[摘? 要] 為了有效地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，在基于ADE模型進(jìn)行學(xué)習(xí)內(nèi)容分析、學(xué)生認(rèn)知分析的基礎(chǔ)上，依據(jù)“五環(huán)十步”研究型教學(xué)模式對(duì)“等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)”進(jìn)行了單元教學(xué)設(shè)計(jì).

[關(guān)鍵詞] 研究型單元教學(xué);ADE模型;數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

為了有效地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，下面先基于ADE模型進(jìn)行學(xué)習(xí)內(nèi)容分析、學(xué)生認(rèn)知分析與學(xué)習(xí)目標(biāo)設(shè)計(jì)，然后依據(jù)“五環(huán)十步”研究型教學(xué)模式[1]對(duì)“等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)”進(jìn)行單元教學(xué)設(shè)計(jì). 教學(xué)用時(shí)：2課時(shí).

[?] 學(xué)習(xí)內(nèi)容分析

1. 知識(shí)產(chǎn)生的背景

現(xiàn)實(shí)世界中，相等是相對(duì)的，不等是絕對(duì)的. 相等關(guān)系和不等關(guān)系是數(shù)學(xué)中最基本的數(shù)量關(guān)系. 不等關(guān)系用不等式來表示. 面對(duì)大量的不等式，就需要研究不等式的性質(zhì). 而要研究不等式的性質(zhì)，就需要尋找其推理的起點(diǎn)與依據(jù).

2. 知識(shí)生長的過程與階段

本單元知識(shí)的形成和發(fā)展主要有如下5個(gè)階段：一是用不等式（組）表示現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的不等關(guān)系;二是明確研究不等關(guān)系和不等式性質(zhì)的邏輯起點(diǎn);三是類比等式性質(zhì)，猜想不等式可能具有的性質(zhì);四是證明不等式性質(zhì)，使之建立在邏輯推理的基礎(chǔ)上，而不是在感覺和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上;五是運(yùn)用不等式性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單的相關(guān)問題.

3. 知識(shí)建構(gòu)的策略與方法

本單元知識(shí)建構(gòu)所用的主要策略與方法：一是抽象建模，即把現(xiàn)實(shí)中的不等關(guān)系用不等式（組）來表示;二是類比猜想，即通過類比等式的性質(zhì)，猜想不等式的性質(zhì);三是公理化，即從實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)出發(fā)，使不等式性質(zhì)的研究建立在演繹推理的基礎(chǔ)上;四是轉(zhuǎn)化，即把需要證明的不等式性質(zhì)轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)和已經(jīng)證明的不等式性質(zhì);五是以形助數(shù)，即尋找不等式性質(zhì)背后的幾何模型，揭示數(shù)與形內(nèi)在的一致性.

4. 知識(shí)之間的聯(lián)系與結(jié)構(gòu)

不等式基本性質(zhì)是等式基本性質(zhì)的拓展與推廣，它與等式基本性質(zhì)既有共同點(diǎn)，也有不同點(diǎn). 數(shù)的本質(zhì)與功能在于刻畫事物的多少與次序. 兩個(gè)實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)是數(shù)的屬性的體現(xiàn)與反映，是對(duì)數(shù)的“多少”與“次序”的定性刻畫. 這個(gè)基本事實(shí)是研究不等式性質(zhì)的邏輯基礎(chǔ)，是不等式“公理體系”中的“公理”. 與等式性質(zhì)類似，不等式性質(zhì)由兩部分組成：一是不等關(guān)系自身的性質(zhì)，如自反性、傳遞性;二是不等關(guān)系在運(yùn)算中保持不變的性質(zhì). 不等式性質(zhì)是一個(gè)相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的整體.

5. 知識(shí)的要點(diǎn)與本質(zhì)

不等式是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中不等現(xiàn)象的數(shù)學(xué)刻畫，是式與式之間的一種關(guān)系，是實(shí)數(shù)序關(guān)系的一般化，也是刻畫射線、半平面和空間區(qū)域的代數(shù)模型. 不等式性質(zhì)的實(shí)質(zhì)是不等式運(yùn)算過程中的不變性. “數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)是‘多少’，把這樣的關(guān)系一并抽象到數(shù)學(xué)的內(nèi)部，這就是自然數(shù)的‘大小’關(guān)系. 因此，自然數(shù)的大小關(guān)系源于數(shù)量的多少關(guān)系，大小關(guān)系是自然數(shù)的最為本質(zhì)的關(guān)系.”[2]同樣，實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)是對(duì)數(shù)量多少關(guān)系的抽象.

