余春春 傅 敏

(浙江建設(shè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程學(xué)院， 杭州 311211)

在地震等動(dòng)態(tài)荷載作用下，建筑結(jié)構(gòu)特別是建筑基礎(chǔ)通常會(huì)遭受破壞而導(dǎo)致建筑物的倒塌，隨著樁基特別是管樁在建筑工程、海洋工程等領(lǐng)域的應(yīng)用，有關(guān)樁基振動(dòng)特性的研究就顯得特別重要。從20世紀(jì)70年代以來(lái)，眾多學(xué)者針對(duì)實(shí)芯樁的振動(dòng)問(wèn)題開(kāi)展了較為系統(tǒng)的研究[2-7]，這些成果為樁-土動(dòng)力相互作用的研究奠定了基礎(chǔ)。近二三十年來(lái)，隨著管樁技術(shù)的發(fā)展和管樁的不斷應(yīng)用，針對(duì)樁芯土-管樁-樁周土動(dòng)力相互作用的研究逐步成為研究的熱點(diǎn)。將土體視為單相介質(zhì)，Ding等得到了瞬態(tài)集中荷載作用下管樁振動(dòng)的時(shí)域解析解[8]；劉林超等將管樁、樁周土和樁芯土看作一個(gè)整體，基于軸對(duì)稱模型和樁-土接觸面連續(xù)性條件給出了管樁豎向振動(dòng)的解析解[9]；沈紀(jì)蘋(píng)等運(yùn)用初參數(shù)法和傳遞矩陣法得到了管樁的水平振動(dòng)，給出了管樁樁頂?shù)乃絼?dòng)力阻抗[10]；鄭長(zhǎng)杰等基于一維歐拉-伯努利梁模型，從土體三維波動(dòng)方程出發(fā)對(duì)黏彈性地基中管樁的水平振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行了理論研究[11]。然而這些研究都認(rèn)為樁芯土體完全充滿管樁，是一種較為理論化的模型。在成樁過(guò)程中，會(huì)在樁端形成一定高度的土塞，也就是說(shuō)，樁芯土并不是一定完全充滿管樁的，針對(duì)土塞效應(yīng)的影響，吳文兵等在考慮土塞效應(yīng)和橫向慣性效應(yīng)的情況下研究了管樁-土體縱向動(dòng)力相互作用問(wèn)題，得到了任意荷載形式下管樁樁頂速度頻域響應(yīng)的解析解以及半正弦脈沖激勵(lì)作用下樁頂速度時(shí)域響應(yīng)的半解析解[12]，吳君濤等考慮樁身三維效應(yīng)的情況下得到了大直徑薄壁管樁-樁端土塞縱向耦合振動(dòng)的解析解答及其時(shí)域內(nèi)半解析解[13]。總結(jié)以往針對(duì)實(shí)芯樁和管樁振動(dòng)特性的研究，除了很少考慮土塞效應(yīng)外，大多情況下也沒(méi)有考慮土體黏滯性的影響而是將樁周土樁芯土都視為彈性介質(zhì)，對(duì)于以黏土為主的地基，其黏滯性效應(yīng)的影響不應(yīng)被忽略。同時(shí)，對(duì)于長(zhǎng)江三角洲、珠江三角洲等地區(qū)以及海洋平臺(tái)樁基礎(chǔ)，還需要考慮液相對(duì)土體的影響，因此在一些工程中將樁周土和樁芯土視為飽和黏彈性兩相介質(zhì)更為符合工程實(shí)際[14]。為此，將在考慮土塞效應(yīng)和樁周土樁芯土黏滯性的情況下，采用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)描述的黏彈性飽和土模型刻畫(huà)土體的力學(xué)行為，研究考慮土塞效應(yīng)的黏彈性飽和土中部分外露管樁的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)問(wèn)題。

1 位移形式表示的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)黏彈性飽和土扭轉(zhuǎn)振動(dòng)方程

