張勤

【摘 要】數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)里提到數(shù)學(xué)教師要提升學(xué)生“四能”，必須依賴于學(xué)生對自己所參與的學(xué)習(xí)活動較為細(xì)致的分析和深刻的反思，由此可見提升學(xué)生數(shù)學(xué)反思能力是一項(xiàng)較為艱巨的任務(wù)。在任何一項(xiàng)學(xué)習(xí)活動中，學(xué)生犯錯(cuò)基本是無法避免的，尤其是在解題過程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤更是不可避免。大部分一線數(shù)學(xué)教師都知道學(xué)生的錯(cuò)題能準(zhǔn)確反映其在某個(gè)階段學(xué)習(xí)過程中存在的問題，可實(shí)際絕大多數(shù)學(xué)生只會對自己的錯(cuò)題進(jìn)行訂正和收集，缺少較為深刻的分析及反思。本文圍繞如何有效收集錯(cuò)題，進(jìn)一步發(fā)掘錯(cuò)題資源，引導(dǎo)學(xué)生對錯(cuò)題進(jìn)行深刻反思，并探求提高學(xué)生反思意識的方法。

【關(guān)鍵詞】錯(cuò)題資源 反思 反思意識

很多一線數(shù)學(xué)教師發(fā)現(xiàn)：不管是在平時(shí)的練習(xí)還是作業(yè)或單元檢測中，有的題目許多學(xué)生會反復(fù)出錯(cuò)。面對這一窘境，教師們采取的方式一般是先講解—一次訂正—二次講解—二次訂正……教師們怨聲載道，但若靜心分析其中緣由，就可以發(fā)現(xiàn)在教學(xué)中學(xué)生處于被動狀態(tài)，只是在聽教師講解分析，卻沒機(jī)會經(jīng)歷較為完整的自我反思過程，因此也并沒有真正尋找到出現(xiàn)錯(cuò)誤的緣由，更沒有建立起正確的認(rèn)知。

作為教師，我們不得不反思：是不是自己有時(shí)過于“操心”而剝奪了學(xué)生進(jìn)行自我反思的機(jī)會？

一、何為“錯(cuò)題資源”，何為“反思意識”

（一）什么是“錯(cuò)題資源”？

學(xué)生在平時(shí)完成課內(nèi)外作業(yè)或單元檢測的過程中，出現(xiàn)的錯(cuò)題是最真實(shí)、最直接、最重要的錯(cuò)題資源。認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為：錯(cuò)題是學(xué)生在完成學(xué)習(xí)活動過程中出現(xiàn)的一種現(xiàn)象，而且學(xué)生的錯(cuò)誤也是各種各樣的。因?yàn)槊總€(gè)學(xué)生的生活環(huán)境、習(xí)得的知識、思考問題的方式、所處周邊環(huán)境及自身的表達(dá)能力都不盡相同，對此作為教師應(yīng)坦然接受。

（二）什么是“反思意識”？

反思即學(xué)習(xí)者進(jìn)行自我反省，對自己在學(xué)習(xí)過程中的整個(gè)思考過程及結(jié)果進(jìn)行一次再認(rèn)識的一種比較內(nèi)隱和比較復(fù)雜的心理過程。同時(shí)，反思也是學(xué)習(xí)者在自己學(xué)習(xí)過程中不可或缺的一個(gè)環(huán)節(jié)。建構(gòu)主義理論認(rèn)為：任何學(xué)習(xí)都必須在具體的活動中進(jìn)行，而且為取得較好的學(xué)習(xí)效果，學(xué)生需要對自己的每一個(gè)學(xué)習(xí)活動的過程自發(fā)地、持續(xù)不斷地進(jìn)行反省。由此可見，學(xué)習(xí)中的反思就如同所有生物體自我通過消化食物并從中汲取一定養(yǎng)分的過程，而且全程必須由自己完成，任何人都是無法替代的。

反思主要是從以下兩個(gè)方面進(jìn)行：一是對過去的回顧、總結(jié)，二是對未來的計(jì)劃及展望。弗賴登塔爾說過：“反思是數(shù)學(xué)思維活動的核心和動力?！睌?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：幫助學(xué)生初步形成評價(jià)和反思的意識，養(yǎng)成反思、質(zhì)疑等良好學(xué)習(xí)習(xí)慣。我們在平時(shí)教學(xué)過程中可以發(fā)現(xiàn)：那些經(jīng)常能在自己學(xué)習(xí)之前、學(xué)習(xí)過程中、學(xué)習(xí)之后積極主動反思學(xué)習(xí)計(jì)劃、學(xué)習(xí)過程和學(xué)習(xí)的效果的都是有著較強(qiáng)反思意識的學(xué)生。

