羅文軍

(甘肅省秦安縣第二中學(xué))

(本試卷共22小題,滿分150分,考試用時120分鐘)

一、選擇題(本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的選項中,只有一項是符合題目要求的.)

1.已知集合A＝{-1,0,1},B＝{1,2,3},C＝{(x,y)|x∈A,y∈B,xy∈A},則集合C中所含元素的個數(shù)為( ).

A.3 B.4 C.5 D.6

2.復(fù)數(shù)z滿足(z＋2)(3＋4i)＝25(i為虛數(shù)單位),則z的共軛復(fù)數(shù)為( ).

A.1-4i B.1＋4i C.1＋3i D.1-3i

3.已知函數(shù)f(x)＝sinx＋sin(cosx),下列說法正確的是( ).

A.函數(shù)f(x)為奇函數(shù) B.函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x＝π對稱C.π為函數(shù)f(x)的一個周期 D.函數(shù)f(x)在[-,0]上單調(diào)遞增

4.若e1,e2是兩個夾角為45°的單位向量,已知a＝3e1＋4e2,則|a|＝( ).

5.已知角α的頂點(diǎn)在原點(diǎn),始邊與x軸非負(fù)半軸重合,終邊與直線2x-y＋3＝0平行,則的值為( ).

6.已知傾斜角為60°的直線m經(jīng)過拋物線C:y2＝4x的焦點(diǎn)F且與C的準(zhǔn)線l交于點(diǎn)A,記直線m與C在x軸上方的交點(diǎn)為B,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),則△AOB的面積為( ).

7.已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋x在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為x＋4y-2＝0,則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個數(shù)為( ).

A.0 B.1 C.2 D.3

8.已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝,a1＝,則a2022＝( ).

二、多選題(本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項是符合題目要求的.全部選對的得5分,有選錯的得0分,部分選對的得2分.)

9.已知點(diǎn)M與兩個定點(diǎn)O(0,0),A(0,2)的距離之比為,記點(diǎn)M的軌跡為E,若直線y＝＋b與曲線E相切,則b的可能取值是( ).

10.攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式,通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖,多見于亭閣式建筑、園林建筑.下面以四角攢尖為例,如圖,它的屋頂部分的輪廓可近似看作一個正四棱錐,已知此正四棱錐的底面正方形的邊長為米,側(cè)棱長為4米,則該正四棱錐的( ).

11.設(shè)P為橢圓C＝1上一點(diǎn),F1,F2分別為C的左、右焦點(diǎn),則下列說法正確的是( ).

12.已知x＞0,y＞0且2x＋3y＝10,則下列結(jié)論正確的是( ).

三、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分.)

13.已知函數(shù)f(x)＝則f(f(f(256)))＝_________.

14.(2＋3x＋4x2)(1＋x)6展開式中x3的系數(shù)為________.

15.已知函數(shù)f(x)的定義域為{x|x≠0},若函數(shù)f(x)同時滿足:①f(xy)＝f(x)＋f(y);②f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,＋∞);③f(1)＝0,則f(x)＝_________(答案不唯一,寫出滿足這些條件的一個函數(shù)即可).

四、解答題(本題共6小題,共70分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

17.(10分)已知等差數(shù)列{an}滿足a3＝7,a6＋a9＝32.

(1)求{an}的通項公式;

(2)從①bn＝＋an;②bn＝an·;③bn＝這三個條件中任選一個補(bǔ)充在下面問題中,并解答.

數(shù)列{bn}滿足_________,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.18.(12分)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知,b＝6.

(1)求角B的大小;

(2)若點(diǎn)D在邊BC上,且求△ACD面積的最大值.

19.(12分)某中學(xué)在2021年組織了“建黨百年”黨史知識競賽,抽取120名考生的成績(單位:分)按[95,105),[105,115),[115,125),[125,135),[135,145]分成5組,制成頻率分布直方圖,如圖所示.

(1)估計這120名考生的平均成績以及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);

(2)由直方圖可認(rèn)為考生成績Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ,σ2分別取考生的平均成績ˉx和考生成績的方差s2,利用該正態(tài)分布,求P(109.55＜Z＜133.45).

20.(12分)已知圓O:x2＋y2＝7,橢圓＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過F2且垂直于x軸的直線被橢圓C和圓O所截得的弦長分別為3和

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若不過點(diǎn)B的直線l與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),且滿足,試探究:直線l是否過定點(diǎn),若是,求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不是,說明理由.

21.(12分)如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB＝90°,CA＝CB＝AA1＝2,M,N分別是A1B與CC1的中點(diǎn),G為ABN的重心.

(1)求證:MG⊥平面ABN;

(2)求二面角A1-AB-N的正弦值.

22.(12分)已知函數(shù)f(x)＝x-lnx＋a(a∈R).

(1)求函數(shù)f(x)的極值;

(2)設(shè)函數(shù)f(x)的圖像與直線y＝t交于M(x1,t),B(x2,t)兩點(diǎn),且x1＜x2,求證:函數(shù)f(x)在x＝處的切線斜率大于0.