針對(duì)圖1所示的飽和土中部分外露管樁的扭轉(zhuǎn)簡(jiǎn)諧振動(dòng)進(jìn)行研究。為了克服Biot飽和土理論和經(jīng)典黏彈性理論存在的缺陷，構(gòu)建了基于多孔介質(zhì)理論和分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)表達(dá)的黏彈性飽和土扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型和控制方程。樁周飽和土和樁芯飽和土采用多孔介質(zhì)理論進(jìn)行描述，相應(yīng)的動(dòng)量方程和體積分?jǐn)?shù)方程為[15]:

圖1 飽和土與部分外露管樁的扭轉(zhuǎn)動(dòng)力相互作用模型

(1)

其中TS=TSE-nSpI,TF=TLE-nFpI

pF=-pS=pgradnF+pLE

nS+nF=1

式中：TSE、TLE為固相土骨架有效應(yīng)力張量、液相有效應(yīng)力張量；nS、nF為固相、液相的體積分?jǐn)?shù)；p為有效孔隙水壓力；I為單位矩陣；uS、uF為固相、液相的位移矢量；pLE為額外數(shù)量；ρS、ρF為固相、液相的表觀密度；bS、bF為固相、液相的外部加速度；文中計(jì)算將忽略不計(jì)TF。

采用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)黏彈性模型刻畫(huà)固相土骨架應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系，應(yīng)滿足[16]：

(λSεSI+2μSεSI)

(2)

固相土骨架應(yīng)變-位移張量εS滿足:

(3)

為簡(jiǎn)化計(jì)算，這里采用薄層法求解樁周飽和土和樁芯飽和土的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，為此將樁周飽和土視為帶一半徑為rO圓孔的無(wú)限大薄土層，樁芯土視為半徑為rI的薄土層，各土層之間互相獨(dú)立，忽略徑向位移和豎向位移的影響，僅考慮固相和液相的環(huán)向位移，且與z、θ無(wú)關(guān)。在軸對(duì)稱坐標(biāo)系，由式(1)～(3)可得：

(4a)

(4b)

(4c)

由式(4)并考慮分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)可得以位移表示的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)黏彈性飽和土的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)方程為：

(5)

(6)

2 基于薄層法的樁周飽和土和樁芯飽和土扭轉(zhuǎn)振動(dòng)求解

針對(duì)圖1所示的樁周飽和土和樁芯飽和土，由式(5)、(6)分別建立其扭轉(zhuǎn)振動(dòng)方程為：

(7a)

(7b)

(8a)

(8b)

考慮樁周飽和土無(wú)窮遠(yuǎn)處位移為零和樁芯飽和土在管樁軸線處位移為有限值。由式(8a)和式(8b)可得：

(9a)

(9b)

式中：K(*)、I1(*)分別為第1階第二類和第一類變形Bessel函數(shù)；AO和AI為待定系數(shù)。

設(shè)樁周飽和土、樁芯飽和土與管樁接觸面處無(wú)量綱位移為1，則可以確定待定系數(shù)AO和AI，進(jìn)而可得：

(10)

(11)

由式(4c)、式(10)和式(11)可得產(chǎn)生單位環(huán)向位移時(shí)樁周飽和土和樁芯飽和土的剪切應(yīng)力為:

(12)

(13)

式中：K2(*)、I2(*)分別為2階第二類和第一類變形Bassel函數(shù)；G為土的剪切模量。

對(duì)于圖1所示的部分外露飽和土中的管樁，在L1段樁周飽和土和樁芯飽和土同時(shí)對(duì)管樁有作用，在L2段只有樁周飽和土對(duì)管樁有作用，在L3段沒(méi)有土體的作用。由此可以得到產(chǎn)生單位環(huán)向位移時(shí)單位厚度土體對(duì)L1段和L2段的扭轉(zhuǎn)作用分別為:

(14a)

(14b)

式中：kθ1、cθ1、kθ2、cθ2分別為L(zhǎng)1、L2段樁周飽和土和樁芯飽和土等效扭轉(zhuǎn)Winkler彈簧-阻尼器的剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)。

