亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        ΦS,F-調和映射的穩(wěn)定性

        2022-04-19 14:12:46韓英波薛玉瑩韓曉園
        關鍵詞:向量場變分球面

        韓英波,薛玉瑩,王 艷,韓曉園

        (信陽師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 河南 信陽 464000)

        0 引言

        設(Mm,g)和(Nn,h)是緊致無邊的黎曼流形,u:M→N是光滑映射,u的能量定義為

        的解, 那么稱u是調和映射。

        NAKAUCHI[1]引入泛函

        的臨界點, 那么稱u為F-調和映射。

        韓英波等[5]引入泛函

        得到泛函ΦF(u)的第一、第二變分公式, 并證明了從球面Sm(m≥4)出發(fā)或到達球面Sn(n≥4)的F-穩(wěn)態(tài)映射是弱共形的。

        divS=-〈τ(u),du〉。

        為了研究S=0成立的條件, 韓英波[7]引入泛函

        其中dvg是M上的體積元。 在局部正交標架場{ei}下, 應力-能量張量的范數(shù)為

        文獻[9-11]定義了Φ-能量密度、Φ-能量、Φ-調和映射及穩(wěn)定Φ-調和映射, 得到Φ-能量泛函的第二變分公式, 找到一些Φ-超強不穩(wěn)定(Φ-SSU)流形, 并證明了每個緊致的(Φ-SSU)流形一定是Φ-強不穩(wěn)定(Φ-SU)流形。

        1 預備知識

        引入一個新的能量泛函:

        其中dvg是(M,g)上的體積元, ‖Su‖表示應力-能量張量的范數(shù), 在局部正交標架場{ei}下,有

        對Mm(m≥5) 上任一向量場X, 取M上的一個局部正交標架場 {ei}, 定義張量σu如下:

        設映射F:[0,∞)→[0,∞), 且有F(0)=0,F′(t)>0, 那么u的F-張量場τF(u) 為

        定義1 若u是Euler-Lagrange方程τF(u)=0的解, 則光滑映射u稱為泛函ΦS,F(u)的ΦS,F-調和映射。

        設u:(M,g)→(N,h) 是光滑映射, 對M上任意的向量場X、Y, 泛函ΦS,F的2階對稱張量SF稱為SF-應力能量張量, 且

        2 ΦS,F-調和映射的第一變分公式

        (1)

        其中利用等式

        設Xt是M上的緊支集變分向量場, 使得對M上的任意向量場Y有

        (2)

        由式(2)和Green’s公式, 可得

        證畢。

        命題1 設u:(M,g)→(N,h)是光滑映射,SF是F-應力能量張量, 對M上任意向量場X, 有

        (divSF)(X)=-h(τF(u),du(X))。

        證明在p∈M點附近取局部正交標架場{ei}使得?eiej|p=0。 設X是M上的向量場,在p點處有

        h(σu(ei),(?eidu)(X)]-h(τF(u),du(X))。

        由于(?Xdu)(ei)=(?eidu)(X),所以

        (divSF)(X)=-h(τF(u),du(X))。

        證畢。

        由命題1可知, 如果u:(M,g)→(N,h)是ΦS,F-調和映射, 那么

        divSF=0,

        (3)

        即u滿足ΦS,F-守恒律。

        對于2-階張量T1、T2∈Γ(T*M?T*M), 設{ei}是度量g下的一組正交基, 定義內(nèi)積如下:

        (4)

        對任意X∈Γ(TM),Y∈Γ(TM), 對于1-形式θX(Y)=g(X,Y), 2-階張量場?θX為:

        (?θX)(Y,Z)=g(?YX,Z)。

        (5)

        引理1[6]設X為張量場,T是(0,2)型張量場, 對于X方向上度量g的李導數(shù)LX, 有

        (6)

        事實上, 在正交標架場{ei}上, 有

        定理2(第一變分公式(II)) 設u:(M,g)→(N,h)是光滑映射, 對于李導數(shù)LX, 取M上的局部正交標架場{ei}, 則有

        證明根據(jù)定理1, 由ut=u°φt易得ut的變分向量場du(X), 因此

        (7)

        取局部正交標架場{ei}, 在點p有

        h(du(?eiX),σu(ei))]=

        (8)

        由式(7)和式(8),可得

        證畢。

        3 第二變分公式

        其中RN是N的曲率張量。

        (9)

        (10)

        式(10)右邊第一項為

        B1+B2,

        (11)

        式(11)右邊第二項為

        (12)

        對于M上任意向量場Y, 設X1、X2、X3、X4和X5是M上的緊支集變分向量場, 使得

        式(11)右邊第一項為

        (13)

