聶家升 焦 岑 呂小俊*

（蘇州大學(xué)應(yīng)用技術(shù)學(xué)院,江蘇 蘇州 215300）

近年來(lái),隨著非線性動(dòng)力學(xué)的發(fā)展,復(fù)雜動(dòng)力系統(tǒng)具有多個(gè)穩(wěn)定吸引子共存的特點(diǎn),稱之為多穩(wěn)態(tài)。多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象在各個(gè)領(lǐng)域都有發(fā)現(xiàn),如電路系統(tǒng)、生物系統(tǒng)、化學(xué)、生態(tài)學(xué)、氣候動(dòng)力學(xué)等,其中Lorenz、Chen 與Chua 等吸引子的研究最為普遍。一些研究還表明,系統(tǒng)對(duì)初始值、噪聲和控制參數(shù)的微小變化極為敏感。因此,控制參數(shù)或初始值的微小變化可能會(huì)導(dǎo)致共存吸引子的數(shù)量和類型發(fā)生復(fù)雜變化。在多穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中有一種特殊的吸引子,稱為隱藏吸引子,它是由Leonov等人發(fā)現(xiàn)的,這些吸引子的吸引域不包含平衡點(diǎn)的鄰域,并且無(wú)法用傳統(tǒng)算法尋找它們。Leonov 和Kuznetsov研究了經(jīng)典的Chua 電路并在該系統(tǒng)中通過(guò)一種特殊的分析- 數(shù)值算法發(fā)現(xiàn)了隱藏吸引子。本文致力于研究非線性動(dòng)力系統(tǒng),通過(guò)分析- 數(shù)值方法尋找隱藏吸引子。

1 Van Der Pol-Duffing 振子模型

2008 年,Matouk 等人研究了一類電路系統(tǒng),稱為自治的Van Der Pol-Duffing振子,他們通過(guò)結(jié)合Hopf分支理論與數(shù)值方法,分析了該系統(tǒng)中存在Hopf 分支與混沌現(xiàn)象,并得到該系統(tǒng)中的一個(gè)平衡點(diǎn)分支出了周期軌以及混沌吸引子。2015 年,Dudkowski 等人發(fā)現(xiàn)了基于平衡點(diǎn)的Van Der Pol-Duffing振子中存在隱藏吸引子,并描述了平衡點(diǎn)和隱藏吸引子之間的聯(lián)系。

本文在Leonov和Kuznetsov研究工作的啟發(fā)下,運(yùn)用Zhao 研究隱藏吸引子的方法,結(jié)合Leonov 改進(jìn)Chua 系統(tǒng)的思想,考慮一個(gè)非線性Van Der Pol-Duffing 振子模型

其中α, β, a,b,c,d 均為系統(tǒng)參數(shù),且均為正。

本文首先根據(jù)系統(tǒng)(1)存在的基本特性討論平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性,然后運(yùn)用Hopf 分支理論,將α 作為分支參數(shù),計(jì)算出系統(tǒng)分支出周期軌的前提條件,并結(jié)合分析- 數(shù)值方法證明隱藏吸引子的存在性,最后通過(guò)數(shù)值模擬找到隱藏吸引子。

2 平衡點(diǎn)及Hopf分支

2.1 平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性

由于α,β,a,b,c,d＞0,系統(tǒng)(1)有三個(gè)平衡點(diǎn)：O(0,0,0)、P(√[(a-1)/b],0,-c√[b(a-1)]/bd)與Q(-√[(a-1)/b],0,c√[b(a-1)]/bd),其中a ＞1 且P、Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

2.1.1 平衡點(diǎn)O的穩(wěn)定性

平衡點(diǎn)O滿足如下特征方程

該式可變?yōu)?/p>

由上式可知λ1λ2λ3=-αβd(1-a)＞0,則方程(2)至少存在一個(gè)正根,根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù)知,平衡點(diǎn)O 不穩(wěn)定。

2.1.2 平衡點(diǎn)P,Q的穩(wěn)定性

由于平衡點(diǎn)P,Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故平衡點(diǎn)P,Q有相同的特征方程

由(3)和(4)式知λ1λ2λ3=-2αβd(a-1)＜0,則至少有一個(gè)負(fù)根,且λ1+λ2+λ3=-[2α(a-1)+1]。

根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù)可得

定理1：系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)P,Q 漸進(jìn)穩(wěn)定,當(dāng)且僅當(dāng)方程(3)的根具有負(fù)實(shí)部。

