趙冬艷， 王懌磊， 石慧榮

(蘭州交通大學 機電工程學院，蘭州 730070)

1 引 言

由于航空航天、潛艇、鐵道車輛和船舶等工業(yè)領域中經(jīng)常使用柱殼結(jié)構(gòu)作為蒙皮或幕墻，而且柱殼壁厚相對較小，受外界激勵會出現(xiàn)噪聲和振動問題，而局部約束阻尼可以在引入較小質(zhì)量的情況下達到較好的減振效果，因此也廣泛應用于薄壁柱殼結(jié)的減振中。

使用粘彈性層耗散結(jié)構(gòu)振動能量的約束阻尼減振在20世紀50年代已有應用，早期Kerwin等[1]主要針對板梁結(jié)構(gòu)的約束阻尼減振。隨著薄壁柱殼的廣泛應用，約束阻尼柱殼的減振研究也受到很多學者的關注[2-4]。Mahmoudkhani等[5]應用Donnell殼理論和一階剪切變形理論研究了由溫升和空氣靜載荷引起預應力約束阻尼柱殼的振動特性。Mokhtari等[6]基于Donnell-Moshtari殼理論和Lagrange方程建立了含分數(shù)階粘彈性芯層的約束阻尼柱殼模型，分析了結(jié)構(gòu)參數(shù)、分數(shù)階參數(shù)和耗散模量對振動頻率和損耗因子的影響。鄭玲等[7]采用局部敷設ACLD的方法，討論了不同敷設位置對于振動特性的影響。一些學者對開口柱殼的動態(tài)特性進行了研究，Wang等[8]基于Pasternak基獲取了厚壁開口柱殼的具有廣義邊界條件的三維精確解，并在ABAQUS中驗證了該方法的準確性和可靠性。Karlash[9]對開口和封閉壓電陶瓷柱殼進行了實驗測試，表明相對開口柱殼，封閉柱殼共振模態(tài)的機電耦合系更大。

為了獲得較好的減振效果，縮減約束阻尼結(jié)構(gòu)質(zhì)量，很多學者也對柱殼的約束阻尼設置進行了優(yōu)化研究。Mohammadi等[10]利用遺傳算法和二次規(guī)劃方法對局部約束阻尼敷設位置、約束層和芯層厚度進行了優(yōu)化。但基于某單一性能指標的結(jié)構(gòu)優(yōu)化，并不能滿足工程實際中多模態(tài)減振問題[11]。石慧榮等[12]對分段敷設約束阻尼結(jié)構(gòu)進行了多目標優(yōu)化，從而在引入較小質(zhì)量的條件下有效縮減了多個模態(tài)的振動。Li等[13]利用多目標粒子群優(yōu)化算法對柱殼敷設壓電層位置進行了優(yōu)化，分析表明優(yōu)化后的主動減振效果良好。袁維東等[14]對復合阻尼柱殼的多模態(tài)振動問題進行了拓撲優(yōu)化，使敷設體積縮減為全覆蓋的50%時仍然具有良好減振效果。

綜上所述，目前主要是針對于整體圓柱殼模型進行振動分析及優(yōu)化，而工程應用中局部開口柱殼結(jié)構(gòu)應用非常廣泛，其連接狀態(tài)使得振動特性與整體柱殼存在較大差異，因此對局部約束阻尼開口柱殼的減振特性還有待進一步的深入分析。本文基于Sanders殼體理論和Lagrange方程建立了局部約束層阻尼開口柱殼動力學模型，對影響結(jié)構(gòu)振動的主要因素進行分析，為了有效縮減開口柱殼的前三階模態(tài)振動，利用 NSGA-II多目標優(yōu)化算法對引入的約束阻尼結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化設計，并對裸殼和優(yōu)化前后約束阻尼結(jié)構(gòu)柱殼的動態(tài)特性進行了比較分析。