反思意識，即學(xué)生本人清晰地認(rèn)識到若缺乏自我反思就很難進(jìn)行自我糾錯(cuò)，也很難提高自己的認(rèn)知水平，為此堅(jiān)持自我反省，并且逐漸讓這種反省的行為得以習(xí)慣化，只要在今后的學(xué)習(xí)生活中接收到一些較為特別的刺激就能自然地做出應(yīng)答。學(xué)生的反思意識一旦形成，那么心中也就建立了較為穩(wěn)固的“警戒線”，這道“警戒線”可隨時(shí)提醒學(xué)習(xí)者對自己的思考過程保持一定的警覺性，一旦發(fā)現(xiàn)任何可疑之處立即讓自己進(jìn)入反思狀態(tài)。

二、為何要善用錯(cuò)題資源

鄭毓信教授曾指出，想讓學(xué)生所犯的錯(cuò)誤通過正面的示范和反復(fù)的練習(xí)得到改善，這是不切實(shí)際的，自我否定是他們必須經(jīng)歷的一個(gè)過程，自我反思則是敢于自我否定的一個(gè)較為重要的前提，而幫助學(xué)生形成較好的反思意識，一個(gè)比較有效的方法就是善于運(yùn)用學(xué)生們的錯(cuò)誤資源。

數(shù)學(xué)錯(cuò)題是重要的學(xué)習(xí)資源，它們能在一定程度上反映學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中對知識、技能及數(shù)學(xué)思想方法的掌握和運(yùn)用程度，也能反映學(xué)生在其他方面的不足，如數(shù)學(xué)素養(yǎng)等。對數(shù)學(xué)錯(cuò)題進(jìn)行反思主要有兩方面的作用：一是可加強(qiáng)學(xué)生分析及解決問題的能力，加深知識積累程度;二是可提高學(xué)生對自我錯(cuò)題資料的管理能力，進(jìn)而提升自己的學(xué)習(xí)能力。

貝恩布里奇曾說：“錯(cuò)誤人皆有之，作為教師不加以利用是不可原諒的?！痹谌粘＝虒W(xué)過程中，教師要把學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)題當(dāng)作自己教育教學(xué)的寶貴資源，認(rèn)真細(xì)致地進(jìn)行一定的整理、分析，最大程度上發(fā)揮學(xué)生錯(cuò)誤資源的育人功效，培養(yǎng)學(xué)生較強(qiáng)的反思意識。

三、如何善用錯(cuò)題資源培養(yǎng)學(xué)生的反思意識

（一）建立錯(cuò)題本

數(shù)學(xué)教師自身要重視并有效引導(dǎo)學(xué)生有針對性地收集自己在平時(shí)學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤。每學(xué)期學(xué)生準(zhǔn)備一本專門記錄錯(cuò)誤的錯(cuò)題本并按固定的格式認(rèn)真進(jìn)行摘錄、分析、解答。

學(xué)生在摘錄時(shí)只需摘抄自己出現(xiàn)的一些有代表性的錯(cuò)題，然后針對錯(cuò)誤細(xì)致地分析。在建立錯(cuò)題本的時(shí)候，教師可引導(dǎo)學(xué)生按照自己出現(xiàn)錯(cuò)題的時(shí)間先后進(jìn)行抄錄，也可根據(jù)錯(cuò)題的題型或者出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因進(jìn)行相應(yīng)的歸類、整理（如下圖）。

同時(shí)，教師在教學(xué)中也需及時(shí)記錄學(xué)生出現(xiàn)的典型錯(cuò)誤，然后分類梳理并建立錯(cuò)題題庫或制作成演示文稿，便于在練習(xí)或復(fù)習(xí)時(shí)集中講評，提高復(fù)習(xí)效率。

（二）分析錯(cuò)題原因

因小學(xué)生的思維方式具有內(nèi)隱性、自動化等較為局限性的特點(diǎn)，導(dǎo)致多數(shù)學(xué)生在獨(dú)自面對一些較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時(shí)無法精準(zhǔn)地判斷自己的思維過程正確與否，對自己的思考過程和學(xué)習(xí)行為反思能力不足。這就要求教師在教學(xué)時(shí)要耐心引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會如何進(jìn)行自我反思，提升反思能力，通過自我反思不斷發(fā)掘自己出現(xiàn)錯(cuò)誤的本質(zhì)原因。