引理1：系統(tǒng)(1)出現(xiàn)Hopf分支,當(dāng)且僅當(dāng)方程(3)有一個(gè)負(fù)實(shí)根λ=- [2α (a-1)+1] 和一對(duì)共軛純虛根λ2,3=±iω(ω＞0)。

2.2 Hopf分支

由于平衡點(diǎn)O不穩(wěn)定,所以只須討論平衡點(diǎn)P,Q處的Hopf分支情況。設(shè)方程(3)的一個(gè)負(fù)實(shí)根為-[2α(a-1)+1],一對(duì)純虛根為±iω(ω＞0)。下面將λ=ωi 代入(3)式,則

分離出實(shí)部和虛部,則ω 滿足

將α 作為分支參數(shù),則分支臨界點(diǎn)αc滿足方程

已知α＞0,a＞1,根據(jù)韋達(dá)定理,則

(i)若2(a-1)≥c,方程(7)無(wú)正根；

(ii)若2(a-1)＜c,方程(7)僅有唯一正根

其中Λ= [2 (a-1)-c]2-8βd (a-1)[2 (a-1)-c] 且ω={2αcβd(a-1)/[2αc(a-1)+1]}。

當(dāng)2(a-1)＜c,α=αc時(shí),方程(3)有一對(duì)純虛根±iω,可得

d(Reλ(αc))/dαc={-2(a-1)(βd-ω2)ω2+[2(a-1)-c][2αc(a-1)+1]ω2}/{2ω4+2[2αc(a-1)+1]ω2}.

已知a＞1,且由(6)式可得βd-ω2＞0。因此若2(a-1)＜c,有

d(Reλ(αc))/dαc＞0.

由此可得以下結(jié)論

定理2: 系統(tǒng)(1)在平衡點(diǎn)P,Q 處出現(xiàn)Hopf 分支,當(dāng)且僅當(dāng)α 經(jīng)過(guò)臨界值αc,2(a-1) ＜c 且αc滿足(8)式。

3 隱藏吸引子的定位算法

本文運(yùn)用分析- 數(shù)值方法的思想來(lái)定位隱藏吸引子。

思考這樣一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)

其中P 是n×n 常數(shù)矩陣,φ(x) 是一個(gè)連續(xù)的向量函數(shù),且φ(0)=0。

為了尋找系統(tǒng)(9)的周期解,定義矩陣K 使P0=P+K,有一對(duì)純虛根±iω0(ω0＞0),并且其余特征根均有負(fù)實(shí)部,則上述系統(tǒng)可變?yōu)?/p>

其中φ(x)=φ(x)-Kx。

引入m+1 個(gè)連續(xù)函數(shù)φ0(x),φ1(x),···,φm(x),使得任意兩個(gè)相鄰的函數(shù)φj(x)與φj+1(x)的差別非常微小,這里函數(shù)φ0(x)的值很小,并且φm(x)=φ(x)。

由于函數(shù)φ0(x)的值很小,可對(duì)系統(tǒng)(11)進(jìn)行諧波線性化,將其轉(zhuǎn)化為

同時(shí)確定一個(gè)穩(wěn)定周期解x0(t)。將x0(t)作為初始值,定位系統(tǒng)(9)的吸引子并進(jìn)行數(shù)值計(jì)算,增加j 從而得到對(duì)應(yīng)的周期解。此時(shí)將出現(xiàn)如下兩種情形：

情形一：考慮如下系統(tǒng)

當(dāng)j=1 時(shí),系統(tǒng)(12)的穩(wěn)定周期解的吸引域包含周期解x0(t)上的所有點(diǎn)。

情形二：當(dāng)j=1,系統(tǒng)(11)過(guò)渡到系統(tǒng)(12)時(shí),不穩(wěn)定的分支會(huì)破壞周期解。

在情形一的基礎(chǔ)上考慮到計(jì)算區(qū)間[0,T]充分大,將x0(0)看作初始值,運(yùn)用數(shù)值運(yùn)算找到j(luò)=1 時(shí)系統(tǒng)(12)的穩(wěn)定周期解x1(t)。然后考慮j=2 時(shí)系統(tǒng)(12)的周期解,將x2(0)=x1(T)作為初始值,得到系統(tǒng)(12)的周期解x2(t)。按此步驟繼續(xù)運(yùn)算,將xj(0)=xj-1(T)作為初始值,可以找到系統(tǒng)(12)在j=m時(shí)的周期解xj(t),即原系統(tǒng)(10)的周期解?；蛘咴谏鲜鲞\(yùn)算過(guò)程中出現(xiàn)第二種情形,即某一步發(fā)生變化導(dǎo)致周期解被不穩(wěn)定的分支破壞。

下面為了確定初始周期解的初始值x0(0),定義a0的描述函數(shù)

定理3：如果可以找到一個(gè)正數(shù)a0滿足

Φ(a0)=0, dΦ(a)/da≠0(a=a0).