3 分?jǐn)?shù)階黏彈性飽和土中部分外露管樁扭轉(zhuǎn)振動(dòng)求解

考慮樁周飽和土和樁芯飽和土對(duì)L1、L2、L3段的作用，可以建立各段管樁的無(wú)量綱形式的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)方程分別為：

(15)

式中：θ1p、θ2p、θ3p分別為L(zhǎng)1段、L2段和L3段管樁的扭轉(zhuǎn)角；Gpp和ρpp為管樁樁身的剪切模量和密度。

解得扭轉(zhuǎn)角：

(16)

式中：A1、A2、A3、B1、B2、B3為待定系數(shù)。

由式(16)可得各段樁身扭矩與扭轉(zhuǎn)角的關(guān)系為:

(17)

從下往上依次運(yùn)用初始參數(shù)法，可以得到L1、L2、L3段管樁樁頂扭矩和扭轉(zhuǎn)角與樁底扭矩和扭轉(zhuǎn)角的關(guān)系分別為[17]：

(18a)

(18b)

(18c)

其中

對(duì)飽和土中部分外露管樁各段運(yùn)用傳遞矩陣法，最終可以得到管樁樁頂與樁底扭矩與扭轉(zhuǎn)角的關(guān)系為：

(19)

當(dāng)樁的入土深度達(dá)到一定長(zhǎng)度時(shí)樁底約束條件對(duì)樁振動(dòng)特性的影響不大，這里假定管樁樁底與基巖完全固接，則有θ(0)=0。再由管樁樁頂復(fù)剛度的定義和式(17)可得到管樁樁頂?shù)呐まD(zhuǎn)復(fù)剛度為：

(20)

4 參數(shù)影響分析

通過(guò)樁頂扭轉(zhuǎn)剛度因子Kθ和等效阻尼系數(shù)Cθ研究管樁和土體的材料力學(xué)性質(zhì)參數(shù)和幾何參數(shù)等對(duì)考慮土塞效應(yīng)的分?jǐn)?shù)階黏彈性飽和土中部分外露管樁扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的影響。對(duì)于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)黏彈性模型中有關(guān)土體參數(shù)的確定可以通過(guò)土體蠕變?cè)囼?yàn)擬合得到相關(guān)參數(shù)，結(jié)合實(shí)際工程中相關(guān)參數(shù)的取值范圍，管樁、樁周飽和土、樁芯飽和土相關(guān)參數(shù)取值為：rI=0.5,αO=αI=2,L1=5,L2=20,L3=5,G=1,Gp=1 000,ρp=2.5,ρ=1,s=1,τ1=τ2=1,Sov=0.05,ρO=ρI=2,TO1=15,TO2=10?？紤]本構(gòu)關(guān)系式(2)以及分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)黏彈性的解可退化到經(jīng)典黏彈性和彈性解的情況。為了驗(yàn)證分析結(jié)果的正確性，圖2給出采用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)黏彈性、經(jīng)典黏彈性和彈性三種模型得到的扭轉(zhuǎn)剛度因子和等效阻尼系數(shù)。很明顯，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)黏彈性模型的解介于經(jīng)典黏彈性模型和彈性解之間，并且可以退化到經(jīng)典黏彈性模型和彈性解，可見(jiàn)分析方法的正確性。從中可以看出：樁頂扭轉(zhuǎn)剛度因子和等效阻尼系數(shù)隨頻率的變化曲線存在波峰和波谷，系統(tǒng)存在共振現(xiàn)象。同時(shí)還可以看出：在無(wú)量綱頻率rOω/vOs=8.0附近存在一個(gè)突變點(diǎn)。從圖2可以看出：采用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)黏彈性模型時(shí)扭轉(zhuǎn)剛度因子隨頻率變化曲線存在突變點(diǎn)，而采用經(jīng)典黏彈性模型時(shí)等效阻尼系數(shù)隨頻率變化曲線存在突變點(diǎn)，而彈性解不存在突變點(diǎn)。從圖3可以看出隨著分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的增大突變點(diǎn)也會(huì)消失。由此可見(jiàn)，突變點(diǎn)的出現(xiàn)可能與考慮土體黏滯性和采用的黏彈性本構(gòu)模型以及土體模型參數(shù)有關(guān)。

