廣州市第四中學(xué)(510170) 劉運(yùn)科

0 問題的提出

教育部《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 年版2020 年修訂)》(以下簡稱《課標(biāo)》)提出了六大核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析,培養(yǎng)和提高學(xué)生的核心素養(yǎng),是高中數(shù)學(xué)課程的目標(biāo).通過怎樣的途徑來培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)呢? 當(dāng)然是通過教學(xué)活動(dòng).如何開展教學(xué)活動(dòng)呢?《課標(biāo)》在“實(shí)施建議”部分,給出了五點(diǎn)教學(xué)建議.其中的第五點(diǎn)是“重視信息技術(shù)運(yùn)用,實(shí)現(xiàn)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合”.《課標(biāo)》指出,“教師應(yīng)重視信息技術(shù)的運(yùn)用,優(yōu)化課堂教學(xué),轉(zhuǎn)變教學(xué)與學(xué)習(xí)方式”,“教師應(yīng)注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合,實(shí)現(xiàn)傳統(tǒng)教學(xué)手段難以達(dá)到的效果”.

GeoGebra 是一款功能強(qiáng)大的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件,包含了繪圖、計(jì)算、幾何、3D 繪圖、表格、概率等功能.GeoGebra 軟件的最大特點(diǎn)是完美地實(shí)現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”,表現(xiàn)在:能利用坐標(biāo)準(zhǔn)確作圖(各種二維圖形、三維圖形);圖形是矢量圖,通過鼠標(biāo)能對圖形進(jìn)行縮放、旋轉(zhuǎn)等操作,圖形不會(huì)失真;三維圖形嚴(yán)格按照透視投影原理呈現(xiàn),符合真實(shí)視角.GeoGebra 還有較好的交互性:既可以在指令欄輸入指令來完成操作,簡潔高效;也可以用鼠標(biāo)在圖形用戶界面完成操作,簡單易學(xué).另外,GeoGebra 的滑動(dòng)條是一大特色,通過滑動(dòng)條,能設(shè)計(jì)出各種動(dòng)畫,來直觀演示圖形動(dòng)態(tài)變化的過程,實(shí)現(xiàn)了思維可視化.

如何利用GeoGebra 軟件,來培養(yǎng)和提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),成了當(dāng)下課程改革的一個(gè)重要研究課題.筆者自2017年開始使用GeoGebra,進(jìn)行了一些探索,積累了一些經(jīng)驗(yàn),現(xiàn)將其中的部分案例呈現(xiàn)出來,希望起到拋磚引玉的作用,同時(shí)為“如何利用GeoGebra 培養(yǎng)高中學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”提供一些素材.

1 利用GeoGebra 培養(yǎng)“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)

《課標(biāo)》指出:數(shù)學(xué)抽象是指通過對數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象,得到數(shù)學(xué)研究對象的素養(yǎng).主要包括:從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系,從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu),并用數(shù)學(xué)語言予以表征.

案例1 函數(shù)的周期性.函數(shù)的周期性定義如下:一般地,對于函數(shù)f(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí),都有f(x+T)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù),非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期.這是一種用符號語言形式化的定義,而學(xué)生更喜歡“函數(shù)值周而復(fù)始重復(fù)出現(xiàn)”這種描述化的定義,學(xué)生學(xué)習(xí)周期性最大的難點(diǎn)在于:為什么周期性要用抽象的符號化的定義? 在實(shí)際教學(xué)中,教師可以利用GeoGebra 來獲得函數(shù)圖象,設(shè)計(jì)問題串,解決這個(gè)難點(diǎn).

教師可以利用GeoGebra,利用三條指令:f(x)=如果(?1 ≤x≤ 1,abs(x)) ;滑 動(dòng) 條(0,12,2) ;序列(f(x+t),t,?n,n,2),構(gòu)造一個(gè)“鋸齒波”函數(shù)如下:

然后,設(shè)計(jì)問題串:從圖象上看,這個(gè)函數(shù)有什么特點(diǎn)?類比奇偶性、單調(diào)性的定義,如何用符號語言來定量描述這個(gè)特點(diǎn)? 常數(shù)T是否一定是正數(shù)? 如果T是周期,那么kT(k ∈Z0)是周期嗎? 為什么? 為什么要強(qiáng)調(diào)取定義域內(nèi)的每一個(gè)值?

利用GeoGebra 的直觀圖形,加上設(shè)計(jì)好的問題串,引導(dǎo)學(xué)生深入思考周期性符號定義的合理性和必要性,理解周期性概念的內(nèi)涵,培養(yǎng)和提高“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng).

