余春春 傅 敏

(浙江建設(shè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程學(xué)院， 杭州 311211)

在地震等動態(tài)荷載作用下，建筑結(jié)構(gòu)特別是建筑基礎(chǔ)通常會遭受破壞而導(dǎo)致建筑物的倒塌，隨著樁基特別是管樁在建筑工程、海洋工程等領(lǐng)域的應(yīng)用，有關(guān)樁基振動特性的研究就顯得特別重要。從20世紀(jì)70年代以來，眾多學(xué)者針對實(shí)芯樁的振動問題開展了較為系統(tǒng)的研究[2-7]，這些成果為樁-土動力相互作用的研究奠定了基礎(chǔ)。近二三十年來，隨著管樁技術(shù)的發(fā)展和管樁的不斷應(yīng)用，針對樁芯土-管樁-樁周土動力相互作用的研究逐步成為研究的熱點(diǎn)。將土體視為單相介質(zhì)，Ding等得到了瞬態(tài)集中荷載作用下管樁振動的時域解析解[8]；劉林超等將管樁、樁周土和樁芯土看作一個整體，基于軸對稱模型和樁-土接觸面連續(xù)性條件給出了管樁豎向振動的解析解[9]；沈紀(jì)蘋等運(yùn)用初參數(shù)法和傳遞矩陣法得到了管樁的水平振動，給出了管樁樁頂?shù)乃絼恿ψ杩筟10]；鄭長杰等基于一維歐拉-伯努利梁模型，從土體三維波動方程出發(fā)對黏彈性地基中管樁的水平振動響應(yīng)進(jìn)行了理論研究[11]。然而這些研究都認(rèn)為樁芯土體完全充滿管樁，是一種較為理論化的模型。在成樁過程中，會在樁端形成一定高度的土塞，也就是說，樁芯土并不是一定完全充滿管樁的，針對土塞效應(yīng)的影響，吳文兵等在考慮土塞效應(yīng)和橫向慣性效應(yīng)的情況下研究了管樁-土體縱向動力相互作用問題，得到了任意荷載形式下管樁樁頂速度頻域響應(yīng)的解析解以及半正弦脈沖激勵作用下樁頂速度時域響應(yīng)的半解析解[12]，吳君濤等考慮樁身三維效應(yīng)的情況下得到了大直徑薄壁管樁-樁端土塞縱向耦合振動的解析解答及其時域內(nèi)半解析解[13]?？偨Y(jié)以往針對實(shí)芯樁和管樁振動特性的研究，除了很少考慮土塞效應(yīng)外，大多情況下也沒有考慮土體黏滯性的影響而是將樁周土樁芯土都視為彈性介質(zhì)，對于以黏土為主的地基，其黏滯性效應(yīng)的影響不應(yīng)被忽略。同時，對于長江三角洲、珠江三角洲等地區(qū)以及海洋平臺樁基礎(chǔ)，還需要考慮液相對土體的影響，因此在一些工程中將樁周土和樁芯土視為飽和黏彈性兩相介質(zhì)更為符合工程實(shí)際[14]。為此，將在考慮土塞效應(yīng)和樁周土樁芯土黏滯性的情況下，采用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)描述的黏彈性飽和土模型刻畫土體的力學(xué)行為，研究考慮土塞效應(yīng)的黏彈性飽和土中部分外露管樁的扭轉(zhuǎn)振動問題。

1 位移形式表示的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)黏彈性飽和土扭轉(zhuǎn)振動方程

針對圖1所示的飽和土中部分外露管樁的扭轉(zhuǎn)簡諧振動進(jìn)行研究。為了克服Biot飽和土理論和經(jīng)典黏彈性理論存在的缺陷，構(gòu)建了基于多孔介質(zhì)理論和分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)表達(dá)的黏彈性飽和土扭轉(zhuǎn)振動模型和控制方程。樁周飽和土和樁芯飽和土采用多孔介質(zhì)理論進(jìn)行描述，相應(yīng)的動量方程和體積分?jǐn)?shù)方程為[15]:

圖1 飽和土與部分外露管樁的扭轉(zhuǎn)動力相互作用模型

(1)

其中TS=TSE-nSpI,TF=TLE-nFpI

pF=-pS=pgradnF+pLE

nS+nF=1

式中：TSE、TLE為固相土骨架有效應(yīng)力張量、液相有效應(yīng)力張量；nS、nF為固相、液相的體積分?jǐn)?shù)；p為有效孔隙水壓力；I為單位矩陣；uS、uF為固相、液相的位移矢量；pLE為額外數(shù)量；ρS、ρF為固相、液相的表觀密度；bS、bF為固相、液相的外部加速度；文中計(jì)算將忽略不計(jì)TF。

采用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)黏彈性模型刻畫固相土骨架應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系，應(yīng)滿足[16]：

