著碼率減小，對應(yīng)的基矩陣/循環(huán)移位矩陣增大，移位尺寸變小。為了獲得固定碼長和匹配不同信息位長度，還引入了信息位縮短和校驗(yàn)位打孔操作。筆者所構(gòu)造的碼兼具準(zhǔn)循環(huán)和類Raptor結(jié)構(gòu)，因此具有易于硬件可實(shí)現(xiàn)的編譯碼器，其編碼也可直接基于校驗(yàn)矩陣實(shí)現(xiàn)。此外，因?yàn)橐肓舜鷶?shù)方法，所構(gòu)造的碼具有極低的矩陣存儲(chǔ)復(fù)雜度，即只需知道基矩陣以及兩個(gè)數(shù)，就可得到不同碼率的循環(huán)移位矩陣。數(shù)值仿真表明，所構(gòu)造的碼的整體性能優(yōu)于相同參數(shù)下的標(biāo)準(zhǔn)WiMAX LDPC碼。NR R15規(guī)范的標(biāo)準(zhǔn)5G LDPC碼是具有類Raptor結(jié)構(gòu)的速率兼容低密度校驗(yàn)碼，因此筆者提出的方法可為未來地面網(wǎng)絡(luò)與其他對MR-LDPC碼有需求的通信系統(tǒng)的編碼融合提供一種可行方案。