2 利用GeoGebra 培養(yǎng)“邏輯推理”素養(yǎng)

《課標(biāo)》指出:邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā),依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng).主要包括兩類:一類是從特殊到一般的推理,推理形式主要有歸納、類比;一類是從一般到特殊的推理,推理形式主要有演繹.

案例2 從內(nèi)切圓半徑到內(nèi)切球半徑.連接三角形的內(nèi)心(內(nèi)切圓圓心)與三個(gè)頂點(diǎn),將三角形的面積進(jìn)行分割,由此可以求出三角形內(nèi)切圓的半徑r=,其中S是三角形的面積,l是三角形的周長.將此結(jié)論類比推理到空間中,結(jié)論是什么呢? 這是一個(gè)非常經(jīng)典的類比推理問題,學(xué)生往往不會(huì)進(jìn)行類比推理,得不到正確答案.在實(shí)際教學(xué)中,教師可以先設(shè)計(jì)好類比推理表格(如下),結(jié)合GeoGebra 來動(dòng)態(tài)展示面積、體積的分割過程,解決這個(gè)經(jīng)典問題.

可以充分利用好滑動(dòng)條、平移指令,來精心設(shè)計(jì)GeoGebra 課件,動(dòng)態(tài)展示面積、體積的分割過程(如下圖),讓學(xué)生深刻理解到:類比推理是思想方法上的類比,而不僅僅是結(jié)論形式上的相似.利用GeoGebra 的動(dòng)態(tài)直觀圖形,加上設(shè)計(jì)好的類比推理表格,引導(dǎo)學(xué)生深入思考類比推理的本質(zhì),培養(yǎng)和提高“邏輯推理”素養(yǎng).

3 利用GeoGebra 培養(yǎng)“數(shù)學(xué)建?！焙汀皵?shù)據(jù)分析”素養(yǎng)

《課標(biāo)》指出:數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象,用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng).數(shù)學(xué)建模過程主要包括:在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題,分析問題、建立模型,確定參數(shù)、計(jì)算求解,檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型,最終解決實(shí)際問題.

3.2 《課標(biāo)》對“數(shù)據(jù)分析”的表述

《課標(biāo)》指出:數(shù)據(jù)分析是指針對研究對象獲取數(shù)據(jù),運(yùn)用數(shù)學(xué)方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析和推斷,形成關(guān)于研究對象知識的素養(yǎng).數(shù)據(jù)分析過程主要包括:收集數(shù)據(jù),整理數(shù)據(jù),提取信息,構(gòu)建模型,進(jìn)行推斷,獲得結(jié)論.

案例3“茶溫提香”數(shù)學(xué)建模問題.新教材一個(gè)突出的特點(diǎn)是增加了“數(shù)學(xué)建?！眱?nèi)容,“茶溫提香”是人教A 版必修第一冊的一個(gè)經(jīng)典的數(shù)學(xué)建模實(shí)例.剛泡好的茶,放置多久能達(dá)到最佳口感呢? 這就需要從數(shù)學(xué)的角度來考慮問題,作出合理的假設(shè),建立恰當(dāng)?shù)哪Ｐ筒⑶蠼饽Ｐ汀@就是數(shù)學(xué)建模的基本過程.“數(shù)學(xué)建模”與“數(shù)據(jù)分析”緊密相連,在實(shí)際教學(xué)中,GeoGebra 是一個(gè)非常方便實(shí)用的輔助工具,主要體現(xiàn)在其強(qiáng)大的數(shù)據(jù)擬合功能.

在收集到時(shí)間與水溫的數(shù)據(jù)(如表) 之后,如何選擇模型、求解模型呢?

教師先引導(dǎo)學(xué)生做處理數(shù)據(jù)的第一步——畫散點(diǎn)圖;再根據(jù)事實(shí):水溫最終將降為室溫(25°C),引導(dǎo)學(xué)生選擇指數(shù)型函數(shù)模型y=kax+25(當(dāng)然,選擇另外的函數(shù)模型,如反比例型函數(shù)y=+25 也是合理的) ;然后,借助GeoGebra 的擬合功能,得出函數(shù)解析式;最后,檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇?思考如何改進(jìn)模型.