(λSεSI+2μSεSI)

(2)

固相土骨架應(yīng)變-位移張量εS滿足:

(3)

為簡化計(jì)算，這里采用薄層法求解樁周飽和土和樁芯飽和土的扭轉(zhuǎn)振動，為此將樁周飽和土視為帶一半徑為rO圓孔的無限大薄土層，樁芯土視為半徑為rI的薄土層，各土層之間互相獨(dú)立，忽略徑向位移和豎向位移的影響，僅考慮固相和液相的環(huán)向位移，且與z、θ無關(guān)。在軸對稱坐標(biāo)系，由式(1)～(3)可得：

(4a)

(4b)

(4c)

由式(4)并考慮分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)可得以位移表示的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)黏彈性飽和土的扭轉(zhuǎn)振動方程為：

(5)

(6)

2 基于薄層法的樁周飽和土和樁芯飽和土扭轉(zhuǎn)振動求解

針對圖1所示的樁周飽和土和樁芯飽和土，由式(5)、(6)分別建立其扭轉(zhuǎn)振動方程為：

(7a)

(7b)

(8a)

(8b)

考慮樁周飽和土無窮遠(yuǎn)處位移為零和樁芯飽和土在管樁軸線處位移為有限值。由式(8a)和式(8b)可得：

(9a)

(9b)

式中：K(*)、I1(*)分別為第1階第二類和第一類變形Bessel函數(shù)；AO和AI為待定系數(shù)。

設(shè)樁周飽和土、樁芯飽和土與管樁接觸面處無量綱位移為1，則可以確定待定系數(shù)AO和AI，進(jìn)而可得：

(10)

(11)

由式(4c)、式(10)和式(11)可得產(chǎn)生單位環(huán)向位移時樁周飽和土和樁芯飽和土的剪切應(yīng)力為:

(12)

(13)

式中：K2(*)、I2(*)分別為2階第二類和第一類變形Bassel函數(shù)；G為土的剪切模量。

對于圖1所示的部分外露飽和土中的管樁，在L1段樁周飽和土和樁芯飽和土同時對管樁有作用，在L2段只有樁周飽和土對管樁有作用，在L3段沒有土體的作用。由此可以得到產(chǎn)生單位環(huán)向位移時單位厚度土體對L1段和L2段的扭轉(zhuǎn)作用分別為:

(14a)

(14b)

式中：kθ1、cθ1、kθ2、cθ2分別為L1、L2段樁周飽和土和樁芯飽和土等效扭轉(zhuǎn)Winkler彈簧-阻尼器的剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)。

3 分?jǐn)?shù)階黏彈性飽和土中部分外露管樁扭轉(zhuǎn)振動求解

考慮樁周飽和土和樁芯飽和土對L1、L2、L3段的作用，可以建立各段管樁的無量綱形式的扭轉(zhuǎn)振動方程分別為：

(15)

式中：θ1p、θ2p、θ3p分別為L1段、L2段和L3段管樁的扭轉(zhuǎn)角；Gpp和ρpp為管樁樁身的剪切模量和密度。

解得扭轉(zhuǎn)角：

(16)

式中：A1、A2、A3、B1、B2、B3為待定系數(shù)。

由式(16)可得各段樁身扭矩與扭轉(zhuǎn)角的關(guān)系為:

(17)

從下往上依次運(yùn)用初始參數(shù)法，可以得到L1、L2、L3段管樁樁頂扭矩和扭轉(zhuǎn)角與樁底扭矩和扭轉(zhuǎn)角的關(guān)系分別為[17]：

(18a)

(18b)

(18c)

其中

對飽和土中部分外露管樁各段運(yùn)用傳遞矩陣法，最終可以得到管樁樁頂與樁底扭矩與扭轉(zhuǎn)角的關(guān)系為：

(19)

當(dāng)樁的入土深度達(dá)到一定長度時樁底約束條件對樁振動特性的影響不大，這里假定管樁樁底與基巖完全固接，則有θ(0)=0。再由管樁樁頂復(fù)剛度的定義和式(17)可得到管樁樁頂?shù)呐まD(zhuǎn)復(fù)剛度為：

(20)

