李 源，柴艷紅，劉蘭波，毛 喆，翟新華

(上海航天電子技術(shù)研究所，上海 201109)

引 言

當(dāng)前數(shù)字化的測(cè)量手段蓬勃發(fā)展，測(cè)量精度逐步提升，應(yīng)用也愈發(fā)廣泛。其中激光測(cè)量系統(tǒng)，例如激光跟蹤儀、激光雷達(dá)等在諸多領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[1-3]。特別是在航空、航天、船舶等大型的制造業(yè)領(lǐng)域，產(chǎn)品的尺寸越來越大，加工、裝配等工藝的精度要求也越來越高[3-5],其中激光測(cè)量系統(tǒng)得到了非常廣泛的應(yīng)用。在精密測(cè)量與大尺寸測(cè)量的問題中，測(cè)量系統(tǒng)獲得的坐標(biāo)通常不能直接應(yīng)用于相關(guān)指標(biāo)的計(jì)算與裝配的分析，而是需要開展相應(yīng)的測(cè)量誤差分析與裝配坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換。激光測(cè)量系統(tǒng)的誤差，通常設(shè)備會(huì)給出具體值，例如某型號(hào)激光跟蹤儀的標(biāo)稱不確定度為15μm+6μm/m，即基礎(chǔ)誤差為15μm,測(cè)量距離每增加1m,其誤差增加6μm。隨著實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景提出了越來越高的需求，僅僅是測(cè)距方向上的最大誤差已經(jīng)很難滿足很多測(cè)量場(chǎng)景的測(cè)量設(shè)計(jì)與實(shí)施指導(dǎo)。測(cè)量不確定度在各個(gè)方向上的各向異性，即具體在測(cè)量空間的3維分布，對(duì)測(cè)量以及加工與裝配實(shí)施中的重要精密指標(biāo)確定已經(jīng)產(chǎn)生了影響，甚至進(jìn)一步對(duì)測(cè)量設(shè)備的布局提出了要求[6-11]。當(dāng)前一系列的研究主要通過復(fù)雜的優(yōu)化模型，例如迭代最近點(diǎn)法(iterative closest point,ICP)、奇異值分解法(single value decomposition,SVD)、蒙特卡洛(Monte Carlo,MC)數(shù)值估計(jì)等，來對(duì)變換參量進(jìn)行優(yōu)化，隨后分析這一系列的模型中的誤差傳遞，通過數(shù)值仿真的思路進(jìn)行特定點(diǎn)的不確定度分析[6,9-10,12-16]。然而為了結(jié)合設(shè)備的狀態(tài)與實(shí)測(cè)的場(chǎng)景，往往需要針對(duì)復(fù)雜的模型開展重復(fù)的大量?jī)?yōu)化計(jì)算，這無疑對(duì)現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量帶來了很大的不便。而計(jì)算獲得的大量仿真點(diǎn)或者不確定度模型往往也需要與實(shí)際的特定點(diǎn)大量測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)篩選、模型坐標(biāo)變換匹配與誤差比對(duì)。當(dāng)前對(duì)于大量數(shù)據(jù)篩選依然主要為面向擬合目標(biāo)的分析而非脫離應(yīng)用的誤差分析[17]。因此，需要提出以更高效的算法準(zhǔn)確地篩選獲取基于大量實(shí)測(cè)或者仿真點(diǎn)數(shù)據(jù)的最小包絡(luò)模型，即不確定度模型。