6. 知識(shí)的學(xué)科意義與教學(xué)價(jià)值

相等關(guān)系、不等關(guān)系是數(shù)學(xué)中最基本的數(shù)量關(guān)系，是構(gòu)建方程、 不等式的基礎(chǔ). 不等式性質(zhì)是進(jìn)一步學(xué)習(xí)證明不等式和解不等式的基礎(chǔ)，也是解決三角函數(shù)、數(shù)列、線性規(guī)劃、解析幾何等有關(guān)問題的基礎(chǔ). 從實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)出發(fā)，對(duì)不等式性質(zhì)加以證明，是學(xué)生學(xué)習(xí)抽象、建模、邏輯推理，尤其是有條理、有依據(jù)地思維問題的極好素材.

[?] 學(xué)生認(rèn)知分析

學(xué)生已經(jīng)學(xué)過等式性質(zhì)和一些不等式性質(zhì)，也知道和理解實(shí)數(shù)之間的大小關(guān)系. 他們具有理解并運(yùn)用不等式性質(zhì)的基本能力. 學(xué)生在學(xué)習(xí)中會(huì)遇到下列兩個(gè)難點(diǎn).

難點(diǎn)1：如何用不等式表示現(xiàn)實(shí)世界中的不等現(xiàn)象. 為此，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生用“量”來刻畫和表示客觀事物，并搞清楚背后蘊(yùn)含的數(shù)量大小關(guān)系，進(jìn)而建立不等式.

難點(diǎn)2：如何從實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)出發(fā)證明不等式性質(zhì). 由于學(xué)生往往覺得這些性質(zhì)是“理所當(dāng)然”成立的，不需要證明，因此應(yīng)指出：數(shù)學(xué)通常只承認(rèn)通過邏輯證明的結(jié)論，而初中得到的不等式性質(zhì)是基于經(jīng)驗(yàn)和直覺的，因而存在缺陷與不足. 應(yīng)明確思維的出發(fā)點(diǎn)，把實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)作為證明不等式其他性質(zhì)的邏輯起點(diǎn).

[?] 學(xué)習(xí)目標(biāo)及其解析

“等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)”單元的學(xué)習(xí)目標(biāo)如下：

（1）能認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)世界、日常生活存在大量的不等現(xiàn)象，能用不等式表示一些簡(jiǎn)單的不等現(xiàn)象，了解不等式（組）的現(xiàn)實(shí)背景;

（2）能全面、深入地理解不等式的有關(guān)性質(zhì)，能從實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)出發(fā)對(duì)不等式的性質(zhì)進(jìn)行證明，能利用不等式的性質(zhì)證明一些簡(jiǎn)單的不等式問題;

（3）理解不等式性質(zhì)的現(xiàn)實(shí)背景和幾何背景，能感受和欣賞不等式性質(zhì)證明過程所蘊(yùn)含的理性精神.

本單元的教學(xué)重點(diǎn)是兩個(gè)實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)與不等式的基本性質(zhì).

[?] 教學(xué)設(shè)計(jì)思路

本單元總的教學(xué)設(shè)計(jì)思路是基于等式與不等式的共性與差異探索不等式的性質(zhì)，重過程、重探究、重研究不等式的基本方法、重?cái)?shù)學(xué)思想方法. 具體做法是：強(qiáng)化用不等式表示現(xiàn)實(shí)問題的過程與方法;以探究不等式運(yùn)算中的不變性與規(guī)律性為引領(lǐng)，強(qiáng)化類比等式性質(zhì)猜想不等式性質(zhì)的過程;強(qiáng)化從實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)出發(fā)，證明其他不等式性質(zhì).