4 參數(shù)影響分析

通過樁頂扭轉(zhuǎn)剛度因子Kθ和等效阻尼系數(shù)Cθ研究管樁和土體的材料力學(xué)性質(zhì)參數(shù)和幾何參數(shù)等對考慮土塞效應(yīng)的分?jǐn)?shù)階黏彈性飽和土中部分外露管樁扭轉(zhuǎn)振動的影響。對于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)黏彈性模型中有關(guān)土體參數(shù)的確定可以通過土體蠕變試驗(yàn)擬合得到相關(guān)參數(shù)，結(jié)合實(shí)際工程中相關(guān)參數(shù)的取值范圍，管樁、樁周飽和土、樁芯飽和土相關(guān)參數(shù)取值為：rI=0.5,αO=αI=2,L1=5,L2=20,L3=5,G=1,Gp=1 000,ρp=2.5,ρ=1,s=1,τ1=τ2=1,Sov=0.05,ρO=ρI=2,TO1=15,TO2=10?？紤]本構(gòu)關(guān)系式(2)以及分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)黏彈性的解可退化到經(jīng)典黏彈性和彈性解的情況。為了驗(yàn)證分析結(jié)果的正確性，圖2給出采用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)黏彈性、經(jīng)典黏彈性和彈性三種模型得到的扭轉(zhuǎn)剛度因子和等效阻尼系數(shù)。很明顯，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)黏彈性模型的解介于經(jīng)典黏彈性模型和彈性解之間，并且可以退化到經(jīng)典黏彈性模型和彈性解，可見分析方法的正確性。從中可以看出：樁頂扭轉(zhuǎn)剛度因子和等效阻尼系數(shù)隨頻率的變化曲線存在波峰和波谷，系統(tǒng)存在共振現(xiàn)象。同時還可以看出：在無量綱頻率rOω/vOs=8.0附近存在一個突變點(diǎn)。從圖2可以看出：采用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)黏彈性模型時扭轉(zhuǎn)剛度因子隨頻率變化曲線存在突變點(diǎn)，而采用經(jīng)典黏彈性模型時等效阻尼系數(shù)隨頻率變化曲線存在突變點(diǎn)，而彈性解不存在突變點(diǎn)。從圖3可以看出隨著分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的增大突變點(diǎn)也會消失。由此可見，突變點(diǎn)的出現(xiàn)可能與考慮土體黏滯性和采用的黏彈性本構(gòu)模型以及土體模型參數(shù)有關(guān)。

a—扭轉(zhuǎn)剛度因子; b—等效阻尼系數(shù)。分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)黏彈性模型； 經(jīng)典黏彈性模型； 彈性模型。

a—扭轉(zhuǎn)剛度因子; b—等效阻尼系數(shù)。 αO=αI=0.1； αO=αI=0.4; αO=αI=0.7; αO=αI=1.0。

圖4～8給出了管樁和飽和土的材料力學(xué)參數(shù)對考慮土塞效應(yīng)的分?jǐn)?shù)階黏彈性飽和土中部分外露管樁扭轉(zhuǎn)振動的影響曲線。飽和土模型參數(shù)αO、αI、TO1、TO2對分?jǐn)?shù)階黏彈性飽和土中部分外露管樁的扭轉(zhuǎn)剛度因子和等效阻尼有較大的影響(圖3～5)，且分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)αO和αI越大，扭轉(zhuǎn)剛度因子和等效阻尼越小，并逐漸逼近經(jīng)典黏彈性模型(αO=αI=1)的解；樁周飽和土和樁芯飽和土黏性的影響見圖4、圖6，當(dāng)TO1增大TO2減小時，樁周飽和土和樁芯飽和土對管樁的作用力增大，樁頂位移減小，所以管樁的扭轉(zhuǎn)剛度因子和等效阻尼增大，可見研究管樁振動時不能忽略土體黏滯性的影響。相較于經(jīng)典黏彈性模型，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)黏彈性模型的工程應(yīng)用范圍更廣一些。

