杜寧貝

[摘? 要] 立體幾何一直是中學(xué)（特別是高中）數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容和難點(diǎn)內(nèi)容，在中學(xué)階段，學(xué)生的空間想象力還未發(fā)展成熟，對(duì)于理解立體幾何存在難度. 文章介紹了三維動(dòng)畫制作軟件3DS Max的基本功能與優(yōu)點(diǎn)，并根據(jù)教學(xué)實(shí)例說明了該應(yīng)用軟件的可行性和必要性.

[關(guān)鍵詞] 中學(xué)數(shù)學(xué);立體幾何;3DS Max軟件

[?] 引言

立體幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，同時(shí)也是重點(diǎn)和難點(diǎn)，目的在于從無到有地培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力，即對(duì)客觀事物的空間形式（空間幾何形體）進(jìn)行觀察、分析、認(rèn)知的抽象思維能力. 但在實(shí)際教學(xué)過程中，傳統(tǒng)的粉筆作圖教學(xué)方式很難表達(dá)出空間圖形的立體感，因而對(duì)于空間想象力還處在初級(jí)階段的大部分學(xué)生難以理解，影響了他們對(duì)立體幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)和領(lǐng)悟. 隨著教育理念、基礎(chǔ)設(shè)施和師資力量的增長(zhǎng)，不少教師已經(jīng)將國內(nèi)外針對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科教育開發(fā)的軟件，如幾何畫板、GeoGebra、超級(jí)畫板等引入課堂，取得了一定的成果，但在立體幾何領(lǐng)域收效有限. 究其原因，是這些軟件的主要用途在于平面幾何，并沒有針對(duì)立體幾何繪圖的優(yōu)化和設(shè)計(jì)，特別是沒有表現(xiàn)動(dòng)態(tài)視角下的立體幾何的功能，但3DS Max軟件的出現(xiàn)很好地解決了這一問題. 文章旨在將三維動(dòng)畫制作軟件（3DS Max軟件）引入中學(xué)數(shù)學(xué)立體幾何的教學(xué)，配合傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)方式幫助學(xué)生更好地進(jìn)行學(xué)習(xí)和理解.

[?] 3DS Max軟件功能簡(jiǎn)介

3D Studio Max軟件，常簡(jiǎn)稱為3D Max軟件或3DS Max軟件，是Discreet公司開發(fā)的（后被Autodesk公司合并）基于PC平臺(tái)的三維動(dòng)畫渲染和制作軟件. 在最新版的3DS Max（2018）中，能夠提供三維造型、涉及材質(zhì)、環(huán)境布置、動(dòng)畫制作等功能，上至好萊塢電影特效的制作，下至簡(jiǎn)單圖形的繪制，其已經(jīng)廣泛應(yīng)用于廣告、影視、工業(yè)設(shè)計(jì)、建筑設(shè)計(jì)、三維動(dòng)畫、多媒體制作、游戲、輔助教學(xué)以及工程可視化等領(lǐng)域. 3DS Max軟件在中學(xué)數(shù)學(xué)立體幾何教學(xué)中有以下優(yōu)點(diǎn).

1. 3DS Max軟件能夠完成中學(xué)數(shù)學(xué)立體幾何教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)

中學(xué)數(shù)學(xué)中立體幾何教學(xué)的目的是培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力，最終使學(xué)生能夠達(dá)到：

（1）根據(jù)空間幾何形體或根據(jù)表述幾何形體的語言、符號(hào)，在大腦中展現(xiàn)出相應(yīng)的空間幾何圖形，并能正確想象其直觀圖.

（2）根據(jù)直觀圖在大腦中展現(xiàn)出直觀圖表現(xiàn)的幾何形體及其組成部分的形狀、位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.

（3）對(duì)頭腦中已有的空間幾何形體進(jìn)行分解、組合，產(chǎn)生新的空間幾何形體，并正確分析其位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.

對(duì)應(yīng)于中學(xué)教材，特別是人教版必修2中的第一章“空間幾何體”與第二章“點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系”，要能夠很好地表現(xiàn)出這些空間圖形的立體感，同時(shí)能夠動(dòng)態(tài)展開（三視圖、旋轉(zhuǎn)體）. 3DS Max軟件的功能可以實(shí)現(xiàn)中學(xué)數(shù)學(xué)立體幾何教學(xué)的全部要求.