[?] 學(xué)習(xí)過程與學(xué)習(xí)指導(dǎo)設(shè)計(jì)

相等關(guān)系和不等關(guān)系是數(shù)學(xué)中最基本的數(shù)量關(guān)系. 人們用等式表示相等關(guān)系，用不等式表示不等關(guān)系. 等式的性質(zhì)大家比較熟悉，那么不等式又有哪些性質(zhì)？考慮到相等、不等都是事物變化過程中的一種狀態(tài)，那么能否用函數(shù)的觀點(diǎn)把它們統(tǒng)一起來？能否借助于函數(shù)研究不等式？我們能發(fā)現(xiàn)一些重要、非常有用的基本不等式嗎？本章我們將帶著這些問題開啟新的學(xué)習(xí)旅程.

設(shè)計(jì)說明：本節(jié)課是本章的起始課，故簡(jiǎn)要地揭示學(xué)習(xí)與研究的背景，說明學(xué)習(xí)的基本內(nèi)容與基本方法.

1. 呈現(xiàn)背景，提出問題

背景1：生活中存在大量的不等現(xiàn)象，如大與小、長與短、高與矮、遠(yuǎn)與近、快與慢、漲與跌、輕與重、不超過或不少于，等等. 這些不等現(xiàn)象需要用不等式表示.

設(shè)計(jì)說明：揭示生產(chǎn)生活中大量存在的不等現(xiàn)象，明確相等是暫時(shí)的、相對(duì)的，不等是永恒的、絕對(duì)的.

背景2：請(qǐng)用不等式或不等式組表示下列不等關(guān)系：

（1）某路段限速40 km/h;

（2）某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%，蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%;

（3）三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊;

（4）連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短;

（5）某種雜志原以每本2.5元的價(jià)格銷售，可以售出8萬本.據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，雜志的單價(jià)每提高0.1元，銷售量就可能減少2000本.如何定價(jià)才能使提價(jià)后的銷售總收入不低于20萬元？

設(shè)計(jì)說明：（1）在具體的情境中，讓學(xué)生充分感受不等式的現(xiàn)實(shí)背景;在教師舉例的基礎(chǔ)上再讓學(xué)生舉例，以提高學(xué)生的參與性與思維的深刻性. （2）闡明把現(xiàn)實(shí)的不等現(xiàn)象轉(zhuǎn)化為不等式的方法與步驟：一是用字母及其代數(shù)式表示特定的量;二是明確這些量之間的大小關(guān)系;三是用不等式表示這些大小關(guān)系. （3）區(qū)分已經(jīng)用字母表示現(xiàn)實(shí)世界中的量與沒有給出、需要學(xué)生自己用字母表示這兩類不同難度的問題，因?yàn)榍罢咭呀?jīng)適度數(shù)學(xué)化，而后者則需要學(xué)生自己完成數(shù)學(xué)化.

背景3：如圖1所示，把一個(gè)圓形鐵片剪去一個(gè)扇形，用余下的扇形制作成一個(gè)無蓋的圓錐形容器，怎樣剪裁才能使這個(gè)容器的體積最大？

設(shè)計(jì)說明：教師只需說明此問題可以利用不等式的性質(zhì)來解決，不做進(jìn)一步的探究. 提出此問題的目的重在讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到不等式還有許多我們沒有意識(shí)到的功能與價(jià)值，進(jìn)而激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣.

本單元的核心問題：不等式有哪些性質(zhì)？應(yīng)該怎樣證明這些性質(zhì)？

2. 明確研究起點(diǎn)，尋找證明依據(jù)

子問題1：大家知道，初中的不等式性質(zhì)是沒有經(jīng)過邏輯證明的，是基于感覺與經(jīng)驗(yàn)得到的，而數(shù)學(xué)是基于概念和邏輯證明的. 那么研究不等關(guān)系和不等式性質(zhì)的出發(fā)點(diǎn)是什么？判斷兩個(gè)數(shù)大小的依據(jù)又是什么？

設(shè)計(jì)說明：（1）此問題重在引發(fā)學(xué)生思考，引起學(xué)生注意. 由于難度太大，此問題不宜由學(xué)生探究和回答，而宜采用啟發(fā)式講解. （2）為了使兩個(gè)實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)形象化、具體化，教師可追問：憑什么說4比3大而比4.5?。吭诖嘶A(chǔ)上，得到a>b?a-b>0，a=b?a-b=0，a<b?a-b<0，并指出：0是正數(shù)與負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)，它為實(shí)數(shù)比較大小提供了“標(biāo)準(zhǔn)和參照物”. （3）讓學(xué)生能夠清晰地認(rèn)識(shí)到：兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小關(guān)系是研究不等關(guān)系、證明不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)與依據(jù). （4）給出基本事實(shí)的幾何模型，即數(shù)軸上右邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)比左邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)大，幫助學(xué)生養(yǎng)成從形與數(shù)兩方面思考問題的習(xí)慣.

