許達(dá)，喻厚義

西南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 重慶 400715

在由一個(gè)非空集合生成的自由結(jié)合代數(shù)上， 可以定義不同的代數(shù)結(jié)構(gòu)， 擬洗牌代數(shù)是其中最重要的一個(gè)． 擬洗牌乘積最早出現(xiàn)在文獻(xiàn)[1]關(guān)于羅巴代數(shù)的工作中， 而由文獻(xiàn)[2]在研究多重zeta函數(shù)值時(shí)正式引入并深入研究， 目前在代數(shù)、數(shù)論和組合數(shù)學(xué)中均有廣泛應(yīng)用[3-4]． 為了研究多重zeta函數(shù)值的一般表達(dá)形式， 文獻(xiàn)[5]給出了兩類交換的擬洗牌代數(shù)， 利用形式冪級(jí)數(shù)構(gòu)造了一類性質(zhì)良好的Hoffman-Ihara算子， 并借其建立了洗牌代數(shù)和交換擬洗牌代數(shù)之間的同構(gòu)關(guān)系． 在此基礎(chǔ)上， 文獻(xiàn)[6]利用形式冪級(jí)數(shù)構(gòu)造了多變?cè)腍offman-Ihara算子， 并發(fā)展了相應(yīng)的operad理論． 為了研究符號(hào)置換上的代數(shù)組合性質(zhì)， 文獻(xiàn)[7]構(gòu)造了帶權(quán)重的非交換擬洗牌代數(shù)， 證明了它具有Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu)， 并建立了它與經(jīng)典代數(shù)對(duì)象[8-9]的聯(lián)系， 但是并沒有給出具體的對(duì)極公式． 本文將給出這一Hopf代數(shù)的兩種對(duì)極公式， 一種是利用數(shù)學(xué)歸納法給出的顯性表達(dá)， 另一種是利用Hoffman-Ihara算子給出的線性算子形式．

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)A是一個(gè)非空集合， 稱為字母表， 其中的元素叫做字母． 由字母表A上的有限個(gè)字母形成的一個(gè)序列稱為詞， 用ε表示空序列， 稱為空詞． 設(shè)w=a1a2…an是一個(gè)詞， 稱n為w的長(zhǎng)度， 記作(w)， 空詞的長(zhǎng)度定義為0． 詞an…a2a1稱為w的倒置， 記作wr． 令A(yù)*為字母表A上所有詞的集合，K是一個(gè)特征為0的域，K〈A〉為K上由A生成的自由結(jié)合代數(shù)． 則K〈A〉的基礎(chǔ)集就是以A*為基底的線性空間KA*， 其中乘法就是詞的串聯(lián)， 即

(a1a2…am)(b1b2…bn)=a1a2…amb1b2…bn

下面在K〈A〉上定義一種新的乘積．

定義1設(shè)A是一個(gè)字母表，K是一個(gè)特征為0的域， °是KA上一個(gè)滿足結(jié)合律的乘積，λ∈K． 若K〈A〉上的一個(gè)二元運(yùn)算*λ滿足：

(a) 1K*λε=ε*λ1K=ε；

(b) 對(duì)任意a，b∈A和任意u，v∈A*， 都有

au*λbv=a(u*λbv)+b(au*λv)+λ(a°b)(u*λv)

則稱*λ是關(guān)于°的權(quán)為λ的擬洗牌乘積．

由文獻(xiàn)[7]中的定理2.1可知*λ滿足結(jié)合律， 從而(K〈A〉， *λ)是一個(gè)結(jié)合K-代數(shù)． 我們稱(K〈A〉， *λ)是權(quán)重為λ的擬洗牌代數(shù)． 當(dāng)λ=0， 或°是零乘積時(shí)， *λ就是K〈A〉上通常的洗牌乘積ш． 當(dāng)°交換時(shí)， *1和*-1分別特殊化為文獻(xiàn)[5， 10]中的擬洗牌乘積* 和＊．

(1)

定理1[7]設(shè)A是一個(gè)字母表，K是一個(gè)特征為0的域． 則對(duì)任意λ∈K， (K〈A〉， *λ，μ，Δ，ε)是一個(gè)Hopf代數(shù)． 當(dāng)λ≠0時(shí)， 乘積*λ是可交換的當(dāng)且僅當(dāng)乘積°是可交換的．

下面將交換擬洗牌代數(shù)上的Hoffman-Ihara算子[5]推廣到帶權(quán)的非交換擬洗牌代數(shù)上． 令n是一個(gè)正整數(shù)，I=(i1，i2， …，ik)是一個(gè)由有限個(gè)正整數(shù)組成的序列． 若i1+i2+…+ik=n， 則稱I為n的一個(gè)合成，(I)=k為I的長(zhǎng)度．n的所有合成構(gòu)成的集合記作C(n)． 設(shè)w=a1a2…an是一個(gè)詞，I=(i1，i2， …，ik)是n的一個(gè)合成， 記

I[w]=(a1°…°ai1)(ai1+1°…°ai1+i2)…(ai1+…+ik-1+1°…°an)