1.從口頭反思開始

面對學(xué)生的錯(cuò)誤，教師可以進(jìn)行一定程度的追問，引導(dǎo)學(xué)生闡述自己的思考過程。學(xué)生口述思路的過程實(shí)際上就是在進(jìn)行自我口頭反思。很多學(xué)生經(jīng)?；煜朔ǚ峙渎?、乘法結(jié)合律兩種運(yùn)算方法。例如：

32×125

=（8×4）×125

=8×125+4×125

=1000+500

=1500

首先，教師不要對學(xué)生的答案急于評價(jià)，而要耐心地先讓學(xué)生自己重新審視計(jì)算過程，并想一想、說一說每一步計(jì)算所用的運(yùn)算方法。學(xué)生在思考和表達(dá)的過程中，就會意識到計(jì)算的第二步使用的是乘法分配律，但用乘法分配律就必須符合（a+b）×c=ac+bc的形式。可是仔細(xì)觀察這道題目，題中括號里是乘號，而不是加號或減號，此題不符合運(yùn)用乘法分配律的形式要求，所以只能用乘法結(jié)合律。若學(xué)生在口頭闡述思路時(shí)能意識到這一點(diǎn)，那么他們就算是成功地進(jìn)行了一次自我反思。

學(xué)生常常把自己犯錯(cuò)的原因歸咎于“計(jì)算錯(cuò)誤”或“粗心”。遇到這種情況，教師只需追問：“你知道是哪一步的計(jì)算出現(xiàn)了問題嗎？為什么會出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤呢？”學(xué)生通常會在教師的不斷追問下進(jìn)行較為深刻的分析，進(jìn)而尋找到出錯(cuò)原因。如學(xué)生錯(cuò)算0.18÷6=0.3，在教師悉心引導(dǎo)下反思：“我計(jì)算第二步錯(cuò)了，我當(dāng)時(shí)沒有用豎式計(jì)算，而是口算的，十分位不夠商1，要用0占位?！被诮處熞龑?dǎo)下的口頭反思奠定了學(xué)生獨(dú)立進(jìn)行書面反思的基礎(chǔ)。

2.進(jìn)行書面反思

學(xué)生書面反思能力的培養(yǎng)和提升是一個(gè)漫長且循序漸進(jìn)的艱辛過程。

第一步：圈點(diǎn)式反思。數(shù)學(xué)技能的提升需要適度的練習(xí)量作為保證，學(xué)生看到自己出現(xiàn)的錯(cuò)誤后立即想要訂正，有些教師擔(dān)心學(xué)生找不到自己的錯(cuò)誤就在批改時(shí)“很負(fù)責(zé)任”地圈出了錯(cuò)誤的地方，殊不知這一行為很大程度上替代了學(xué)生的自我反思，導(dǎo)致學(xué)生不經(jīng)思考直接修正答案。

第二步：記錄式反思。記錄式反思要求學(xué)生找到自己犯錯(cuò)的真正原因，并詳細(xì)地描寫出來。在描寫時(shí)要求敘述較為詳盡的理由，具體到自己是錯(cuò)在對相關(guān)概念的理解不清抑或是用錯(cuò)了公式，是因?yàn)榛A(chǔ)知識掌握不牢還是由于審題不清等。在記錄時(shí)要描述自己是如何錯(cuò)的，記錄自己是在什么情況下錯(cuò)的，分析自己為什么會出錯(cuò)，整個(gè)過程記錄得越詳細(xì)越好。

例如，+（? ?）+，有錯(cuò)填“>”符號的學(xué)生開始是這樣反思的：不認(rèn)真，太粗心。這樣的反思可見毫無用心可言，并未真正反思錯(cuò)誤的原因所在。經(jīng)過筆者的引導(dǎo)，該學(xué)生進(jìn)行了第二次的反思：我是用通分的方法，計(jì)算出左邊等于，右邊等于，這兩個(gè)分?jǐn)?shù)又需要通分，于是我就隨意猜測了一下，填了“>”。其實(shí)左右兩邊都有，把這個(gè)分?jǐn)?shù)抵消，只需比較兩邊剩下的那個(gè)分?jǐn)?shù)大小就可以了。