例1 比較下列各組中兩個(gè)代數(shù)式的大小.

（1）（x-3）2與（x-2）（x-4）;

（2）當(dāng)x>1時(shí)，x3與x2-x+1.

設(shè)計(jì)說明：（1）明確比較兩個(gè)代數(shù)式大小的依據(jù)是實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí). （2）根據(jù)這個(gè)基本事實(shí)，其操作步驟應(yīng)是“作差—判斷正負(fù)”;而對(duì)作差后無法直接判斷正負(fù)的，應(yīng)先變形，即應(yīng)是“作差—變形—判斷正負(fù)”.

練習(xí)1：比較（x+3）（x+7）與（x+5）·（x+4）的大小.

練習(xí)2：已知a>b，證明a>>b.

設(shè)計(jì)說明：及時(shí)運(yùn)用和鞏固兩個(gè)實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí).

3. 提出猜想，證明猜想

子問題2：你能類比等式的基本性質(zhì)，猜想不等式有哪些基本性質(zhì)嗎？

設(shè)計(jì)說明：（1）先回顧、梳理，明確等式具有如下的基本性質(zhì)：

性質(zhì)1：如果a=b，那么b=a.

性質(zhì)2：如果a=b，b=c，那么a=c.

性質(zhì)3：如果a=b，那么a±c=b±c.

性質(zhì)4：如果a=b，那么ac=bc.

性質(zhì)5：如果a=b，c≠0，那么=.

（2）類比等式性質(zhì)，讓每個(gè)學(xué)生先獨(dú)立猜想，然后相互補(bǔ)充、相互矯正，猜想不等式有如下的基本性質(zhì)：

猜想1：如果a>b，那么b<a;如果b<a，那么a>b.

猜想2：如果a>b，b>c，那么a>c.

猜想3：如果a>b，那么a+c>b+c.

猜想4：如果a>b，c>0，那么ac>bc;如果a>b，c<0，那么ac<bc.

猜想5：如果a>b，c>d，那么a+c>b+d.

猜想6：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.

（3）如果學(xué)生不能提出猜想5、猜想6，那么教師可追問：如果兩邊加或乘不同的數(shù)，那么結(jié)果會(huì)怎樣？添加怎樣的條件，能保證兩邊加或乘不同的數(shù)后，不等號(hào)仍然成立？

子問題3：你能運(yùn)用兩個(gè)實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)證明以上猜想嗎？

設(shè)計(jì)說明：（1）不輕易放棄證明，因?yàn)檫@是學(xué)生感受數(shù)學(xué)公理化思想、數(shù)學(xué)思維嚴(yán)謹(jǐn)性和發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)的極好載體. （2）鑒于學(xué)生不習(xí)慣利用這個(gè)基本事實(shí)進(jìn)行證明，故采取“說理+示范+模仿”的方式進(jìn)行. 教師先示范證明猜想1，即由a>b得到a-b>0，故-（a-b）<0，b-a<0，因此b<a. 然后強(qiáng)調(diào)：兩個(gè)實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)是證明的依據(jù)，即根據(jù)這個(gè)基本事實(shí)，由a>b得到a-b>0;而要證明b<a，只要證明b-a<0即可. （3）師生一起證明猜想2，猜想3、猜想4作為練習(xí)，由學(xué)生獨(dú)立證明. （4）猜想5、猜想6既可像猜想1至猜想4一樣給出證明，也可借助于不等式的性質(zhì)1至性質(zhì)4給出證明.