定義2設(shè)K是一個(gè)特征為0的域，λ是K中的非零元， 令

則稱Ψf，λ是K〈A〉上權(quán)重為λ的Hoffman-Ihara算子．

權(quán)等于1的Hoffman-Ihara算子在數(shù)論中有非常重要的應(yīng)用[5]．

2 對(duì)極公式

定理2設(shè)A是一個(gè)字母表，K是一個(gè)特征為0的域，λ∈K，S是Hopf代數(shù)(K〈A〉， *λ，μ，Δ，ε)的對(duì)極． 則對(duì)任意詞w=a1a2…an， 有

(2)

證因?yàn)槿魏蜨opf代數(shù)(H，mH，μH，ΔH，εH)的對(duì)極SH， 都滿足條件

mH(IH?SH)ΔH=εH1H

所以由(1)式可得， 對(duì)任意詞w=a1a2…an， 都有

(3)

下面對(duì)w的長(zhǎng)度n進(jìn)行歸納， 證明等式(2)成立． 若n=1， 則由(3)式知S(w)=-a1， 故(2)式成立． 假設(shè)對(duì)小于n的情形， 結(jié)論成立． 對(duì)于n>1， 根據(jù)等式(3)和歸納假設(shè)可知

根據(jù)定義1，S(w)是一些詞的線性組合， 其中每一個(gè)加法因子的第一個(gè)字母都是以下3種情形之一：

ak-il+1°…°akak-il+1°…°ak°ak+1ak+1

為了簡(jiǎn)單起見， 稱第一種情形中的項(xiàng)是k-型的， 后兩種情形中的項(xiàng)是k+1-型的． 因?yàn)楦鶕?jù)擬洗牌乘積的定義， 對(duì)任意a，b∈A和任意u，v∈A*， 都有表達(dá)式

au*λbv=a(u*λbv)+b(au*λv)+λ(a°b)(u*λv)

所以對(duì)于出現(xiàn)在S(w)的展開式中的每一個(gè)詞， 若它是j-型的， 且j≤n-1， 那么它將同時(shí)出現(xiàn)在k=j和k=j-1中． 但是這兩個(gè)詞的系數(shù)之和恰好為0， 會(huì)相互抵消． 因此唯一不會(huì)抵消的一類詞是n-型的詞， 它們只出現(xiàn)在第n-1項(xiàng)中， 而且沒有被抵消的詞均形如

(an-il+1°…°an)…(a1°…°ai1)

并帶有系數(shù)

(-1)nλn-(I)=(-1)λ

其中I=(i1， …，il)是(w)的一個(gè)合成． 這就證明了等式(2)成立．

例如， 關(guān)于Hopf代數(shù)K〈A〉的對(duì)極S， 有S(a1)=-a1，S(a1a2)=a2a1+λa1°a2和

S(a1a2a3)=-a3a2a1-λ(a2°a3)a1-λa3(a1°a2)-λ2(a1°a2°a3)

引理1設(shè)K是一個(gè)特征為0的域，λ∈K{0}． 則對(duì)任意詞w， 都有

證由于

所以根據(jù)定義2， 對(duì)任意詞w， 都有

證對(duì)于A上的任意詞w=a1a2…an， 以及n的一個(gè)合成I=(i1，i2， …，ik)， 有

(an-ik+1°…°an)…(a1°…°ai1)=R(I[w])

所以， 由定理2知

因?yàn)镽是線性映射， 故由引理1得

注1對(duì)于非交換的擬洗牌代數(shù)，R與Ψf，λ關(guān)于映射合成一般是不可交換的． 例如， 令A(yù)={a1，a2，a3}， 并且令乘積°由x°y=x(對(duì)任意x，y∈A)所定義． 則

而

定義1中的條件(b)對(duì)非交換擬洗牌乘積的定義是從前向后歸納給出的． 事實(shí)上， 容易證明也可以從后向前歸納定義， 即對(duì)所有字母c，d∈A和詞u，v∈A*， 都有

uc*λvd=(u*λvd)c+(uc*λv)d+λ(u*λv)(c°d)

(4)

命題1對(duì)所有λ∈K， 映射R是(K〈A〉， *λ)的一個(gè)代數(shù)自同構(gòu)．

證因?yàn)镽是雙射， 故只需證明對(duì)任意詞u1，u2，R(u1*λu2)=R(u1)*λR(u2)． 若u1，u2中有一個(gè)是空詞ε， 則結(jié)論顯然成立． 若u1，u2均不是空詞ε， 則可設(shè)u1=aw，u2=bv， 其中a，b∈A，w，v∈A*．

一方面， 根據(jù)(4)式可得

R(u1)*λR(u2)=wra*λvrb=(wr*λvrb)a+(wra*λvr)b+λ(wr*λvr)a°b

另一方面， 對(duì)u1，u2的長(zhǎng)度之和(u1)+(u2) 進(jìn)行數(shù)學(xué)歸納， 并由R是線性映射可知

所以R(u1*λu2)=R(u1)*λR(u2)， 這就證明了R是一個(gè)同構(gòu)映射．