在這個(gè)實(shí)例中,GeoGebra 起到的作用有:散點(diǎn)圖形象直觀,方便提取信息,為解決問題提供思路;借助GeoGebra 的數(shù)據(jù)分析(擬合) 功能,可以避免繁瑣計(jì)算,直接求解模型.GeoGebra 的合理使用,有助于培養(yǎng)和提高“數(shù)學(xué)建?！?、“數(shù)據(jù)分析”素養(yǎng).

4 利用GeoGebra 培養(yǎng)“直觀想象”素養(yǎng)

《課標(biāo)》指出:直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化,利用空間形式特別是圖形,理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).主要包括:借助空間形式認(rèn)識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律;利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題;建立形與數(shù)的聯(lián)系,構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型,探索解決問題的思路.

我們先來看一個(gè)題目:如圖,在三棱錐P ?ABC中,底面是邊長為4 的正三角形,PA=2,PA⊥底面ABC.在線段PB上是否存在點(diǎn)G,使得直線AG與平面PBC所成角的正弦值為

在線段上,尋找一個(gè)動(dòng)點(diǎn),使其滿足一定的條件——這是一個(gè)典型的立體幾何存在性問題.解決這類問題的一種方法是“坐標(biāo)法”,將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題(向量問題),通過代數(shù)運(yùn)算(向量運(yùn)算),進(jìn)行求解.用坐標(biāo)法,有幾個(gè)難點(diǎn):建系正確合理;點(diǎn)的坐標(biāo)不能出錯(cuò);利用向量共線定理假設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo);理解用向量法求角的原理并在具體問題中正確運(yùn)用;準(zhǔn)確進(jìn)行向量運(yùn)算.

解決這類問題有另一種方法——幾何法.幾何法的關(guān)鍵是利用定義,作出有關(guān)的角;再利用解三角形,求出角.與坐標(biāo)法相比,幾何法的計(jì)算量較少,而對空間想象能力要求較高.我們可以利用GeoGebra 強(qiáng)大的3D 作圖功能,直觀呈現(xiàn)幾何體的結(jié)構(gòu),幫助學(xué)生理解空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系,作出正確的輔助線,再進(jìn)行求解.作圖的思維導(dǎo)圖如下.

在實(shí)際教學(xué)中,教師可以按照上述思維導(dǎo)圖,一步步引導(dǎo)學(xué)生思考如何進(jìn)行作圖,同時(shí)在GeoGebra 的3D 繪圖區(qū)逐步展示作圖過程,實(shí)現(xiàn)思維可視化.通過對圖形進(jìn)行縮放、拖曳、改變視角,學(xué)生進(jìn)一步理解幾何體的有關(guān)點(diǎn)線面的位置關(guān)系,理解線面角等有關(guān)概念,無形中培養(yǎng)了空間想象能力,提高了“直觀想象”素養(yǎng).

5 利用GeoGebra 培養(yǎng)“數(shù)學(xué)運(yùn)算”素養(yǎng)

《課標(biāo)》指出:數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上,依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).主要包括:理解運(yùn)算對象,掌握運(yùn)算法則,探究運(yùn)算思路,選擇運(yùn)算方法,設(shè)計(jì)運(yùn)算程序,求得運(yùn)算結(jié)果等.

案例5 圓錐曲線中的定值問題.圓錐曲線中的定值問題,是高考的一個(gè)熱點(diǎn),也是一個(gè)難點(diǎn).圓錐曲線定值問題的運(yùn)算思路較多,不恰當(dāng)?shù)乃悸窌?huì)導(dǎo)致運(yùn)算量巨大;如何從繁多的運(yùn)算思路中,尋找最佳的運(yùn)算思路,是解決問題的關(guān)鍵.在實(shí)際教學(xué)中,可以利用GeoGebra 作出精美圖形,利用滑動(dòng)條工具,將問題動(dòng)態(tài)直觀呈現(xiàn),觀察圖形運(yùn)動(dòng)變化中的不變量,分析條件和目標(biāo),合理轉(zhuǎn)化與化歸,再經(jīng)過嘗試與探究,從而找到最佳運(yùn)算求解方法.我們來看一個(gè)例子.

如圖,已知M是拋物線y2=x上異于原點(diǎn)O的一個(gè)定點(diǎn),動(dòng)弦ME,MF分別交x軸于A,B,且MA=MB,證明:直線EF的斜率為定值.

