程 靜， 周菊玲

（新疆師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，烏魯木齊 830017）

Weibull廣泛應(yīng)用在概率統(tǒng)計和可靠性分析中以及航空航天和生物醫(yī)學(xué)的壽命檢驗上［1］. 周曉東等［2］用貝葉斯統(tǒng)計方法討論并研究了刪失數(shù)據(jù)下的Weibull分布參數(shù)問題；陳惠［3］在已知變點個數(shù)的情況下利用貝葉斯方法研究了Weibull分布的回歸模型和變點問題；陳希孺［4］結(jié)合概率變點問題，介紹了極大似然估計方法、累計次數(shù)法和貝葉斯方法；程貝麗和周菊玲［5］利用極大似然法和貝葉斯方法研究了對數(shù)伽馬分布變點模型的估計；何朝兵［6］通過添加缺損的壽命變量數(shù)據(jù)得到了在左截斷右刪失數(shù)據(jù)下Weibull 分布的完全數(shù)據(jù)似然函數(shù)，利用MCMC 法對該分布參數(shù)多變點進(jìn)行了貝葉斯估計；師義民［7］就定數(shù)截尾樣本討論研究了Weibull分布三參數(shù)的貝葉斯估計；Meryem和Birgoren［8］利用極大似然估計方法和貝葉斯方法求解了材料的可靠壽命，蒙特卡羅模擬表明在相同的精度水平上，貝葉斯方法所需的樣本量比極大似然估計方法更小. 溫艷清和劉寶亮［9］利用N-R 算法、CM 算法及修正的CM 算法計算了完全數(shù)據(jù)下的Weibull 分布的極大似然估計，并分析了這三種算法處理問題時的優(yōu)良性；戴迪昊等［10］參考數(shù)個氣象臺的樣本數(shù)據(jù)，對最大風(fēng)速序列的變點結(jié)合三參數(shù)的Weibull分布進(jìn)行檢驗和估計. 喬世君和張世英［11］在定時截尾下，結(jié)合Gibbs抽樣計算了Weibull 分布的貝葉斯估計，并且利用實際例子和經(jīng)典的BLIE、BLUE 估計進(jìn)行對比. 曾國桓［12］在定時截尾試驗下對兩參數(shù)威布爾分布的估計進(jìn)行了研究. 李繼政等［13］利用Weibull分布對極值波高進(jìn)行研究分析，且選取貝葉斯方法和最大似然估計分別估計未知參數(shù)，最終從樣本的擬合效果和設(shè)計波高計算兩個方面分析這兩種不同的估計方法所產(chǎn)生的效果. 對于Weibull分布變點的問題很少有人研究，本文利用極大似然估計和貝葉斯估計研究Weibull分布參數(shù)的變點估計問題，并通過隨機(jī)模擬對這兩種方法作比較.

1 Weibull分布單變點模型

設(shè)隨機(jī)變量X服從Weibull分布，其分布函數(shù)和密度函數(shù)表達(dá)式分別如下：

其中：θ為尺度參數(shù)，η為形狀參數(shù)，記為Weib(θ,η).

假設(shè)隨機(jī)變量Xi(i=1,2,…,n)相互獨立且滿足

其中尺度參數(shù)θ1、θ2＞0，且θ1、θ2、m都是未知的，當(dāng)θ1≠θ2時正整數(shù)m就是要討論的變點，該模型只有一個變點，稱為Weibull分布尺度參數(shù)的單變點模型.

下面研究形狀參數(shù)η為離散型隨機(jī)變量時，Weibull分布尺度參數(shù)θ的單變點模型的極大似然估計和貝葉斯估計.

2 極大似然估計

設(shè)m為變點，當(dāng)θ1≠θ2時，設(shè)X～Weib(θ,η)，Xi(i=1,2,…,n)是總體的一個樣本，其似然函數(shù)為：

則對數(shù)似然函數(shù)為：

固定m，對θ1、θ2求極大，得：

3 Weibull分布的貝葉斯估計

基于貝葉斯方法處理分布模型變點問題時，為了更好地得到統(tǒng)計推斷結(jié)果，需引入先驗分布，而選取先驗分布一般通過分布的具體形式以及關(guān)于參數(shù)的歷史數(shù)據(jù)信息，為此我們對m、θ1、θ2取如下先驗分布：

1）對變點m取無信息先驗分布：

2）θ1、θ2的先驗分布為逆伽馬分布：

其中：a1＞0,a2＞0,b1＞0,b2＞0，m與θ1、θ2相互獨立，則參數(shù)m、θ1、θ2的聯(lián)合后驗分布為：

得到各參數(shù)的滿條件分布：

因為參數(shù)θ1、θ2的滿條件分布形式比較簡單，可以用Gibbs 抽樣. 變點m的滿條件分布較為復(fù)雜，用Gibbs抽樣比較困難，所以我們在這可以利用M-H算法進(jìn)行抽樣. MCMC算法的具體步驟如下：

4 隨機(jī)模擬

首先對極大似然估計進(jìn)行模擬：

根據(jù)Weibull 分布的對數(shù)似然函數(shù)和極大似然估計式（5），利用R軟件對未知參數(shù)m、θ1、θ2進(jìn)行估計，結(jié)果如表1所示.

表1 參數(shù)m、θ1、θ2的極大似然估計Tab.1 Maximum likelihood estimation of parameter m，θ1，θ2

下面進(jìn)行貝葉斯估計的隨機(jī)模擬.

令n=200，取 參 數(shù)(m,θ1,θ2,η) 的 真 實 值 為(35,3,8,0.6)，取M=20 000，B=10 000，根據(jù)參數(shù)m、θ1、θ2的滿條件分布進(jìn)行MCMC模擬，結(jié)果如表2所示.

表2 參數(shù)m、θ1、θ2的貝葉斯估計Tab.2 Bayesian estimation of parameter m，θ1，θ2

圖1 是參數(shù)m的抽樣迭代過程，從圖中可以看出Gibbs 抽樣波動較小，絕大多數(shù)在變點附近，即估計效果較好. 圖2 是參數(shù)m的兩條迭代鏈軌跡，可以看出這兩條迭代鏈較穩(wěn)定且逐漸重合，即收斂性比較好.

圖1 參數(shù)m 的抽樣迭代過程Fig.1 Sampling iteration process of parameter m

圖2 參數(shù)m 的兩條迭代鏈軌跡Fig.2 Two iterative chain trajectories of parameter m

從隨機(jī)模擬結(jié)果來看，表1 中參數(shù)m、θ1、θ2的極大似然估計值與真值相差較大，精度不高；相比較表2三個參數(shù)的均值與真值差值較小，相對誤差不超過6%，MC誤差也較小，故整體上各參數(shù)的貝葉斯估計精度較高；各參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差也比較小，說明數(shù)據(jù)比較穩(wěn)定.

綜上所述，Weibull分布參數(shù)的變點估計問題可以用MCMC方法實現(xiàn)，且估計效果都比較良好.