2. 3DS Max軟件易上手，學(xué)習(xí)資料豐富，交流方式多

與大部分人對(duì)專業(yè)動(dòng)畫軟件的印象不同，3DS Max軟件其實(shí)是一款很容易上手的軟件. 以筆者自身為例，從軟件的下載安裝到自學(xué)再到完成第一次應(yīng)用于圓錐曲線的課程設(shè)計(jì)，僅僅用了一周時(shí)間. 3DS Max軟件的制作流程非常簡(jiǎn)潔高效，而中學(xué)數(shù)學(xué)立體幾何教學(xué)所需要用到的功能其實(shí)很少，只要能夠針對(duì)性地學(xué)習(xí)，很快就能夠?qū)W會(huì)相關(guān)的功能. 在進(jìn)行幾次初步嘗試后，就能夠完成教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì). 同時(shí)，在學(xué)習(xí)3DS Max軟件方面，不需要有專門學(xué)習(xí)的人士指導(dǎo)，互聯(lián)網(wǎng)上有豐富的學(xué)習(xí)資料，還可以通過百度貼吧、網(wǎng)絡(luò)論壇等媒介交流制作心得.

3. 3DS Max軟件制作流程短，完成效果好

這也是3DS Max軟件在進(jìn)行立體幾何教學(xué)中比起常規(guī)數(shù)學(xué)教學(xué)軟件如幾何畫板等一個(gè)不可替代的優(yōu)勢(shì). 學(xué)會(huì)3DS Max軟件一些簡(jiǎn)單的命令后，完成立體幾何教學(xué)內(nèi)容的動(dòng)畫（繪制空間圖形→設(shè)置關(guān)鍵幀→設(shè)置攝像機(jī)→完成渲染）僅僅需要幾個(gè)小時(shí). 同時(shí)在繪制空間圖形、表現(xiàn)空間動(dòng)畫方面也更勝一籌，3DS Max軟件可以通過設(shè)置完成透視圖的表現(xiàn)，其中還有布爾運(yùn)算能夠制作出切面的圖案甚至動(dòng)畫.

[?] 3DS Max軟件的應(yīng)用實(shí)例——不規(guī)則幾何體的切面例題講解

1. 教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)

筆者在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生因空間想象力不足，在理解不規(guī)則幾何體的切面上存在一定難度，以下即為典型的不規(guī)則幾何體的切面例題.

圖（圖1）中最左邊的幾何體由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)以圓柱的上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐而得. 現(xiàn)用一個(gè)豎直的平面去截這個(gè)幾何體，則截面圖形可能是（? ? ）

A. ①② B. ①③

C. ①④ D. ①⑤

該例題的正確答案是D，對(duì)于空間想象力強(qiáng)的學(xué)生而言，這是一道比較簡(jiǎn)單的題目. 然而在筆者執(zhí)教的兩個(gè)高一班級(jí)中，還是有40%左右的學(xué)生沒能做對(duì). 其中，學(xué)生比較容易錯(cuò)誤選擇的答案是A（約27%）和B（約13%），且這些學(xué)生普遍反映，經(jīng)過筆者的初步講解也無法很好地理解截面圖形為何呈選項(xiàng)⑤的弧形. 該題目講解的難度大在于使用黑板繪制圖形，用平面表達(dá)立體效果差;而現(xiàn)實(shí)中很難找到這樣一個(gè)不規(guī)則幾何體供學(xué)生參考，憑空講解對(duì)于這部分學(xué)生來說難以理解. 因此筆者決定嘗試使用3DS Max軟件進(jìn)行立體動(dòng)態(tài)演示，幫助這些空間想象力不足的學(xué)生直觀這一不規(guī)則幾何體實(shí)際被切割時(shí)的截面圖形.

筆者使用的是3DS Max（2014）試用版，目的是多視角展示出這一不規(guī)則幾何體被豎直平面切割時(shí)可能呈現(xiàn)的圖形.

第一步是建立模型. 使用“創(chuàng)建—幾何體—標(biāo)準(zhǔn)基本體—圓柱體”得到一個(gè)圓柱體，再同樣使用該功能創(chuàng)建一個(gè)底面與之前創(chuàng)建的圓柱體的底面相同、高相等的倒立的圓錐體. 選中創(chuàng)建的圓錐體，使用“創(chuàng)建—復(fù)合對(duì)象—布爾—差集（B-A）”功能，再選中圓柱體，即可得到例題中的不規(guī)則幾何體.

第二步是創(chuàng)建豎直平面，并用其截取該不規(guī)則幾何體. 使用“創(chuàng)建—幾何體—標(biāo)準(zhǔn)基本體—平面”繪制一個(gè)豎直平面，并讓該平面和不規(guī)則幾何體保持一定距離. 選中平面，使用“設(shè)置關(guān)鍵點(diǎn)—拖動(dòng)時(shí)間軸—移動(dòng)平面—設(shè)置關(guān)鍵點(diǎn)”功能，讓平面在設(shè)定的時(shí)間內(nèi)均勻地切割該不規(guī)則幾何體.