孤立森林算法(isolated forest algorithm，IFA)是一種基于數(shù)據(jù)空間隨機(jī)切分迭代的異常值檢測(cè)方法。該算法通過隨機(jī)超平面在數(shù)據(jù)空間內(nèi)進(jìn)行切分，并將切分后的子空間以二叉樹進(jìn)行數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)構(gòu)建。對(duì)每個(gè)子空間進(jìn)行相同的隨機(jī)切分并構(gòu)成子樹(分枝)，直至每個(gè)分枝有且只有一個(gè)數(shù)據(jù)。通過在樣本空間多次隨機(jī)采樣并構(gòu)建系列數(shù)據(jù)樹，形成數(shù)據(jù)森林。通過判定數(shù)據(jù)空間中每個(gè)點(diǎn)距離數(shù)據(jù)樹根部的深度評(píng)估其異常程度，并據(jù)此進(jìn)行數(shù)據(jù)篩選。該算法已經(jīng)廣泛應(yīng)用于各領(lǐng)域的異常檢測(cè)、數(shù)據(jù)清洗等過程[18-21]。粒子群優(yōu)化(particle swarm optimization，PSO)算法是一種更偏重于群體智能的優(yōu)化算法。其將待確定問題的集合作為一個(gè)粒子，并以粒子群模仿鳥群覓食的行為特征在解空間進(jìn)行探索。每個(gè)粒子結(jié)合自我認(rèn)知與群體經(jīng)驗(yàn)交流，遵循相同的規(guī)則進(jìn)行運(yùn)動(dòng)。區(qū)別于傳統(tǒng)優(yōu)化算法，該算法具備較強(qiáng)的跳出局部最優(yōu)解的能力，并已經(jīng)廣泛應(yīng)用于了函數(shù)優(yōu)化、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練、決策、建模等諸多領(lǐng)域[13,22-27]。

本文中的研究以激光跟蹤儀系統(tǒng)為研究對(duì)象，以單點(diǎn)測(cè)量實(shí)驗(yàn)出發(fā)，引入了孤立森林算法對(duì)不確定度測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行處理與分析，并采用粒子群優(yōu)化算法進(jìn)行最小包絡(luò)橢球計(jì)算，高效快速準(zhǔn)確地獲取該設(shè)備的單點(diǎn)測(cè)量不確定度分布情況。該方法僅基于單點(diǎn)的測(cè)量數(shù)據(jù)，因此可以應(yīng)用于各型號(hào)的激光跟蹤儀以及激光雷達(dá)等其它激光球坐標(biāo)測(cè)量系統(tǒng)的不確定度分布測(cè)試實(shí)驗(yàn)，甚至MC模型的仿真數(shù)據(jù)分析。以此為基礎(chǔ)，可以通過測(cè)量與仿真數(shù)據(jù)分析獲得3維空間內(nèi)不同位置的不確定度分布，因此,本研究具有進(jìn)一步指導(dǎo)測(cè)量場(chǎng)景布局設(shè)計(jì)等重要意義。

1 激光測(cè)量系統(tǒng)的不確定度分布模型

本文中的研究對(duì)象為L(zhǎng)eica At-930激光跟蹤儀。以測(cè)量位置靶球中心為原點(diǎn)可以建立不確定度橢球坐標(biāo)系(uncertainty ellipsoid coordinate system，UCS)，在此坐標(biāo)系(w,u,v)下不確定度橢球包含的范圍可以描述為方程：

(1)

式中，w,u,v是測(cè)量點(diǎn)在UCS三坐標(biāo)軸w,u,v上的坐標(biāo)值，a，b，c分別是該不確定橢球的三軸半軸長(zhǎng)。圖1為UCS下不確定度橢球示意圖。

Fig.1 Schematic diagram of uncertainty ellipsoid under UCS

在實(shí)際測(cè)量中，靶球的位置會(huì)隨著測(cè)量目標(biāo)的變化而變化，即各測(cè)量點(diǎn)分別存在其獨(dú)立的UCS，因此,測(cè)量數(shù)據(jù)往往采用統(tǒng)一的基于跟蹤儀的測(cè)量系統(tǒng)坐標(biāo)系(measurement coordinate system， MCS)。對(duì)于任意UCS其坐標(biāo)軸單位向量在MCS上可以描述為：

(2)

式中，α為方位角，β為天頂角，w為測(cè)量的激光方向，v為w與z平面上垂直于w的方向，u為遵循右手定則垂直于w與v的方向。由UCS到MCS的旋轉(zhuǎn)矩陣則可以描述為：

(3)

圖2為激光跟蹤儀MCS與坐標(biāo)系UCS的轉(zhuǎn)換示意圖。

Fig.2 Coordinate system conversion of laser tracker between MCS and UCS

對(duì)于測(cè)量點(diǎn)P，在其位置構(gòu)建的UCS在MCS上的位置矢量可以描述為：

(4)

式中，x0，y0，z0為在該位置累積測(cè)量采樣分布的期望，以其近似為理論靶球中心。據(jù)此兩坐標(biāo)系變換的變換矩陣可以描述為：

(6)