子問題4：你能由不等式的性質(zhì)6猜想其新的性質(zhì)嗎？你能證明自己的猜想嗎？

設(shè)計(jì)說明：（1）特殊化、一般化是得到新的數(shù)學(xué)結(jié)論的常用方法. 在不等式的性質(zhì)6中，令a=c，b=d，即得不等式的性質(zhì)7：如果a>b>0，那么an>bn（n∈N，n≥1）. （2）引導(dǎo)學(xué)生從不等式的性質(zhì)7的逆命題是否成立的角度猜想、提出不等式的性質(zhì)8：如果a>b>0，那么>（n∈N，n≥2）. 視學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，決定是否運(yùn)用反證法證明不等式的性質(zhì)8. （3）指出等式的性質(zhì)1、性質(zhì)2反映了相等關(guān)系自身的特性，等式的性質(zhì)3、性質(zhì)4、性質(zhì)5是從運(yùn)算角度提出的，反映了相等關(guān)系在加、減、乘、除四則運(yùn)算中保持不變的性質(zhì);同樣，不等式的性質(zhì)1、性質(zhì)2反映了不等關(guān)系自身的特性，不等式的性質(zhì)3至性質(zhì)8反映了不等關(guān)系在運(yùn)算中的不變性.

探究：你能給出不等式的性質(zhì)3、性質(zhì)6的幾何模型嗎？

設(shè)計(jì)說明：數(shù)形結(jié)合的關(guān)鍵點(diǎn)和難點(diǎn)在于“數(shù)”與“形”如何相互轉(zhuǎn)換. 此時(shí)，應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生從代數(shù)式的幾何意義出發(fā)，構(gòu)建相應(yīng)的幾何模型. 對(duì)于不等式的性質(zhì)3，追問a>b，a+c，b+c，a+c>b+c的幾何意義，不難發(fā)現(xiàn)：把數(shù)軸上的兩個(gè)點(diǎn)A與B同時(shí)沿相同的方向移動(dòng)相同的距離，得到另外兩個(gè)點(diǎn)A與B，A與B和A與B的左右位置關(guān)系不會(huì)變（如圖2所示）. 對(duì)于不等式的性質(zhì)6，從追問a>b>0，c>d>0，ac>bd的幾何意義入手，不難發(fā)現(xiàn)：大矩形的面積大于小矩形的面積（如圖3所示）.

4. 運(yùn)用新知，鞏固內(nèi)化

例2 已知a>b>0，c<0，證明>.

設(shè)計(jì)說明：（1）明確證明的依據(jù)是實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)和不等式的性質(zhì);（2）搞清楚條件與結(jié)論的聯(lián)系與差異，進(jìn)而使條件逐步轉(zhuǎn)化為結(jié)論.

練習(xí)1：已知a>b，c<d，證明a-c>b-d.

練習(xí)2：已知a>b>0，0<c<d，證明>.

練習(xí)3：設(shè)a，b為正實(shí)數(shù)，且a<b，m>0，證明>.

設(shè)計(jì)說明：（1）練習(xí)1至練習(xí)3鼓勵(lì)學(xué)生用多種方法證明. （2）練習(xí)3完成證明后，給出此結(jié)論的現(xiàn)實(shí)原形，如“糖水加糖更甜”.

5. 回顧反思，提煉升華

學(xué)生回顧反思：（1）等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)有哪些相同點(diǎn)與不同點(diǎn)？（2）初中不等式性質(zhì)與高中不等式性質(zhì)在內(nèi)容與處理方式兩方面有什么不同？（3）證明不等式的依據(jù)是什么？常用的思路與方法又是什么？

教師小結(jié)提煉：（1）兩個(gè)實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)是證明不等式性質(zhì)的出發(fā)點(diǎn)和依據(jù)，不等式性質(zhì)不僅要建立在直觀感知的基礎(chǔ)上，更要建立在邏輯推理的基礎(chǔ)上. （2）分析問題、解決問題時(shí)，應(yīng)搞清楚思維的出發(fā)點(diǎn)與依據(jù)，學(xué)會(huì)有理有據(jù)、有條理地思考.

6. 學(xué)習(xí)目標(biāo)達(dá)成檢測(cè)

檢測(cè)1：已知a>0，b>0，且a≠b，試比較a3+b3與a2b+ab2的大小.

檢測(cè)2：已知x>0，y>0，A=，B=+，試比較A與B的大小.

檢測(cè)3：已知2<a<3，-3<b<-2，求2a+3b，2a-3b的取值范圍.

檢測(cè)4：已知a>b>c，證明>.

參考文獻(xiàn)：

[1]? 李昌官. 高中數(shù)學(xué)研究型教學(xué)[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2019.[2]? 史寧中. 數(shù)形結(jié)合與數(shù)學(xué)模型[M]. 北京：高等教育出版社，2018.