段佩

（商洛職業(yè)技術(shù)學(xué)院，陜西商洛 726000）

高等數(shù)學(xué)，作為高職學(xué)生必修的一門(mén)公共基礎(chǔ)課，而微積分則是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分，是微分學(xué)和積分學(xué)的總稱。其中，積分學(xué)由不定積分、定積分理論組成，積分是微分的逆運(yùn)算。不定積分是對(duì)已知的導(dǎo)數(shù)求其原函數(shù)，而定積分就是把圖像無(wú)限細(xì)分，然后利用小面積近似，進(jìn)行累加。反常積分則是對(duì)普通定積分的推廣，指含有無(wú)窮區(qū)間，或者被積函數(shù)含有瑕點(diǎn)的積分。前者稱為無(wú)窮區(qū)間反常積分，后者稱為瑕積分（或者無(wú)界函數(shù)反常積分）[1]。

高職學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對(duì)來(lái)說(shuō)比較薄弱，對(duì)抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)理解起來(lái)也較困難，他們擅長(zhǎng)形象的數(shù)學(xué)思維，不善于抽象的數(shù)學(xué)思維，尤其是形式運(yùn)算演算能力不足，純字母的形式運(yùn)算演算能力較弱。而在反常積分的學(xué)習(xí)過(guò)程中，不僅僅要有扎實(shí)的不定積分方面的基礎(chǔ)知識(shí)，還要有靈活的積分技巧；同時(shí)還要對(duì)定積分的概念理解透徹，熟練掌握定積分的性質(zhì)和計(jì)算辦法。大多數(shù)學(xué)生對(duì)反常積分的學(xué)習(xí)均感到繁瑣，學(xué)習(xí)要點(diǎn)的不易把握，所以對(duì)本節(jié)內(nèi)容覺(jué)得學(xué)起來(lái)非常困難。其實(shí)，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)反常積分的難點(diǎn)主要有三個(gè)：一是反常積分的定義抽象難理解；二是計(jì)算復(fù)雜不易掌握，不僅僅要求積分，還要用極限的知識(shí)求極限，而這種運(yùn)算的結(jié)合對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)也不容易；三是應(yīng)用難，而對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)高等數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際問(wèn)題解決中的應(yīng)用一直不簡(jiǎn)單，反常積分更是如此[2]。因此，在該節(jié)課的教學(xué)基礎(chǔ)上，提出一些自己的教學(xué)感受和技巧，希望能讓學(xué)生理解起來(lái)更輕松。

一、反常積分的計(jì)算

在實(shí)際計(jì)算中，將此類積分中上下限∞看作是一個(gè)“數(shù)”，直接用牛頓-萊布尼茨公式計(jì)算，再取極限即可。

比如例1可寫(xiě)為：

其中，F(xiàn) (x) 為f (x) 的一個(gè)原函數(shù)。這樣的話，我們關(guān)于反常積分的計(jì)算，就可以直接用牛頓-萊布尼茨公式計(jì)算，進(jìn)而再取極限即可[3]。

在判斷無(wú)窮區(qū)間反常積分?jǐn)可⑿詴r(shí)，也可采用以上辦法，先直接用牛頓-萊布尼茨公式計(jì)算，進(jìn)而再取極限，然后再去判斷斂散性[4]。

瑕積分計(jì)算，首先考慮被積函數(shù)在積分區(qū)間上瑕點(diǎn)，再借助牛頓-萊布尼茨公式和極限去計(jì)算。

例6 計(jì)算

注意：以上積分計(jì)算先求出原函數(shù)帶積分限求值時(shí)，能直接代入積分限就代入，不能代入就取單側(cè)極限。簡(jiǎn)而言之，就是，能代則代，不能代取極限。

注意：本例求解利用了分部積分法計(jì)算無(wú)窮區(qū)間上的反常積分。

注意：該例求解利用了換元法計(jì)算無(wú)窮區(qū)間上的反常積分。

反常積分也同樣有換元積分法和分部積分法，其思路同正常積分類似，求出被函函數(shù)f (x)的原函數(shù)后，再取極限即可。

通過(guò)以上例題可以發(fā)現(xiàn)，反常積分也可以采用與正常積分一樣的辦法來(lái)進(jìn)行計(jì)算。只是無(wú)窮限反常積分時(shí)，最后是將原函數(shù)上下限為無(wú)窮時(shí)取極限[5]。瑕積分在計(jì)算中，先找瑕點(diǎn)，再積分，最后取極限。與無(wú)窮積分的情形類似，瑕積分有下列運(yùn)算形式：

二、反常積分的應(yīng)用

反常積分是高等數(shù)學(xué)中積分學(xué)的一個(gè)非常重要的概念，實(shí)際應(yīng)用也頗為廣泛，實(shí)際中經(jīng)常會(huì)遇到反常積分的問(wèn)題。

例9 [不加控制下傳染病的傳染人數(shù)]

某種傳染病在流行期間被傳染患病的速度近似地可表示為r ( t ) =12000te-0.1t（人/天）， t為傳染病開(kāi)始流行的天數(shù)。若不加控制，最終將會(huì)傳染多少人？

例10 [飛機(jī)潤(rùn)滑油的生產(chǎn)]

若該公司要一次性生產(chǎn)這批飛機(jī)一年后所需要的全部潤(rùn)滑油，共需要生產(chǎn)多少？

微積分的在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)一直是難點(diǎn)，尤其是反常積分，往往無(wú)從下手。因此，在求解反常積分時(shí)首先要熟悉知識(shí)點(diǎn)、各種常用的計(jì)算方法，其次，要有良好的解題習(xí)慣和方法分析，善于分析思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)積累、歸納、總結(jié)某一類問(wèn)題的解法，從而提高自身解決問(wèn)題的能力。

通過(guò)以上論述可以認(rèn)識(shí)到，無(wú)論是無(wú)窮積分還是瑕積分，它們都是定積分的推廣。我們從定義出發(fā)，區(qū)分性質(zhì)的異同，理解背后的本質(zhì)，從而更加準(zhǔn)確深刻地理解反常積分和定積分，更容易接受和把握反常積分的內(nèi)容。