據(jù)此依據(jù)通用坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換公式：

(7)

式中，A,B作為通用坐標(biāo)系表達(dá)均可以替換為MCS或UCS，據(jù)此任意測(cè)量位置在MCS下的累積采樣位置數(shù)據(jù)均可以通過坐標(biāo)變換轉(zhuǎn)換為UCS下進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)不確定度橢球的分布分析；而分析獲得的不確定度橢球同樣可以轉(zhuǎn)換為MCS下測(cè)量場(chǎng)不同位置的橢球分布。

2 最小不確定度包絡(luò)橢球模型

2.1 孤立森林算法數(shù)據(jù)篩選

基于固定設(shè)備與采樣點(diǎn)位的單點(diǎn)重復(fù)位置測(cè)量與基于蒙特卡洛等算法的單點(diǎn)位隨機(jī)仿真測(cè)點(diǎn)均是獲取單點(diǎn)位置不確定度分布的重要方法。這些方法可以獲得對(duì)于單點(diǎn)的大量測(cè)量/仿真位置數(shù)據(jù)，實(shí)測(cè)過程中由于場(chǎng)地與設(shè)備等因素的擾動(dòng)會(huì)獲得極少數(shù)較大的誤差點(diǎn)，而在算法仿真中同樣會(huì)由于必要的擾動(dòng)函數(shù)產(chǎn)生少量較大誤差點(diǎn)。在進(jìn)行不確定度包絡(luò)橢球計(jì)算時(shí)，這些較大誤差點(diǎn)會(huì)對(duì)包絡(luò)計(jì)算形成干擾，使得最終獲得的包絡(luò)橢球過大。本研究中，引入了孤立森林算法來對(duì)測(cè)量/仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行采樣篩選。

基于本課題問題研究，孤立森林算法模型可以通用化描述為{D,F,H,fs,rs,Nt,Nsub,nDFR}，其中D={P1,P2,…,PN}為數(shù)據(jù)空間，包含所有的待分析篩選的數(shù)據(jù)，其數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為N，對(duì)于每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)P，其維度為d，在本研究問題中，D即為所有測(cè)量/仿真位置數(shù)據(jù)的集合，維度d=3；F={T1,T2,…,TNt}為孤立森林算法劃分出的森林，其中T為森林中的獨(dú)立數(shù)據(jù)樹，Nt為每座森林中樹的個(gè)數(shù)；對(duì)于每個(gè)數(shù)據(jù)樹T包含集合Dsub={Pr,1,Pr,2,…,Pr,i…Pr,Nsub}的全部數(shù)據(jù)，并通過孤立函數(shù)fs劃分為二叉樹結(jié)構(gòu)，Nsub為每棵樹的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，Pr,i為數(shù)據(jù)空間中隨機(jī)出的第i個(gè)數(shù)據(jù)；Dsub為每棵樹的數(shù)據(jù)集合，其為D的隨機(jī)樣本量是Nsub的子集；孤立函數(shù)fs可以描述為：

(8)

式中，Dsub,l,h與Dsub,r,h分別代表該數(shù)據(jù)樹在距離根部深度為h(即h層)的左右數(shù)據(jù)子集；Sr,h為該數(shù)據(jù)樹在h層數(shù)據(jù)孤立分割的標(biāo)準(zhǔn)，其取值為[min(Dsub,h),max(Dsub,h)]范圍內(nèi)的隨機(jī)值；因?yàn)镈為d維的數(shù)據(jù)集，在孤立分割時(shí)，取隨機(jī)整數(shù)rd∈[1,d]作為分割判定時(shí)的比較維度，Pr,i(rd)即為數(shù)據(jù)Pr,i在比較維度rd下的數(shù)據(jù)分量。在篩選計(jì)算中,將后續(xù)的Dsub,l,h+1,或者Dsub,l,h+1分別作為新的子數(shù)據(jù)集Dsub,h+1,采用孤立函數(shù)fs進(jìn)行遞歸迭代劃分，直到最終層次的Dsub樣本量為1，即完成數(shù)據(jù)樹的構(gòu)建。H為每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)在森林中每個(gè)樹上距離根部的深度的平均值的集合；rs為算法的篩選次數(shù)，即森林的個(gè)數(shù)；nDFR則為每次篩選時(shí)判定標(biāo)準(zhǔn)，即數(shù)據(jù)距離根節(jié)點(diǎn)的深度(deep from root,DFR)，即當(dāng)H(Pi)