a—扭轉(zhuǎn)剛度因子; b—等效阻尼系數(shù)。分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)黏彈性模型； 經(jīng)典黏彈性模型； 彈性模型。

a—扭轉(zhuǎn)剛度因子; b—等效阻尼系數(shù)。 αO=αI=0.1； αO=αI=0.4; αO=αI=0.7; αO=αI=1.0。

圖4～8給出了管樁和飽和土的材料力學(xué)參數(shù)對(duì)考慮土塞效應(yīng)的分?jǐn)?shù)階黏彈性飽和土中部分外露管樁扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的影響曲線。飽和土模型參數(shù)αO、αI、TO1、TO2對(duì)分?jǐn)?shù)階黏彈性飽和土中部分外露管樁的扭轉(zhuǎn)剛度因子和等效阻尼有較大的影響(圖3～5)，且分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)αO和αI越大，扭轉(zhuǎn)剛度因子和等效阻尼越小，并逐漸逼近經(jīng)典黏彈性模型(αO=αI=1)的解；樁周飽和土和樁芯飽和土黏性的影響見(jiàn)圖4、圖6，當(dāng)TO1增大TO2減小時(shí)，樁周飽和土和樁芯飽和土對(duì)管樁的作用力增大，樁頂位移減小，所以管樁的扭轉(zhuǎn)剛度因子和等效阻尼增大，可見(jiàn)研究管樁振動(dòng)時(shí)不能忽略土體黏滯性的影響。相較于經(jīng)典黏彈性模型，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)黏彈性模型的工程應(yīng)用范圍更廣一些。

