朱驚濤

(廣州大學(xué)附屬中學(xué))

(本試卷共22小題,滿分150分,考試用時(shí)120分鐘)

一、選擇題(本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)

1.已知集合A＝{x|x2-1＞0},B＝{x|x≥a},若A∪B＝A,則a的取值為( ).

A.1 B.2 C.-1 D.-2

2.已知復(fù)數(shù)z＝為單位虛數(shù)),則|z|的值為( ).

3.若樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,x9的標(biāo)準(zhǔn)差為8,則數(shù)據(jù)3x1-1,3x2-1,…,3x9-1的標(biāo)準(zhǔn)差為( ).

4.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且公差不為0,等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,且S17＝17at,Tn＝s·＋2,則t＋s＝( ).

A.19 B.7 C.11 D.15

5.將函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)(0＜|φ|＜)的橫坐標(biāo)縮短倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)g(x),已知函數(shù)g(x)的一個(gè)對(duì)稱中心為,則φ的值為( ).

6.已知AB是半徑為r的圓O的直徑,過圓O上的動(dòng)點(diǎn)P作切線與過點(diǎn)A,B的切線分別交于點(diǎn)M,N,則|AM|·|BN|＝( ).

7.“總把新桃換舊符”(王安石)、“燈前小草寫桃符”(陸游),春節(jié)是中華民族的傳統(tǒng)節(jié)日,在宋代人們用寫“桃符”的方式來祈福避禍,而現(xiàn)代人們通過貼“福”字、貼春聯(lián)、掛燈籠等方式表達(dá)對(duì)新年的美好祝愿.某商家在春節(jié)前開展商品促銷活動(dòng),顧客凡購物金額滿80元,則可以從“福”字、春聯(lián)和燈籠這三類禮品中任意免費(fèi)領(lǐng)取一件,若有5名顧客都領(lǐng)取一件禮品,則他們中恰有3人領(lǐng)取的禮品種類相同的概率是( ).

8.已知a＝log1.21.3,b＝,c＝log1.31.4,則a,b,c的大小關(guān)系為( ).

A.a＞b＞cB.c＞b＞aC.b＞a＞cD.a＞c＞b

二、多選題(本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)是符合題目要求的.全部選對(duì)的得5分,有選錯(cuò)的得0分,部分選對(duì)的得2分.)

9.下列命題正確的是( ).

B.(2a＋b)·c＝2a·c＋b·c

C.a∥b且b≠0,則?λ∈R,使a＝λb

D.b,c均為單位向量,且b⊥c,若a＝λb＋μc(λ,μ∈R),則a＝(λ,μ)

10.下列說法正確的是( ).

A.若x,y＞0,滿足x＋y＝2,則2x＋2y的最小值為4

B.若x＜,則函數(shù)y＝2x＋的最小值為-1

C.若x,y＞0,滿足x＋y＋xy＝3,則x＋y的最小值為2

D.函數(shù)y＝的最小值為3＋

11.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是棱A1B1的中點(diǎn),P是線段A1C(不含端點(diǎn))上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),那么在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中,下列說法正確的是( ).

A.存在某一位置,使得BC⊥平面AEP

B.存在某一位置,使得BC∥平面AEP

C.三棱錐C1-PBE的體積不變

D.∠AEP的余弦值的取值范圍是

A.曲線Γ關(guān)于x,y軸都對(duì)稱 B.曲線Γ與雙曲線C有公共點(diǎn)

C.曲線Γ有漸近線 D.曲線Γ在第三象限內(nèi)y隨x的增大而增大

三、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分.)

13.若函數(shù)f(x)＝cosx·ln(mx＋的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則實(shí)數(shù)m＝________.

15.拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F,A,B是拋物線上兩點(diǎn),且,且AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為3,則線段AF的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為_________.

16.已知A,B,C,D是體積為的球體表面上四點(diǎn),若AB＝6,AC＝3,BC＝,且三棱維A-BCD的體積為,則線段CD長度的最大值為_________.

四、解答題(本題共6小題,共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

17.(10分)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若sin(B＋)＝,且b2-c2＝5a.

(1)求a＋c的值;

(2)若cosA＝,求△ABC的面積.

18.(12分)已知首項(xiàng)是3的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn＋1-1＝Sn＋2an＋2n＋1,數(shù)列{bn}滿足bn＝

(1)證明:{bn}是等差數(shù)列,并求{bn}的通項(xiàng)公式;

(2)求數(shù)列{a2n-1}的前n項(xiàng)和Tn.

19.(12分)某網(wǎng)絡(luò)購物平臺(tái)每年11月11日舉行“雙十一”購物節(jié),當(dāng)天有多項(xiàng)優(yōu)惠活動(dòng),深受廣大消費(fèi)者喜愛.

(1)已知該網(wǎng)絡(luò)購物平臺(tái)近5年“雙十一”購物節(jié)當(dāng)天成交額如下表.

年份 2017 2018 2019 2020 2021_成交額/百億元 9 12 17 21 27___

求成交額y(百億元)與時(shí)間變量x(記2017年為x＝1,2018年為x＝2,…依次類推)的線性回歸方程,并預(yù)測(cè)2022年該平臺(tái)“雙十一”購物節(jié)當(dāng)天的成交額(百億元);

(2)在2022年“雙十一”購物節(jié)前,甲、乙、丙三位同學(xué)計(jì)劃在該網(wǎng)絡(luò)購物平臺(tái)上分別參加A,B,C三店各一個(gè)訂單的“秒殺”搶購,且訂單“秒殺”成功的概率分別為,又已知甲在A店訂單的商品件數(shù)是2件,其余兩人訂單的商品件數(shù)都是1件,求三位同學(xué)搶購到的商品總件數(shù)X的數(shù)學(xué)期望.

附:一組數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其回歸直線^y＝^bx＋^a的斜率和截距的最小二乘估計(jì)為^b＝

20.(12分)如圖所示,在五面體ABCDE中,DA⊥AC,平面ABC⊥平面DAC,AD∥BE,且AB＝BC＝,AC＝AD＝2BE＝2.

(1)求證:平面DEC⊥平面DAC;

(2)線段AC上是否存在一點(diǎn)P,使得二面角P-DE-C的余弦值等于,若存在,求出線段PC的長度;若不存在,說明理由.

(1)求橢圓E的方程;

22.(12分)已知函數(shù)f(x)＝ax(x＋1)-ln(x＋1),a∈R.

(1)當(dāng)a＝1時(shí),證明:f(x)≥0;

(2)若f(x)≥cosx-1恒成立,求a的取值范圍.