2.2 粒子群優(yōu)化最小包絡(luò)橢球模型

通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換與數(shù)據(jù)篩選后的測(cè)量/仿真位置數(shù)據(jù)可以通過PSO基于(1)式進(jìn)行最小包絡(luò)橢球模型的建立。在UCS下，橢球中心為原點(diǎn)，因此最小包絡(luò)的控制因素則為橢球三軸的半軸長(zhǎng)。定義粒子X={a,b,c}，解的搜索空間為3維。在解空間隨機(jī)生成n個(gè)粒子，每個(gè)粒子Xi均為該系列數(shù)據(jù)的潛在一個(gè)包絡(luò)橢球解。隨著迭代時(shí)刻t的推進(jìn)，每個(gè)粒子均在解空間以一定速度Vi運(yùn)動(dòng)探索以獲取最優(yōu)的包絡(luò)解。每個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)則遵循：

Vi,t+1=ω·Vi,t+c1r1(Li,t-Xi,t)+

c2r2(Gt-Xi,t)

(9)

Xi,t+1=Xi,t+Vi,t+1

(10)

式中，Xi,t與Vi,t為第i個(gè)粒子在t時(shí)刻的位置與運(yùn)動(dòng)速度；Li,t為第i個(gè)粒子到t時(shí)刻其個(gè)體運(yùn)動(dòng)軌跡中的最優(yōu)解，代表著粒子的個(gè)體認(rèn)知；Gt為t時(shí)刻所有粒子運(yùn)動(dòng)軌跡中的最優(yōu)解，代表著粒子的群體交流與共識(shí)；ω為慣性因子，c1和c2為學(xué)習(xí)因子，控制著粒子向自身經(jīng)驗(yàn)和群體經(jīng)驗(yàn)學(xué)習(xí)的傾向，r1和r2為隨機(jī)因子，為[0,1]之間的隨機(jī)數(shù)。在每次運(yùn)動(dòng)迭代完成后，粒子Xi,t均以適應(yīng)值函數(shù)fe來進(jìn)行評(píng)價(jià)，通常適應(yīng)值越小，該粒子距離理論最優(yōu)解越近。本研究中以包絡(luò)橢球解的體積作為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，因此對(duì)于粒子Xi={ai,bi,ci}：

(11)

式中，re為橢球模型對(duì)數(shù)據(jù)D0的包絡(luò)比例，N0為D0中數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，nin為D0中處于包絡(luò)范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，可以描述為：

(12)

式中，argnum函數(shù)的輸出結(jié)果為滿足后續(xù)條件的數(shù)據(jù)Pi個(gè)數(shù)，EXi(Pi)為點(diǎn)Pi代入粒子Xi條件下的包絡(luò)橢球模型E(見(1)式)計(jì)算其相對(duì)于橢球包絡(luò)面的位置。通過適應(yīng)值函數(shù)，在每次粒子群運(yùn)動(dòng)迭代后對(duì)個(gè)體歷史最優(yōu)解Pi與全局最優(yōu)解G進(jìn)行更新：

(13)

(14)

式中，argmin函數(shù)的輸出結(jié)果為使得適應(yīng)值函數(shù)fe最小的粒子Li。

在本研究問題算法執(zhí)行流程為對(duì)所有粒子在粒子空間進(jìn)行隨機(jī)位置初始化，通過(9)式～(14)式對(duì)每個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)位置與速度的迭代計(jì)算完成最優(yōu)包絡(luò)的探索。區(qū)別于傳統(tǒng)優(yōu)化問題，最小包絡(luò)的探索在(11)式～ (13)式中存在對(duì)包絡(luò)數(shù)據(jù)比例的判定，因此為實(shí)現(xiàn)優(yōu)化探索的準(zhǔn)確性與效率，需要選擇合適的初始化粒子位置范圍與粒子陷入過小包絡(luò)模型局部位置后的擾動(dòng)逃逸模型。粒子初始化位置為：

Xi=(wmax,umax,vmax)·rx(l0)

(15)