第三步是多視角下切割動(dòng)畫的輸出. 筆者認(rèn)為一個(gè)從斜上方俯視和一個(gè)旋轉(zhuǎn)的視角可以完整描述該不規(guī)則幾何體被切割的情形. 使用“創(chuàng)建—攝像機(jī)—自由”繪制一個(gè)從右上方俯視的視角，命名為“攝像機(jī)1”，再通過“渲染—渲染設(shè)置—活動(dòng)時(shí)間段—攝像機(jī)1”得到俯視視角下的切割動(dòng)畫. 使用同樣的方式創(chuàng)建一個(gè)“攝像機(jī)2”，視角調(diào)整為平視該不規(guī)則幾何體，再通過“渲染—渲染設(shè)置—活動(dòng)時(shí)間段—攝像機(jī)2”得到平視視角下的切割動(dòng)畫. 最后選中平面，使用“創(chuàng)建—復(fù)合對(duì)象—布爾—交集”得到平面截該不規(guī)則幾何體的圖形. 重復(fù)上述渲染的步驟，得到俯視視角下的切割動(dòng)畫以及平視視角下的切割動(dòng)畫.

第四步是視頻制作. 運(yùn)用會(huì)聲會(huì)影將4個(gè)鏡頭輸出的動(dòng)畫整合到一個(gè)畫面，并進(jìn)行簡(jiǎn)單的文字解釋以及后期制作，配合教案完成整個(gè)易錯(cuò)題例題的解析課教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì).

2. 實(shí)際教學(xué)

筆者分別在執(zhí)教的兩個(gè)高一班級(jí)進(jìn)行了這個(gè)例題的講解課，授課按照“例題錯(cuò)選分析—視頻播放講解—學(xué)生交流反饋”的流程進(jìn)行. 在視頻播放講解中，利用3DS Max軟件制作的動(dòng)畫視頻，使得學(xué)生對(duì)于該不規(guī)則幾何體被豎直平面所截得到的圖形有了一個(gè)全方位動(dòng)態(tài)的了解，隨著豎直平面從該不規(guī)則幾何體外部接觸到切割再到離開，其截面呈現(xiàn)出何種圖形，都能直觀地在視頻中看到. 其中，視角一是俯視視角，視角二是平視視角. 圖2和圖3展示了動(dòng)畫中的兩個(gè)瞬間截圖，通過截圖可以知道答案是D，①和⑤是該不規(guī)則幾何體被豎直平面切割可能出現(xiàn)的圖形.

3. 反饋與效果評(píng)價(jià)

即便學(xué)生普遍反映喜歡這類視頻教學(xué)形式，但是對(duì)于將3DS Max軟件引入高中數(shù)學(xué)立體幾何教學(xué)的效果如何，筆者仍然通過一些簡(jiǎn)單的問卷做了進(jìn)一步的了解. 在教學(xué)環(huán)節(jié)的第三部分，筆者發(fā)放了一份自己設(shè)計(jì)的教學(xué)問卷（兩個(gè)班級(jí)共計(jì)學(xué)生87名，回收問卷87份，有效問卷87份）.

備注：“5分”表示“非常贊同”，“4分”表示“比較贊同”，“3分”表示“無所謂”，“2分”表示“比較不贊同”，“1分”表示“非常不贊同”.

筆者利用Excel對(duì)回收的問卷進(jìn)行了簡(jiǎn)單的處理，得到的結(jié)果如表2所示.

從處理的數(shù)據(jù)來看，總體上每個(gè)序號(hào)的平均分都超過了3分，說明此次將3DS Max軟件引入高中數(shù)學(xué)立體幾何教學(xué)是一次成功的嘗試，學(xué)生對(duì)于該類教學(xué)方式產(chǎn)生了較大的興趣，并且不僅能夠更好地理解該例題，對(duì)于自身空間想象力的提高也具有幫助. 同時(shí)，3個(gè)問題的得分基本上相差不大，但還是呈降序排列，分布上“序號(hào)1”得到了最多的5分，說明了該類視頻教學(xué)形式能夠很好地引起學(xué)生的興趣，但想要學(xué)生完全理解習(xí)題、提高空間想象力，難度仍然很大，還需要教師更進(jìn)一步地努力和嘗試.

[?] 小結(jié)

誠然，3DS Max軟件在中學(xué)數(shù)學(xué)立體幾何教學(xué)中具備一些傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)軟件所不具備的優(yōu)勢(shì)，同時(shí)其功能強(qiáng)大、易于上手、便于操作的可行性和必要性也讓我們看到了其應(yīng)用于中學(xué)數(shù)學(xué)立體幾何教學(xué)的前景. 3DS Max軟件在表現(xiàn)空間幾何體、展現(xiàn)動(dòng)畫過程有著其余軟件不可替代的優(yōu)勢(shì)，其引入中學(xué)數(shù)學(xué)立體幾何教學(xué)可以幫助學(xué)生突破傳統(tǒng)教學(xué)認(rèn)知空間的局限性. 但在使用過程中應(yīng)當(dāng)注意其作用在于吸引學(xué)生的注意力和興趣、幫助學(xué)生理解空間幾何體、提高學(xué)生的空間想象力，不能讓學(xué)生過分依賴3DS Max軟件而忽視或者疏于自身的思考.