2 局部約束阻尼開口柱殼動力學模型

局部約束阻尼柱殼由基層、阻尼層和約束層組成，結(jié)構(gòu)如圖1所示。R為基層半徑，l為長度，hc為基層厚度；hv為阻尼層厚度，lv為阻尼單元長度，對應的敷設角為αv，粘彈性層沿軸向和周向均勻相間布置；hp為約束層厚度，αp為約束層敷設角；柱坐標系原點位于基層的中面上，x為柱殼的軸向，y為柱殼的周向，z為柱殼的徑向，下標p，v和c分別為約束層、阻尼層和基層。

圖1 局部約束阻尼開口柱殼模型

假定各層之間理想粘接，無相對滑動，采用Sanders殼體理論表示應力和位移之間的關系[15]，該理論能更準確地計算開口柱殼的固有頻率，此時位移場可以表示為

u(x,y,z,t)=u0(x,y,t)+zβx(x,y,t)

(1a)

v(x,y,z,t)=v0(x,y,t)+zβy(x,y,t)

(1b)

w(x,y,z,t)=w0(x,y,t)

(1c)

式中u，v和w為復合圓柱殼在x，y和z方向的位移矢量，對應的基層中性面位移矢量用u0，v0和w0表示，矢量βy和βx為繞x和y軸的橫向變形，z為位移變換矩陣，各矢量和矩陣可表示為

(2)

圖2 各層扭轉(zhuǎn)變形

2.1 應變-位移關系

(3)

根據(jù)Sanders理論，基層、阻尼層和約束層的應變-位移關系表示為

εi=εt i+Zr iεr i

(4)

式中Zr為應變變換矩陣，下標i=(c，v，p)，εt，εr和Zr的具體形式如下，

2.2 本構(gòu)方程

(5)

則各層的應力可表示為

σi=Qiεi

(6)

式中Qi為剛度矩陣，可表示為

(7)

本文忽略各層纖維角的影響，根據(jù)文獻[16]，對于各向異性的Qi j可表示為

(8a)

各向同性時可以表示為

(8b)

2.3 邊界條件

對于約束阻尼開口柱殼的膜應力N和彎曲應力M向量，根據(jù)文獻[17]可以表示為

Ni=Bi·εt i，Mi=Ji·εr i

(9)

則各層的膜應力和彎曲應力向量形式為

(10a)

(10b)

式中膜應力變換矩陣Bi和彎曲應力變換矩陣Ji分別為

(11)

本文對于基層柱殼的周向兩端采用簡支邊界條件，根據(jù)簡支邊界條件有

約束層和阻尼層無約束，則有

2.4 位移形函數(shù)

根據(jù)Galerkin法，位移可表示為

U=Φq

(12)

式中Φ為結(jié)構(gòu)形函數(shù)矩陣，q為廣義結(jié)構(gòu)坐標系，分別為

(13a)

(13b)

式中m為柱殼周向波數(shù)，n為柱殼軸向的半波數(shù)，i=u，v，w，θx，θy，Φx，Φy，γx，γy。

將式(13)代入應變-位移關系(4)，可得各層的應變?yōu)?/p>

εt=ni·q

(14)

式中ni的具體形式如下：

式中0為零矩陣。

由于柱殼繞x軸和y軸轉(zhuǎn)動變形較小，因此忽略其對系統(tǒng)動能的影響，根據(jù)虛功原理以及能量法，約束阻尼柱殼結(jié)構(gòu)的動能T可表示為

(15)

(16)

系統(tǒng)的總勢能U可表示為

(17)

H*(xi,yi)=[H(x-xi 2)-H(x-xi 1)]·

[H(y-yi 2)-H(y-yi 1)]

(18)

式中H為Heaviside函數(shù)。

根據(jù)Lagrange方程，

(19)

式中W為外力做功，L=T-U，F(xiàn)e為外加載荷。將式(15，17)代入方程(19)，可得系統(tǒng)的動力學方程為

(20a)

M=Mc+Mv+Mp，K=K1+K2+K3

(20b)

式中Mc，Mv和Mp分別為各層的質(zhì)量矩陣，K1～K3為系統(tǒng)的剛度子矩陣，具體形式為

(21)

3 約束阻尼開口柱殼分析參數(shù)