式中，wmax，umax，vmax為UCS下所有點(diǎn)在三坐標(biāo)軸下的絕對(duì)值極值，rx為[1,l0]范圍的隨機(jī)值，l0為空間放大系數(shù)。擾動(dòng)逃逸函數(shù)在當(dāng)前粒子無法滿足包絡(luò)要求時(shí)可以替代其位置更新函數(shù)，描述為：

Xi,t+1=Xi,t·es+Vi,t+1|fe(Xi,t)=-1

(16)

式中，es為逃逸系數(shù)。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證與結(jié)果討論

研究采用LeicaAt-930激光跟蹤儀以及3.81cm的跟蹤儀靶球，進(jìn)行固定機(jī)位與靶球位的單點(diǎn)多重?cái)?shù)據(jù)測(cè)量采集，并將數(shù)據(jù)應(yīng)用于孤立森林模型數(shù)據(jù)篩選與最小包絡(luò)橢球求取，以驗(yàn)證模型的有效性。

3.1 測(cè)量采樣篩選

固定跟蹤儀設(shè)備，在距離設(shè)備約4.7m的固定靶球位置的單點(diǎn)采集N=3091個(gè)位置坐標(biāo)值。孤立森林篩選次數(shù)rs=10，森林中數(shù)據(jù)樹的數(shù)目Nt=100，每棵樹的數(shù)據(jù)量Nsub=256。由圖3可知，采樣點(diǎn)云分布即為橢球型，但也能發(fā)現(xiàn)存在系列遠(yuǎn)離點(diǎn)云的少量誤差較大點(diǎn)。nDFR=4時(shí)，保留采樣點(diǎn)依然為100%，舍棄誤差點(diǎn)數(shù)量為0，即所有點(diǎn)在數(shù)據(jù)樹上的平均高度均大于4；當(dāng)nDFR取為6和7時(shí)，依然存在少量誤差較大點(diǎn)保留；當(dāng)nDFR>8時(shí)，較大誤差點(diǎn)已基本被去除，隨著nDFR值增大，橢球周邊點(diǎn)分布密度較小的區(qū)域也逐漸被去除，保留的采樣點(diǎn)比例逐步減小。

將篩選后的數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行三軸及橢球體積的包絡(luò)橢球分析,re=0.99時(shí)的結(jié)果如圖4、圖5所示。圖4中百分比為篩選后有效數(shù)據(jù)占原全部數(shù)據(jù)的比例，軸長(zhǎng)變化曲線均采用了雙高斯擬合。篩選后有效數(shù)據(jù)比例由100%減小到約95%的過程，包絡(luò)橢球u，v軸半軸長(zhǎng)度減小速率較快，這說明較大誤差點(diǎn)是分布在u，v軸方向離中心較遠(yuǎn)的位置。篩選保留比例減小到95%以下后，包絡(luò)橢球u，v軸半軸長(zhǎng)減小曲線符合高斯曲線，即去除掉較大誤差點(diǎn)后，采樣點(diǎn)在u，v兩軸的密度分布為由中心向外的高斯分布。對(duì)于w軸，隨著篩選后有效數(shù)據(jù)比例由100%減小到約95%，w軸半軸長(zhǎng)隨之增大，這是因?yàn)榧哟笳`差點(diǎn)是在在u，v軸方向離中心較遠(yuǎn)的位置，其在w軸上投影較小，過大的u，v軸長(zhǎng)使得包絡(luò)橢球更呈現(xiàn)扁而長(zhǎng)寬的形狀。隨著誤差較大點(diǎn)的去除，u，v軸長(zhǎng)急劇減小，為使得中央高密度點(diǎn)云分布能夠完成包絡(luò)，w軸長(zhǎng)會(huì)呈現(xiàn)增長(zhǎng)的趨勢(shì)。而隨著有效比例到達(dá)95%到約80%，由于較大誤差點(diǎn)已經(jīng)基本被去除，w軸半軸長(zhǎng)開始逐漸減小，但此時(shí)其減小的趨勢(shì)遠(yuǎn)小于另外兩軸，這是因?yàn)辄c(diǎn)云主要在u，v軸方向延伸分布，存在點(diǎn)云密度相對(duì)較低的包圍區(qū)域，這些點(diǎn)的去除對(duì)w軸軸長(zhǎng)的影響相對(duì)較小。隨著比例減少到80%以下，點(diǎn)云的篩選到達(dá)核心區(qū)域，此時(shí)w軸軸長(zhǎng)的減小同樣符合高斯曲線，即在核心點(diǎn)云分布區(qū)域w軸方向點(diǎn)密度分布也是呈高斯分布。結(jié)合以上分析，孤立森林?jǐn)?shù)據(jù)篩選標(biāo)準(zhǔn)nDFR的最佳取值為8，篩選后有效數(shù)據(jù)比例保持為94%左右。當(dāng)nDFR=8時(shí)，進(jìn)一步分析不同采樣點(diǎn)數(shù)的篩選比例，如圖6所示。當(dāng)N>250時(shí)，篩選后有效數(shù)據(jù)比例即會(huì)穩(wěn)定在94%左右。