那么對(duì)于充分小的ε 存在周期解x0(t),它的初始數(shù)據(jù)滿足x0(0)=S(y1(0), y2(0),y3(0))*,其中

y1(0)=a0+O(ε), y2(0)=0, y3(0)=On-2(ε),

并且On-2(ε)是(n-2)維向量,并且

On-2(ε)=(O(ε)…O(ε))T。

接下來(lái)根據(jù)上述介紹的隱藏吸引子定位算法,運(yùn)用諧波線性化方法,引入非退化線性變換,獲得了系統(tǒng)(1)用于定義初始數(shù)據(jù)的如下公式

其中a0由(13)式中的Φ(a)所確定,且滿足定理3 中的條件。

4 數(shù)值模擬

本節(jié)取a=1.05,b=0.0001,c=1.25,d=2.05,β=200,進(jìn)行數(shù)值模擬。

4.1 由不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)分支出的吸引子

原系統(tǒng)的三個(gè)平衡點(diǎn)分別為：O (0,0,0)、P (10√5,0,-6.0976√5)與Q(-10√5,0,6.0976√5),并且平衡點(diǎn)P,Q 在臨界值αc=54.9184 處出現(xiàn)Hopf分支。當(dāng)α∈(0,αc)時(shí)平衡點(diǎn)P,Q穩(wěn)定,當(dāng)α＞αc時(shí)出現(xiàn)更復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。

結(jié)合圖1(a)和(b)可知,當(dāng)α ∈[20,54.9184) 時(shí) 最 大Lyapunov 指數(shù)均小于0,此時(shí)平衡點(diǎn)P,Q 穩(wěn)定；當(dāng)α∈(54/9184,58) 時(shí)最大Lyapunov指數(shù)均為0,此時(shí)原系統(tǒng)存在由平衡點(diǎn)P,Q 分支出的周期解；當(dāng)α∈(58,160] 時(shí)最大Lyapunov 指數(shù)均小于0,此時(shí)原系統(tǒng)隨著α 的增加由倍周期分支逐漸變?yōu)榛煦纭?/p>

圖1 原系統(tǒng)在β=200, a=1.05 時(shí)關(guān)于參數(shù)α 的Lyapunov 指數(shù)譜與分支圖

4.2 隱藏吸引子

上述數(shù)值模擬出的吸引子都是常見(jiàn)的吸引子,下面采用隱藏吸引子的定位算法確定初始值。通過(guò)數(shù)值模擬可得下圖,并且當(dāng)吸引子是隱藏吸引子時(shí),它們不會(huì)起始于平衡點(diǎn)P,Q鄰域內(nèi)的不穩(wěn)定流形。

當(dāng)參數(shù)α 取不同值時(shí),吸引子存在復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為,平衡點(diǎn)P,Q由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定,由不穩(wěn)定平衡點(diǎn)P,Q分別分支出穩(wěn)定的周期軌,當(dāng)周期軌破裂后平衡點(diǎn)P,Q周?chē)霈F(xiàn)混沌,在這個(gè)過(guò)程中隱藏吸引子在其周?chē)\(yùn)動(dòng)著。圖2(a)說(shuō)明當(dāng)α=40 時(shí),平衡點(diǎn)P,Q 穩(wěn)定且隱藏吸引子圍繞在其周?chē)粓D2(b)說(shuō)明當(dāng)α=75 時(shí),不穩(wěn)定平衡點(diǎn)P,Q 的周?chē)霈F(xiàn)了混沌,且隱藏吸引子圍繞著這些混沌吸引子。

圖2 原系統(tǒng)在β=200, a=1.05 時(shí)的相圖

5 結(jié)論

本文針對(duì)非線性Van Der Pol-Duffing 振子模型研究其隱藏吸引子的存在性問(wèn)題。首先根據(jù)Routh-Hurwitz 判據(jù)討論平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性,然后根據(jù)經(jīng)典的動(dòng)力系統(tǒng)Hopf分支理論,取α 作為分支參數(shù)研究原系統(tǒng)的Hopf分支,接著將該系統(tǒng)代入分析- 數(shù)值算法中,并在諧波線性化的作用下,得到系統(tǒng)存在隱藏吸引子,最后通過(guò)數(shù)值模擬證明了原系統(tǒng)存在隱藏吸引子。