最初，學(xué)生不知如何展現(xiàn)自己的思考過程，經(jīng)過教師耐心地引導(dǎo)，學(xué)生會嘗試對自己的錯(cuò)誤之處進(jìn)行逐步分析，進(jìn)而慢慢養(yǎng)成自我反思的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣。

第三步：日記式反思。學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，必須對自己的學(xué)習(xí)承擔(dān)起主要責(zé)任，學(xué)習(xí)的關(guān)鍵在于學(xué)生本身。針對學(xué)生在學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的特別典型的錯(cuò)誤，教師可引導(dǎo)學(xué)生嘗試寫反思日記，以此種方式較為詳細(xì)地記錄錯(cuò)誤經(jīng)歷。

如一個(gè)學(xué)生在解決一道關(guān)于小數(shù)的問題時(shí)犯了錯(cuò)，過程記錄如下：

10月22日? ? ?星期四? ?陰

學(xué)完今天的數(shù)學(xué)知識后，張老師給我們出了一道題目：若將一個(gè)小數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右移動一位，得到的數(shù)就會比原數(shù)大5.4，那么原數(shù)是多少？我讀完題目后覺得很簡單，便得出了一個(gè)算式：5.4+10=15.4。然后快速地舉起了手，竟發(fā)現(xiàn)沒幾個(gè)同學(xué)完成，心想：難道我的答案錯(cuò)了？我放下手又仔細(xì)檢查了一遍，發(fā)現(xiàn)自己真的錯(cuò)了。我一開始沒有細(xì)看“如果將一個(gè)小數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右移動一位，得到的數(shù)就比原數(shù)大5.4”。再仔細(xì)想想把一個(gè)小數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右移動一位，就相當(dāng)于把這個(gè)數(shù)擴(kuò)大了10倍，得到的數(shù)就會比原來的數(shù)增加9倍。正確的解法：5.4÷（10-1）=5.4÷9=0.6。

后來，我進(jìn)行了自我反思：以后在做題時(shí)千萬不能急，一定要先認(rèn)真審題，找到關(guān)鍵條件讀懂后才可下筆做。（審題！審題！審題?。?/p>

（三）分析與交流錯(cuò)題

在收集完錯(cuò)題本后，教師先引導(dǎo)學(xué)生耐心地進(jìn)行自我分析，然后定期從收集到的錯(cuò)題本中，選出比較有代表性的錯(cuò)題在數(shù)學(xué)課堂上進(jìn)行深入交流。這個(gè)過程也能激發(fā)學(xué)生對相關(guān)知識進(jìn)行反思、回顧，而且在這一教學(xué)過程中學(xué)生的解題思路能夠充分展現(xiàn)，進(jìn)而引發(fā)學(xué)生對犯錯(cuò)的根本原因進(jìn)行深入分析。學(xué)生在交流的過程中，既能取長補(bǔ)短，又可利于其學(xué)會反思，不斷增強(qiáng)其反思意識。

（四）錯(cuò)題再用

對學(xué)生出現(xiàn)的典型錯(cuò)誤，教師應(yīng)及時(shí)設(shè)計(jì)一些與典型錯(cuò)題相關(guān)的、有針對性的練習(xí)作為補(bǔ)充，幫助學(xué)生鞏固相關(guān)知識點(diǎn)，加深其對相關(guān)知識的理解。教師可先整理、分析學(xué)生在一周內(nèi)出現(xiàn)的錯(cuò)誤情況，認(rèn)真地編制一些質(zhì)量較高的練習(xí)題讓學(xué)生進(jìn)行鞏固練習(xí)，再進(jìn)行一些針對性的講評。

一般來說，學(xué)生的錯(cuò)誤隔段時(shí)間會反復(fù)出現(xiàn)，在學(xué)完一個(gè)單元的知識內(nèi)容后，教師可結(jié)合學(xué)生在這一單元學(xué)習(xí)活動中的作業(yè)完成情況，用心編制一套易錯(cuò)題專項(xiàng)試卷，以便考查學(xué)生對本單元的知識掌握情況，深入了解學(xué)生的學(xué)習(xí)。

合理利用錯(cuò)題可培養(yǎng)學(xué)生的反思意識，能引導(dǎo)其在完成任務(wù)后自發(fā)地進(jìn)行獨(dú)立檢查、回顧，利于其養(yǎng)成較為良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。教師智慧地使用錯(cuò)題促進(jìn)學(xué)生反思，有利于提高課堂教學(xué)效率，不斷優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知，發(fā)展其數(shù)學(xué)思維能力，提高其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，逐步增強(qiáng)其反思意識。