Fig.4 Screening ratios and envelope ellipsoid models from effective data realized by different DFR

Fig.5 Characteristic changes of envelope ellipsoid with different screening ratios

Fig.6 Change curve of the screening ratio with the total number of samples when DFR is 8

3.2 不確定度橢球

對(duì)于篩選后的有效數(shù)據(jù)，采用PSO進(jìn)行最小包絡(luò)橢球計(jì)算。在計(jì)算中，模型中粒子運(yùn)動(dòng)慣性因子ω=1，學(xué)習(xí)因子c1=c2=0.2，空間放大系數(shù)l0=15，逃逸系數(shù)es=2，粒子數(shù)為30個(gè)。

選取終止條件為計(jì)算到達(dá)最大迭代次數(shù)T=100000，包絡(luò)比例re=0.99進(jìn)行模型收斂測(cè)試。在Intel i5-6400 CPU 2.7GHz與8GB內(nèi)存條件下，孤立森林篩選與最小包絡(luò)橢球計(jì)算共耗時(shí)約為16.5min，其適應(yīng)值的歸一化收斂曲線如圖7所示。本次計(jì)算迭代到達(dá)5156次即實(shí)現(xiàn)最終收斂。以最終收斂結(jié)果為標(biāo)準(zhǔn)，本次計(jì)算迭代達(dá)到1354次時(shí)，收斂率達(dá)到99.88%，迭代達(dá)到2116次時(shí)，收斂率達(dá)到99.96%。據(jù)此，在最小包絡(luò)橢球計(jì)算中，其終止條件可以設(shè)為達(dá)到最大迭代次數(shù)T=10000，經(jīng)測(cè)試在上述計(jì)算設(shè)備條件下耗時(shí)不高于2min。在快速計(jì)算中，其終止條件可以設(shè)為最大迭代次數(shù)T=3000，經(jīng)測(cè)試在上述計(jì)算設(shè)備條件下耗時(shí)不高于50s。

Fig.7 Convergence process of fitness value in minimum envelope ellipsoid calculation(within 2500 iterations)

在實(shí)際測(cè)量測(cè)試中，會(huì)根據(jù)測(cè)量需求的精度要求選取由橢球中心向外不同置信區(qū)間進(jìn)行測(cè)量規(guī)劃設(shè)計(jì)，而最小橢球包絡(luò)算法同樣可以支持不同包絡(luò)比例的不確定度范圍計(jì)算，如此可以更直觀地描述3維不確定度的概率密度分布。如圖8所示，當(dāng)re=1時(shí)，即所有經(jīng)篩選后的點(diǎn)全包絡(luò)，減小re取值可以得到相應(yīng)比例包絡(luò)條件下的不確定度橢球模型。圖9為不同包絡(luò)比例下橢球模型的體積變化，其擬合為雙高斯分布。在包絡(luò)比例re≈0.975時(shí)，其包絡(luò)范圍即為核心點(diǎn)云區(qū)域，這與系列模型研究相符[7]。

基于以上分析，圖10即為基于最小橢球包絡(luò)的不確定度模型的計(jì)算方法流程:(1)針對(duì)特定點(diǎn)進(jìn)行點(diǎn)云測(cè)量/仿真；(2)孤立森林算法采樣點(diǎn)篩選；(3)進(jìn)行PSO不確定度橢球包絡(luò)模型建立。以此方法，距離4.7m的位置的共計(jì)3091個(gè)點(diǎn)測(cè)量數(shù)據(jù)，經(jīng)過nDFR=8