a—扭轉(zhuǎn)剛度因子; b—等效阻尼系數(shù)。TO1=15; TO1=20; TO1=25; TO1=30。

a—扭轉(zhuǎn)剛度因子; b—等效阻尼系數(shù)。TO2=2； TO2=4； TO2=6；TO2=8。

a—扭轉(zhuǎn)剛度因子; b—等效阻尼系數(shù)。τ1=1.2； τ1=1.4； τ1=1.6； τ1=1.8。

a—扭轉(zhuǎn)剛度因子; b—等效阻尼系數(shù)。τ2=0.2; τ2=0.4; τ2=0.6; τ2=0.8。

a—扭轉(zhuǎn)剛度因子; b—等效阻尼系數(shù)。s=0.1； s=1.0； s=10。

a—扭轉(zhuǎn)剛度因子; b—等效阻尼系數(shù)。Gp=2 000； Gp=2 500；Gp=3 000； Gp=3 500。

盡管飽和土的材料力學(xué)參數(shù)對管樁扭轉(zhuǎn)振動有較大影響，但管樁樁芯飽和土和樁周飽和土性質(zhì)(黏性和液固耦合系數(shù))的差異對管樁幾乎沒有影響(圖6～8)，因此在研究部分土塞部分外露管樁扭轉(zhuǎn)振動時可以不考慮樁芯土塞部分與樁周飽和土性質(zhì)差異的影響，認(rèn)為樁周飽和土和樁芯飽和土性質(zhì)一樣來處理，但不能忽略樁芯飽和土的影響。管樁和土體剪切模量比G對考慮土塞效應(yīng)的分?jǐn)?shù)階黏彈性飽和土中部分外露管樁扭轉(zhuǎn)振動的影響較大，剪切模量比G越大，也即管樁的剪切模量越大，管樁的扭轉(zhuǎn)變形越小，扭轉(zhuǎn)剛度因子和等效阻尼系數(shù)隨頻率變化曲線的峰值越大，峰值對應(yīng)的頻率也越大。管樁幾何性質(zhì)參數(shù)對考慮土塞效應(yīng)的分?jǐn)?shù)階黏彈性飽和土中部分外露管樁扭轉(zhuǎn)振動的影響相較材料力學(xué)性質(zhì)參數(shù)的影響要大得多，由圖10～13可以看出：l1、l2越大，相當(dāng)于埋入部分和土塞部分長度越大，雖然飽和土對管樁的約束作用增大，管樁扭轉(zhuǎn)角越小，但由于此時管樁較長，管樁樁頂環(huán)向位移越大，所以管樁的扭轉(zhuǎn)剛度因子和等效阻尼系數(shù)越小。由于外露部分管樁長度l3相對較短，其對管樁扭轉(zhuǎn)剛度因子和等效阻尼系數(shù)隨頻率變化曲線的影響相對于l1和l2的影響要小，對峰值對應(yīng)的頻率有較大的影響，l3越大峰值對應(yīng)的頻率越小；另外，當(dāng)管樁不外露(l3=0)時，扭轉(zhuǎn)剛度和等效阻尼系數(shù)最大，這是因?yàn)榇藭r的樁頂扭轉(zhuǎn)角相對較小。管樁內(nèi)外半徑比(壁厚)的影響如圖13所示，可以看出：管樁內(nèi)半徑越大，管樁的扭轉(zhuǎn)剛度因子和等效阻尼系數(shù)越小，這是由于此時管壁較薄，扭轉(zhuǎn)產(chǎn)生的樁頂環(huán)向位移較大，同時曲線局部開始出現(xiàn)輕微的波動。可見在設(shè)計(jì)中，如果需要考慮管樁的扭轉(zhuǎn)振動時，管壁的厚度對扭轉(zhuǎn)振動的影響較為敏感。

a—扭轉(zhuǎn)剛度因子; b—等效阻尼系數(shù)。l1=5； l1=10； l1=15； l1=20。

a—扭轉(zhuǎn)剛度因子; b—等效阻尼系數(shù)。l2=5; l2=10; l2=15; l2=20。

a—扭轉(zhuǎn)剛度因子; b—等效阻尼系數(shù)。l3=0.0； l3=1.0； l3=2.0； l3=3.0。

a—扭轉(zhuǎn)剛度因子; b—等效阻尼系數(shù)。rI/rO=0.5; rI/rO=0.6;rI/rO=0.7; rI/rO=0.8。

5 結(jié)束語

為考慮管樁的土塞效應(yīng)和土體的黏滯性質(zhì)，基于多孔介質(zhì)理論和分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)黏彈性理論，運(yùn)用數(shù)學(xué)物理手段和傳遞矩陣法等研究了考慮土塞效應(yīng)的分?jǐn)?shù)階黏彈性飽和土中部分外露管樁的扭轉(zhuǎn)振動，通過大量的參數(shù)研究和討論，得到如下結(jié)論：

1)在考慮土體黏滯特性的情況下研究飽和土中部分外露管樁的扭轉(zhuǎn)振動，受經(jīng)典黏彈性模型的核函數(shù)為指數(shù)函數(shù)的限制，采用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)黏彈性模型來刻畫樁周飽和土和樁芯飽和土的力學(xué)行為時模型的應(yīng)用范圍更廣。

2)盡管樁周飽和土和樁芯飽和土性質(zhì)的差異對分?jǐn)?shù)階飽和土中部分外露管樁的扭轉(zhuǎn)振動的影響不大，但飽和土的黏滯性對管樁的扭轉(zhuǎn)振動有很大的影響，因此在研究時可以忽略樁周飽和土和樁芯飽和土性質(zhì)差異的影響，但不應(yīng)忽略飽和土黏滯性以及樁芯飽和土等的影響。

3)管樁尺寸等幾何性質(zhì)的影響對考慮土塞效應(yīng)的分?jǐn)?shù)階黏彈性飽和土中部分外露管樁扭轉(zhuǎn)振動的影響非常大。另外，管樁壁厚對管樁扭轉(zhuǎn)振動的影響十分敏感，在設(shè)計(jì)時需要重點(diǎn)考慮。