3.1 模態(tài)損耗因子

根據(jù)式(17)可以獲得各層的應變能，依據(jù)模態(tài)應變能法，第k階模態(tài)損耗因子可表示為

通過設置緊急切斷閥和SIS，不但實現(xiàn)了進、出口閥門的遠程控制，而且增加了安全聯(lián)鎖保護措施，提高了罐區(qū)的安全性能，符合國家安全監(jiān)管相關要求。

(22)

(23)

3.2 引入約束阻尼結(jié)構(gòu)質(zhì)量比

對于敷設約束阻尼結(jié)構(gòu)而引入的質(zhì)量MCLD=Mv+Mp太多會影響開口柱殼應用特性，本文定義MCLD與基殼質(zhì)量Mb的比值為

∈M=MCLD/Mb

(24)

式中Mv和Mp分別為粘彈性層和約束層的質(zhì)量。為了減小結(jié)構(gòu)振動，在考慮損耗因子最大化的基礎上，不能引入太大的質(zhì)量。

3.3 阻尼層占空比

(25)

4 約束阻尼開口柱殼振動影響因素

表1 各層材料屬性

4.1 粘彈性單元分段數(shù)

圖3 周向分段數(shù)對損耗因子和模態(tài)頻率的影響

圖4 軸向分段數(shù)對損耗因子和模態(tài)頻率的影響

可以看出，其他不變時，阻尼單元分段數(shù)的增加會導致阻尼層敷設面積減小，使得開口柱殼變形時阻尼結(jié)構(gòu)耗散的能量減小，損耗因子減小，但也注意到各模態(tài)形變不同，所以在分析中表現(xiàn)出阻尼分段數(shù)對變形較大的第二階模態(tài)損耗因子影響較大。因此，選取阻尼單元分段數(shù)時，要根據(jù)結(jié)構(gòu)的實際應用確定，保證柱殼具有良好的減振特性。

4.2 粘彈性層厚度

圖5 粘彈性層厚度對損耗因子和模態(tài)頻率的影響

4.3 約束層厚度

4.4 粘彈性單元占空比

4.5 約束層敷設角

圖6 約束層厚度對損耗因子和模態(tài)頻率的影響

圖7 占空比對損耗因子和模態(tài)頻率的影響

圖8 約束層敷設角對損耗因子和模態(tài)頻率的影響

5 結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計

5.1 NSGA-II優(yōu)化算法

針對開口約束阻尼柱殼，本文利用基于Pareto最優(yōu)的NSGA-II多目標優(yōu)化法對結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化設計[18]。NSGA-II優(yōu)化算法可以隨機產(chǎn)生多種初始種群，對其進行非支配排序，然后利用遺傳算法的選擇、交叉和變異得到第一代子代種群，第二代后，子代種群與父代種群合并，再次排序，并計算每個非支配層中個體的擁擠度，選取合適的個體組成新的父代種群，通過遺傳算法產(chǎn)生新的子代種群，多次迭代后得到全局最優(yōu)。

5.2 設計變量

(26)

5.3 目標函數(shù)

為了滿足多種工程實際應用要求，本文考慮縮減結(jié)構(gòu)前三階模態(tài)的振動，使引入約束阻尼結(jié)構(gòu)在圖3所示的三階模態(tài)具有較大的能量耗散，獲得較好的綜合減振性能，因此將前三階模態(tài)損耗因子作為目標函數(shù)，通過優(yōu)化計算使其最大，則可以設定目標函數(shù)F(·) 為

(27)

式中gi(·)為損耗因子函數(shù)，下標i=1，2，3，此時使F(·)最小化，得到的開口約束阻尼柱殼的損耗因子最大。

5.4 優(yōu)化結(jié)果分析

5.4.1 優(yōu)化結(jié)果

對于約束層阻尼開口柱殼的多目標優(yōu)化，轉(zhuǎn)變?yōu)橐话愕臉O小值問題minF(·)，可得到如圖9所示的Pareto最優(yōu)解集。可以看出，在可行解集中，Pareto最優(yōu)解不唯一，各最優(yōu)解之間也沒有優(yōu)劣之別，只是Pareto最優(yōu)解所對應的個體性能更好。本文利用NSGA-II算法原理，能夠?qū)areto域的最優(yōu)gi均勻地擴展到整個可行解集中，從而形成保持多樣性的最優(yōu)種群，選擇參加繁殖的gi產(chǎn)生的后代同其父代個體共同競爭來產(chǎn)生下一代種群，使存留gi保持更好的優(yōu)良性，由此獲取的最優(yōu)解能夠更好地滿足約束阻尼開口柱殼的應用特性。