Fig.8 Minimum envelope ellipsoid model with different envelope ratios

Fig.9 Curve of minimum envelope ellipsoid volume with different envelope ratios

Fig.10 Calculation method of uncertainty model based on minimum ellipsoid envelope

條件下的孤立森林算法篩選保留了2912個(gè)有效數(shù)據(jù)；通過re=0.975包絡(luò)比例的粒子群10000次計(jì)算迭代，最終最小不確定度橢球包絡(luò)三軸長(zhǎng)為：a=4.95μm，b=18.39μm，c=30.53μm；計(jì)算總耗時(shí)121s。

3.3 不確定度場(chǎng)分布

為直觀測(cè)量空間中各位置激光跟蹤儀的不確定度分布，設(shè)計(jì)了如圖11所示的實(shí)驗(yàn)。固定跟蹤儀機(jī)位，在測(cè)量場(chǎng)地內(nèi)規(guī)劃處不同距離與測(cè)量方位的測(cè)量點(diǎn)；每個(gè)測(cè)量點(diǎn)以相同高度(約1.2m)固定靶座；對(duì)每個(gè)測(cè)量點(diǎn)分別進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量；對(duì)每個(gè)測(cè)量位置的點(diǎn)云進(jìn)行孤立森林篩選；篩選后的點(diǎn)云轉(zhuǎn)移到該點(diǎn)位的UCS下進(jìn)行PSO最小包絡(luò)橢球模型計(jì)算；將獲取的最小包絡(luò)橢球轉(zhuǎn)換到統(tǒng)一的MCS下，即得到空間各位置的不確定度分布。如圖12所示，為了方便直觀觀察各位置的不確定度橢球形貌與姿態(tài)，圖中的不確定度橢球以6000倍軸長(zhǎng)呈現(xiàn)。圖12a為測(cè)量空間的俯視圖，可以看到，不確定度橢球的空間姿態(tài)得到了很好的還原；從圖12b可直觀看到，該空間內(nèi)不同位置的橢球尺寸變化，不確定度最主要受測(cè)量距離的影響。

Fig.11 Experiment design of uncertainty test of laser tracker

Fig.12 Uncertainty ellipsoid model distribution of different measurement positions (displayed by ellipsoid axis length magnified 6000×)

4 結(jié) 論

針對(duì)激光跟蹤儀測(cè)量系統(tǒng)建立了其不確定度橢球模型，構(gòu)建了面向橢球包絡(luò)計(jì)算的不確定度橢球坐標(biāo)系與面向場(chǎng)景分析的測(cè)量場(chǎng)坐標(biāo)系，并提出了通用的轉(zhuǎn)化模型?；诠铝⑸炙惴?gòu)建了面向大量測(cè)量/仿真數(shù)據(jù)的有效數(shù)據(jù)篩選模型?；诹Ｗ尤簝?yōu)化算法建立了面向篩選后數(shù)據(jù)的最小橢球包絡(luò)計(jì)算模型。針對(duì)當(dāng)前航天有效載荷與天線系統(tǒng)大量應(yīng)用的10m尺度量集，開展了特定點(diǎn)數(shù)據(jù)測(cè)量與測(cè)量場(chǎng)地不同位置的測(cè)量數(shù)據(jù)的分析與計(jì)算。模型高效準(zhǔn)確地將測(cè)量的點(diǎn)云數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成特定點(diǎn)的不確定度橢球模型，并再現(xiàn)了其在測(cè)量場(chǎng)內(nèi)的分布與姿態(tài)，這充分驗(yàn)證了數(shù)據(jù)篩選與最小橢球包絡(luò)模型的有效性，也證明了模型的在不同條件下的適用性。這對(duì)高效快速準(zhǔn)確地獲取激光測(cè)量設(shè)備在3維測(cè)量空間內(nèi)的測(cè)量不確定度分布情況，并對(duì)進(jìn)一步完成高效地測(cè)量布局分析、設(shè)計(jì)研究具有重要意義。

該模型在針對(duì)其它激光球坐標(biāo)測(cè)量系統(tǒng)、更大尺度量級(jí)以及面向多站、轉(zhuǎn)站以及多系統(tǒng)聯(lián)測(cè)角度的不確定度分析中均具有很強(qiáng)的應(yīng)用潛力，這也是后續(xù)研究開展的重要方向。