以此題為例,教師可以先制作GeoGebra 課件,利用滑動(dòng)條工具,動(dòng)態(tài)演示本題,給學(xué)生形成直觀印象,初步獲得三個(gè)命題(猜想):MA,MB斜率互為相反數(shù),直線EF的斜率為定值,直線EF的斜率只與點(diǎn)M的坐標(biāo)有關(guān);然后根據(jù)如下的流程圖,引導(dǎo)學(xué)生探究算理(如何設(shè)參數(shù)),尋求算法(運(yùn)算思路),證明猜想.

然后再讓學(xué)生分別按兩個(gè)思路進(jìn)行運(yùn)算,去證明命題;最后,對比兩種運(yùn)算方法,分析難點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn),比較方法的優(yōu)劣,經(jīng)反思后達(dá)成共識.

6 總結(jié)與展望

6.1 總結(jié)

一種功能強(qiáng)大的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件,GeoGebra 本身并不具備培養(yǎng)和提高學(xué)生核心素養(yǎng)的功能;但在教師的精心設(shè)計(jì)下,GeoGebra 課件配合其他教學(xué)工具和手段的使用,有利于培養(yǎng)和提高學(xué)生的核心素養(yǎng).具體如下:

(1)“GeoGebra+問題串”.利用GeoGebra 提供的豐富圖形,配合設(shè)計(jì)好的問題串,教師可以引導(dǎo)學(xué)生深入對象的共性和本質(zhì)特點(diǎn),從而抽象出有關(guān)概念,理解概念的內(nèi)涵和外延,培養(yǎng)和提高“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng).

(2)“GeoGebra+表格”.利用GeoGebra 的3D 功能,配合設(shè)計(jì)好的類比推理表格,動(dòng)態(tài)展示空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系,引導(dǎo)學(xué)生將平面幾何的知識類比推理到空間立體幾何,感悟和體驗(yàn)類比推理的本質(zhì)——思想方法的類比,培養(yǎng)和提高“邏輯推理”素養(yǎng).

(3)“GeoGebra+擬合”.在數(shù)學(xué)建模、概率統(tǒng)計(jì)等單元的教學(xué)中,可以用GeoGebra 來處理數(shù)據(jù):畫散點(diǎn)圖,提取信息,尋找思路;借助GeoGebra 的“擬合”功能,求解模型.GeoGebra 的合理使用,有助于培養(yǎng)和提高“數(shù)學(xué)建?！?、“數(shù)據(jù)分析”素養(yǎng).

(4)“GeoGebra+思維導(dǎo)圖”.在復(fù)雜的立體幾何解題教學(xué)中,教師可以設(shè)計(jì)好思維導(dǎo)圖,引導(dǎo)學(xué)生思考,同時(shí)在GeoGebra 中逐步展示圖形的變化過程,實(shí)現(xiàn)思維可視化,有助于培養(yǎng)和提高“直觀想象”素養(yǎng).

(5)“GeoGebra+流程圖”.在復(fù)雜的解析幾何解題教學(xué)中,可以先用GeoGebra 課件,動(dòng)態(tài)演示問題,獲得猜想;結(jié)合設(shè)計(jì)好的流程圖,去探究算理,尋求算法,執(zhí)行算法,反思算法.在反思算法環(huán)節(jié),GeoGebra 的計(jì)算器能執(zhí)行含字母的代數(shù)式的展開運(yùn)算,直觀呈現(xiàn)算法的復(fù)雜程度.GeoGebra 的合理使用,有助于培養(yǎng)和提高“數(shù)學(xué)運(yùn)算”素養(yǎng).

6.2 設(shè)想與展望

GeoGebra 軟件目前有電腦端和手機(jī)端,適用于各種操作系統(tǒng);目前還推出了GeoGebra Sensors 軟件,能利用智能手機(jī)獲得相應(yīng)的加速度、定向、磁場、鄰近度、照度、時(shí)間等參數(shù),并在GeoGebra 中利用.期待能開發(fā)出GeoGebra 傳感器等硬件設(shè)施,為獲取數(shù)據(jù)提供另外的途徑,并促使軟件進(jìn)一步完善.

目前利用GeoGebra 開展探究活動(dòng),多數(shù)是以教師為主導(dǎo)的,學(xué)生自主利用GeoGebra 開展探究活動(dòng)還不多見;教師主要是在課堂教學(xué)中使用GeoGebra 進(jìn)行,在其他時(shí)間使用較少.希望能通過不斷的學(xué)習(xí),更多師生開始使用GeoGebra,在各種不同的環(huán)境中使用GeoGebra,為全面利用GeoGebra開展探究活動(dòng)積累經(jīng)驗(yàn),來提升學(xué)生的核心素養(yǎng).