趙程程

(山東省鄒平市第二中學)

直線和曲線參數(shù)方程的引入,為解析幾何問題的求解提供了便利的工具,相關問題的求解中既可以直接利用參數(shù)方程,也可以將參數(shù)方程轉化為直角坐標方程.在某些問題的求解中,學生常常因為忽視參數(shù)的幾何意義、不注意考慮參數(shù)的范圍等原因出錯,造成無謂失分,本文就常見的失分點舉例辨析.

1 未對直線傾斜角進行討論

過點M(x0,y0),傾斜角為α(α≠)的直線l的直角坐標方程為y-y0＝tanα(x-x0),其參數(shù)方程的標準形式為

將參數(shù)方程化為普通方程時要注意對傾斜角(即對斜率)存在與否進行討論.

例1(2018年全國Ⅱ卷理22)在平面直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(θ為 參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).

(1)求C和l的直角坐標方程;

(2)若曲線C截直線l所得線段的中點坐標為(1,2),求l的斜率.

辨析上述解法的錯誤之處在第(1)問,將直線的參數(shù)方程化為普通方程,且傾斜角α未知時,要對其是否為(即cosα是否為0)進行討論.

當cosα≠0時,l的直角坐標方程為y＝tanα·x＋2-tanα;當cosα＝0時,l的直角坐標方程為x＝1.求解類似問題時,需注意傾斜角的范圍是[0,π).

2 機械地套用參數(shù)的幾何意義

選擇的視角不同,同一直線或曲線的參數(shù)方程可能不同,因此參數(shù)方程有標準方程和一般方程之分.過定點M0(x0,y0),傾斜角為α的直線參數(shù)方程的標準形式為(t為參數(shù)).其中參數(shù)|t|表示直線l上任意一點M(x,y)到定點M0(x0,y0)的距離.對直線參數(shù)方程的一般形式(t為參數(shù)),若a2＋b2≠1,則參數(shù)t不具有這一幾何意義.

例2在平面直角坐標系xOy中,直線l:(t為參數(shù)).以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標系中,圓C的極坐標方程為ρ＝2.

(1)求直線l的一般方程以及圓C的直角坐標方程;

(2)設P(-1,1),直線l和圓C相交于M,N兩點,求||PM|＋|PN||的值.

錯解(1)由消去參數(shù)t得x-2y＋3＝0,即為直線l的一般方程.由ρ2＝x2＋y2及ρ＝2,得x2＋y2＝4,即圓C的直角坐標方程.

辨析本題中所給的直線的參數(shù)方程,并不是標準形式,其中的參數(shù)不具有相應的幾何意義,因此可先將其化為參數(shù)方程的標準形式后再利用參數(shù)的幾何意義求解.

從而實現(xiàn)了參數(shù)方程一般式與標準式的轉化.

據(jù)此可得直線l的參數(shù)方程的標準式為

3 遺漏對判別式的判定

坐標系與參數(shù)方程大多以直線和曲線的位置關系為背景,此類問題往往需要將直線方程與曲線方程聯(lián)立,借助判別式、根與系數(shù)的關系處理.有些題目聯(lián)立方程后所得一元二次方程的判別式并不是恒大于或等于0,這時就要對其加以限制.

例3過點P,0)作傾斜角為α的直線與曲線x2＋2y2＝1交于M,N兩點,求|PM|·|PN|的最小值.

錯解設直線的參數(shù)方程為

將其代入曲線x2＋2y2＝1得.

設點M對應的參數(shù)為t1,點N對應的參數(shù)為t2,由根與系數(shù)的關系得t1t2＝,所以

因為0≤sin2α≤1,所以當sin2α＝1時,有

辨析對于直線與曲線相交問題,利用代入消元法,將直線方程與曲線方程聯(lián)立得到一元二次方程后,首先要滿足的條件是判別式大于或等于0,即

4 無視參數(shù)范圍對坐標的限制

將不同的方程進行統(tǒng)一轉化是處理坐標系與參數(shù)方程問題的常用策略,在轉化的過程中如果沒有注意參數(shù)范圍的限制,轉化后直角坐標方程中x,y的范圍就會擴大,從而使解題出現(xiàn)錯誤.

例4(2020年全國Ⅰ卷理22)在平面直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為

(1)若k＝1,C1是什么曲線?

(2)若k＝4,求C1與C2的公共點的直角坐標.

錯解(1)當k＝1時,曲線(t為參數(shù)),進而可得x2＋y2＝1,即曲線C1是圓心為坐標原點,半徑為1的圓.

(2)當k＝4 時,曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),即(t為參數(shù)),進而可得＋1,即C1的直角坐標方程.

對于曲線C2:4ρcosθ-16ρsinθ＋3＝0,由x＝ρcosθ,y＝ρsinθ,得其直角坐標方程為

當然,類似的失分點還有很多,在此不再一一列舉.總之,在處理有關參數(shù)方程的問題時,學生要明確易錯點,認清致錯根源,找到合理的避錯策略,避免“會而不對,對而不全”等情況的出現(xiàn).

(完)