圖9 Pareto前沿

由表2優(yōu)化前后的設計結(jié)果可以看出，優(yōu)化后結(jié)構(gòu)相對于優(yōu)化前約束阻尼結(jié)構(gòu)質(zhì)量比∈M由 90.33% 減小到了37.8%，有效縮減了系統(tǒng)質(zhì)量，此時引入的約束阻尼可以有效耗散系統(tǒng)振動能量，使得結(jié)構(gòu)的前三階模態(tài)損耗因子都顯著增加，其中第二階模態(tài)柱殼周向中部變形最大，因此損耗因子增幅也最大；而且也可以看出，雖然優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)敷設角αp減小了約36°，阻尼層和約束層厚度都有所減小，但合理選取粘彈性單元分段數(shù)和占空比，能夠在引入較小阻尼結(jié)構(gòu)質(zhì)量的條件下，進一步使開口柱殼結(jié)構(gòu)具有良好的減振性能。

表2 優(yōu)化前后參數(shù)

5.4.2 優(yōu)化前后動態(tài)特性分析

圖10是優(yōu)化前后柱殼中點施加100 N徑向簡諧作用力后得到的頻率響應曲線。

圖11 開口柱殼頻率響應曲線

可以看出，相對裸殼，敷設約束阻尼結(jié)構(gòu)可有效減小前三階模態(tài)幅值，優(yōu)化結(jié)構(gòu)幅值縮減更加顯著，并且相對裸殼的模態(tài)頻率變化更小。從圖10(a)可以看出，在以徑向振動為主的第二階模態(tài)處，優(yōu)化前的徑向幅值 2.18×10-3m對應頻率 88.2 Hz，優(yōu)化后的模態(tài)頻率為 107.2 Hz，峰值變?yōu)?.9×10-3m，較裸殼在第二階模態(tài) 120.26 Hz 處的峰值0.114 m大幅縮減；圖10(b)表明，優(yōu)化結(jié)構(gòu)對應的前三階模態(tài)在切向的振動較優(yōu)化前和裸殼均有所減小，但優(yōu)化結(jié)構(gòu)的切向振動縮減有限；圖10(c)中，柱殼的最大軸向振動幅值出現(xiàn)在第三階模態(tài)，優(yōu)化結(jié)構(gòu)的軸向振幅也相對較小。同時通過柱殼三個方向的振動響應可以看出，優(yōu)化結(jié)構(gòu)較裸殼模態(tài)頻率變化更小，而且由表2知其引入質(zhì)量僅為37.8%，因此優(yōu)化結(jié)構(gòu)可在引入較小阻尼結(jié)構(gòu)質(zhì)量條件下，在改變固有頻率較小時有效縮減柱殼振動，因此更加有利于實際應用需求。

6 結(jié) 論

通過對影響模態(tài)頻率和損耗因子參數(shù)的分析和對約束阻尼開口柱殼進行結(jié)構(gòu)的NSGA-II優(yōu)化，可以得到以下一些結(jié)論。

(1) 根據(jù)Lagrange方程以及Sanders殼體理論能夠準確建立局部約束阻尼柱殼模型。

(2) 增加阻尼單元周向與軸向分段數(shù)和約束層厚度，損耗因子減??；增大約束層敷設角、阻尼單元占空比和阻尼層厚度可以增加結(jié)構(gòu)的損耗因子；粘彈性層和約束層厚度越大，模態(tài)頻率下降越多，占空比增加，模態(tài)頻率也隨之增大，阻尼單元分度數(shù)對模態(tài)頻率幾乎無影響。

(3) 利用NSGA-II法對約束阻尼結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化，能夠在大幅縮減約束阻尼結(jié)構(gòu)引入質(zhì)量的情況下，有效抑制開口柱殼結(jié)構(gòu)的振動。