        當s=0,t=0時, 式(13)為

        B1=div(X1)+div(X2)+div(X3)+

        根據(jù)Green’s公式, 上式積分為0, 結合式(10)~式(13), 即得結論。證畢。

        4 從球面Sm出發(fā)的ΦS,F-調和映射

        定理4 設Sm(m≥5)是m維球面,N是黎曼流形,u:Sm→N是ΦS,F-調和映射, 假設

        則u是不穩(wěn)定的。

        證明在p∈Sm附近取局部正交標架場{ei}, 使得?eiej|p=0, 再選定em+1使得{ei,em+1}是Rm+1上的正交標架場。 在Rm+1上取一個固定正交基EA(A=1,…,m+1), 設

        (14)

        其中〈·,·〉表示標準歐式內(nèi)積, 則du(VA)∈Γ(U-1TN)且

        (15)

        (16)

        (17)

        由條件

        以及式(15), 得

        (18)

        對于M的任意光滑向量場X, 根據(jù)Weitzenb?ck公式, 有

        du(RicSm(X))=(Δdu)(X)+

        (?2du)(X),

        (19)

        I1+I2+I3+I4+I5+I6+I7。

        (20)

        在p點的局部正交基{ei}下分別計算I1、I2、I3、I4、I5、I6及I7,其中對任意的i,j=1,…,m, 有?eiej|p=0。

        (21)

        (22)

        (23)

        h((?ekdu)(ei),du(ej))×

        h(du(ei),(?ekdu)(ej))],

        (24)

        h((?ekdu)(ej),du(ej)),

        (25)

        (26)

        d((?ekdu)(ei),du(ej))-

        d((?ekdu)(ej),du(ei))-

        h((?ekdu)(ej),du(ej))。

        (27)

        5 到達球面Sn的ΦS,F-調和映射

        定理5 設M是m-維緊致黎曼流形,Sn(n≥5)是n-維標準球,u:Mm→Sn是ΦS,F-調和映射, 若

        則u是不穩(wěn)定的。

        證明取p∈SN附近的局部正交標架場{ei,…,en}, 且滿足?eiej|p=0, 取en+1使得{en,en+1}是Rn+1上的正交標架場。 在Rn+1上取一個固定正交基EA(A=1,…,n+1), 設

        (28)

        [h(du(εα),du(εβ))+

        J1+J2+J3+J4+J5+J6。

        (29)

        在p點處,計算

        (30)

        通過式(28)和式(30),可得下列結果:

        (31)

        類似于J1的推導過程,可得

        (32)

        (33)

        (34)

        (35)

        h(du(εα),σu(εα))h(ei,ei)]=

        (36)

        結合式(31)~式(36), 可得

        (39)

        因此u是不穩(wěn)定的。 證畢。

        6 結語

        首先引入ΦS,F-調和映射的能量泛函, 然后結合SF應力能量張量, 計算得到ΦS,F-調和映射的第二變分公式, 并證明了在一定條件下,從球面Sm(m≥5)出發(fā)的或到達球面Sn(n≥5)的ΦS,F-調和映射是不穩(wěn)定的映射。

        猜你喜歡
        向量場變分球面
        具有射影向量場的近Ricci-Bourguignon孤立子
        關于共形向量場的Ricci平均值及應用
        逆擬變分不等式問題的相關研究
        求解變分不等式的一種雙投影算法
        球面檢測量具的開發(fā)
        關于一個約束變分問題的注記
        Heisenberg群上移動球面法的應用——一類半線性方程的Liouville型定理
        H?rmander 向量場上散度型拋物方程弱解的Orlicz估計
        一個擾動變分不等式的可解性
        球面穩(wěn)定同倫群中的ξn-相關元素的非平凡性
        最新69国产成人精品视频免费| 午夜少妇高潮在线观看| 国产精品538一区二区在线| 亚洲老妇色熟女老太| 欧美日韩性高爱潮视频| 一区二区三区夜夜久久| 女优av一区二区三区| 日本在线看片免费人成视频1000| 欧美一欧美一区二三区性| 亚洲视频不卡免费在线| 久久精品女人av一区二区| 人妻少妇精品中文字幕av| 国产精品无码精品久久久| 蜜桃av区一区二区三| 91在线视频在线视频| 四虎影视永久在线观看| 久久久久久亚洲AV成人无码国产| 久久精品国产白丝爆白浆| 亚洲国产精品无码成人片久久| 边做边流奶水的人妻| 欧美色资源| 国产丝袜一区丝袜高跟美腿| 国产精品毛片va一区二区三区| 精品无码专区久久久水蜜桃| 免费无码AⅤ片在线观看| 一区二区三区中文字幕在线播放| 无码字幕av一区二区三区| 国产在线观看入口| 色哟哟精品中文字幕乱码| 国产亚洲av无码av男人的天堂| 男男车车的车车网站w98免费 | 国产精品va在线观看一| 日韩av免费一区二区| 国模无码一区二区三区不卡| 亚洲自偷自拍另类图片小说| 成人短篇在线视频夫妻刺激自拍 | 亚洲悠悠色综合中文字幕| 色偷偷av男人的天堂| 国产又黄又爽又无遮挡的视频| 99视频一区二区日本| 亚洲欧美日韩中文字幕一区二区三区 |