a—扭轉(zhuǎn)剛度因子; b—等效阻尼系數(shù)。TO1=15; TO1=20; TO1=25; TO1=30。

a—扭轉(zhuǎn)剛度因子; b—等效阻尼系數(shù)。TO2=2； TO2=4； TO2=6；TO2=8。

a—扭轉(zhuǎn)剛度因子; b—等效阻尼系數(shù)。τ1=1.2； τ1=1.4； τ1=1.6； τ1=1.8。

a—扭轉(zhuǎn)剛度因子; b—等效阻尼系數(shù)。τ2=0.2; τ2=0.4; τ2=0.6; τ2=0.8。

a—扭轉(zhuǎn)剛度因子; b—等效阻尼系數(shù)。s=0.1； s=1.0； s=10。

a—扭轉(zhuǎn)剛度因子; b—等效阻尼系數(shù)。Gp=2 000； Gp=2 500；Gp=3 000； Gp=3 500。

盡管飽和土的材料力學(xué)參數(shù)對(duì)管樁扭轉(zhuǎn)振動(dòng)有較大影響，但管樁樁芯飽和土和樁周飽和土性質(zhì)(黏性和液固耦合系數(shù))的差異對(duì)管樁幾乎沒(méi)有影響(圖6～8)，因此在研究部分土塞部分外露管樁扭轉(zhuǎn)振動(dòng)時(shí)可以不考慮樁芯土塞部分與樁周飽和土性質(zhì)差異的影響，認(rèn)為樁周飽和土和樁芯飽和土性質(zhì)一樣來(lái)處理，但不能忽略樁芯飽和土的影響。管樁和土體剪切模量比G對(duì)考慮土塞效應(yīng)的分?jǐn)?shù)階黏彈性飽和土中部分外露管樁扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的影響較大，剪切模量比G越大，也即管樁的剪切模量越大，管樁的扭轉(zhuǎn)變形越小，扭轉(zhuǎn)剛度因子和等效阻尼系數(shù)隨頻率變化曲線的峰值越大，峰值對(duì)應(yīng)的頻率也越大。管樁幾何性質(zhì)參數(shù)對(duì)考慮土塞效應(yīng)的分?jǐn)?shù)階黏彈性飽和土中部分外露管樁扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的影響相較材料力學(xué)性質(zhì)參數(shù)的影響要大得多，由圖10～13可以看出：l1、l2越大，相當(dāng)于埋入部分和土塞部分長(zhǎng)度越大，雖然飽和土對(duì)管樁的約束作用增大，管樁扭轉(zhuǎn)角越小，但由于此時(shí)管樁較長(zhǎng)，管樁樁頂環(huán)向位移越大，所以管樁的扭轉(zhuǎn)剛度因子和等效阻尼系數(shù)越小。由于外露部分管樁長(zhǎng)度l3相對(duì)較短，其對(duì)管樁扭轉(zhuǎn)剛度因子和等效阻尼系數(shù)隨頻率變化曲線的影響相對(duì)于l1和l2的影響要小，對(duì)峰值對(duì)應(yīng)的頻率有較大的影響，l3越大峰值對(duì)應(yīng)的頻率越??；另外，當(dāng)管樁不外露(l3=0)時(shí)，扭轉(zhuǎn)剛度和等效阻尼系數(shù)最大，這是因?yàn)榇藭r(shí)的樁頂扭轉(zhuǎn)角相對(duì)較小。管樁內(nèi)外半徑比(壁厚)的影響如圖13所示，可以看出：管樁內(nèi)半徑越大，管樁的扭轉(zhuǎn)剛度因子和等效阻尼系數(shù)越小，這是由于此時(shí)管壁較薄，扭轉(zhuǎn)產(chǎn)生的樁頂環(huán)向位移較大，同時(shí)曲線局部開(kāi)始出現(xiàn)輕微的波動(dòng)。可見(jiàn)在設(shè)計(jì)中，如果需要考慮管樁的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)時(shí)，管壁的厚度對(duì)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的影響較為敏感。

a—扭轉(zhuǎn)剛度因子; b—等效阻尼系數(shù)。l1=5； l1=10； l1=15； l1=20。

a—扭轉(zhuǎn)剛度因子; b—等效阻尼系數(shù)。l2=5; l2=10; l2=15; l2=20。

a—扭轉(zhuǎn)剛度因子; b—等效阻尼系數(shù)。l3=0.0； l3=1.0； l3=2.0； l3=3.0。

a—扭轉(zhuǎn)剛度因子; b—等效阻尼系數(shù)。rI/rO=0.5; rI/rO=0.6;rI/rO=0.7; rI/rO=0.8。

5 結(jié)束語(yǔ)

為考慮管樁的土塞效應(yīng)和土體的黏滯性質(zhì)，基于多孔介質(zhì)理論和分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)黏彈性理論，運(yùn)用數(shù)學(xué)物理手段和傳遞矩陣法等研究了考慮土塞效應(yīng)的分?jǐn)?shù)階黏彈性飽和土中部分外露管樁的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，通過(guò)大量的參數(shù)研究和討論，得到如下結(jié)論：

1)在考慮土體黏滯特性的情況下研究飽和土中部分外露管樁的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，受經(jīng)典黏彈性模型的核函數(shù)為指數(shù)函數(shù)的限制，采用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)黏彈性模型來(lái)刻畫(huà)樁周飽和土和樁芯飽和土的力學(xué)行為時(shí)模型的應(yīng)用范圍更廣。

2)盡管樁周飽和土和樁芯飽和土性質(zhì)的差異對(duì)分?jǐn)?shù)階飽和土中部分外露管樁的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的影響不大，但飽和土的黏滯性對(duì)管樁的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)有很大的影響，因此在研究時(shí)可以忽略樁周飽和土和樁芯飽和土性質(zhì)差異的影響，但不應(yīng)忽略飽和土黏滯性以及樁芯飽和土等的影響。

3)管樁尺寸等幾何性質(zhì)的影響對(duì)考慮土塞效應(yīng)的分?jǐn)?shù)階黏彈性飽和土中部分外露管樁扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的影響非常大。另外，管樁壁厚對(duì)管樁扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的影響十分敏感，在設(shè)計(jì)時(shí)需要重點(diǎn)考慮。