郭愛軍，暢建霞※，王義民，黃 強，吳 彬，張 春

（1. 西安理工大學(xué)西北旱區(qū)生態(tài)水利國家重點實驗室，西安 710048；2. 華能西藏雅魯藏布江水電開發(fā)投資有限公司，拉薩 850000）

0 引 言

水庫是實現(xiàn)水資源時空均衡分配、解決水資源供需矛盾的關(guān)鍵工程措施。水庫興利調(diào)度作為水庫控制運用的核心非工程措施，旨在根據(jù)水庫開發(fā)任務(wù)和綜合利用要求，根據(jù)來、用水過程制定水庫蓄泄規(guī)則，最大限度滿足各個用水部門用水需求，實現(xiàn)水資源供給過程與需求過程的高度匹配。根據(jù)對水庫入庫徑流的處理方式，水庫調(diào)度可分為確定性調(diào)度與隨機調(diào)度，確定性調(diào)度認(rèn)為入庫徑流是已知和確定的，但往往受限于歷史有限的實測資料，難以全面反映徑流變化過程；隨機調(diào)度將徑流作為具有一定統(tǒng)計特性的隨機變量或隨機過程處理，能夠更好地體現(xiàn)徑流序列的不確定性。

作為求解水庫中長期隨機優(yōu)化調(diào)度模型的算法之一，隨機動態(tài)規(guī)劃算法自提出之后在流域水資源管理和水庫調(diào)度中被廣泛采用。黃強分別采用確定性、獨立隨機性、簡單馬氏性過程與混合性過程描述了徑流過程，并改進了有徑流預(yù)報下的隨機動態(tài)規(guī)劃求解策略，應(yīng)用于以發(fā)電量最大為目標(biāo)的水庫優(yōu)化調(diào)度模型中；周惠成等以二灘水電站為例，提出了有、無預(yù)報與隨機過程相結(jié)合的徑流描述方法，建立了發(fā)電優(yōu)化調(diào)度模型，制定了電站優(yōu)化調(diào)度圖；盧迪等采用徑流預(yù)報概率修正先驗概率來描述徑流的不確定性，建立了貝葉斯隨機動態(tài)規(guī)劃模型，分析了有跨流域引水的碧流河水庫調(diào)度策略；崔遠(yuǎn)來等考慮降雨過程的隨機性，建立了解稻田高效節(jié)水優(yōu)化灌溉制度的隨機動態(tài)規(guī)劃模型；Nop等基于降雨過程的馬爾可夫性，將隨機動態(tài)規(guī)劃算法應(yīng)用于雨水收集系統(tǒng)中的水資源管理問題；Cassagnole等分析了徑流預(yù)報質(zhì)量的不同對水庫電站效益的影響；Zhou等采用離散時間馬爾可夫鏈描述水庫入庫徑流過程，采用隨機動態(tài)規(guī)劃算法以及機會約束模型推求了溪洛渡水電站的中期發(fā)電運用計劃。

如上所述，隨機動態(tài)規(guī)劃算法的核心之一是入庫徑流或降雨等水文過程的隨機性的描述。農(nóng)業(yè)灌溉用水是中國的主要用水部門，其需水量和需水過程受氣候條件的影響顯著，具有很強的隨機性；并且，農(nóng)業(yè)灌溉需水與入庫天然徑流同受降雨、氣溫等氣象因素影響，在流域氣象條件的相似性背景下，農(nóng)業(yè)灌溉需水與入庫天然徑流呈一定的負(fù)相關(guān)性，且流域范圍越小，負(fù)相關(guān)性越為顯著。如何在水庫隨機優(yōu)化調(diào)度中同時考慮需水與徑流二維過程的隨機性與關(guān)聯(lián)性，以往研究對此考慮不足。有限的研究也主要是從徑流的隨機性角度出發(fā)，忽略了農(nóng)業(yè)灌溉需水的隨機性及其與徑流之間的關(guān)聯(lián)性，使得隨機規(guī)劃理論模型與現(xiàn)實水文過程之間的匹配性不足。本研究結(jié)合馬爾可夫過程與Copula函數(shù)描述需水與徑流二維過程的隨機性與關(guān)聯(lián)性，基于隨機動態(tài)規(guī)劃理論，提出考慮水庫來、需水過程關(guān)聯(lián)性與隨機性的水庫優(yōu)化調(diào)度算法，并進行相關(guān)案例分析。該算法對于農(nóng)業(yè)水土資源隨機優(yōu)化配置等領(lǐng)域的優(yōu)化決策求解具有支撐作用。

1 水庫來、用水多維過程關(guān)聯(lián)性與隨機性

1.1 一維過程隨機性與關(guān)聯(lián)性

隨機動態(tài)規(guī)劃是確定性動態(tài)規(guī)劃與隨機過程二者的結(jié)合。相較于確定性動態(tài)規(guī)劃，隨機動態(tài)規(guī)劃的復(fù)雜性主要體現(xiàn)在隨機過程的處理方面，即固定階段（或時段）隨機變量的隨機性描述與階段（或時段）之間隨機變量的關(guān)聯(lián)性；求解步驟與思路方面，隨機動態(tài)規(guī)劃與確定性動態(tài)規(guī)劃一致，隨機動態(tài)規(guī)劃具體求解步驟可參考文獻[8, 22]。

徑流或需水一維隨機過程的描述可從固定時段下變量的隨機性與相鄰時段間變量的關(guān)聯(lián)性兩個方面展開。此處，固定時段指以水庫調(diào)度時間尺度為標(biāo)準(zhǔn)，如開展以月為時間尺度的中長期水庫調(diào)度時，固定時段則為一月、二月、三月、……、十二月，重點關(guān)注各個固定時段下變量的隨機性，如長系列一月徑流的隨機性等；相鄰時段則以固定時段相鄰為具體情形，如一月與二月相鄰時段、二月與三月相鄰時段等，本文重點關(guān)注相鄰時段間隨機變量關(guān)聯(lián)性，采用狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣來表征兩兩隨機變量不同狀態(tài)間的關(guān)聯(lián)特性。

1）固定時段下隨機性描述

徑流與需水的隨機性采用傳統(tǒng)單變量概率分布函數(shù)描述。本次研究選擇水文領(lǐng)域應(yīng)用較廣的伽馬分布（Gam）、對數(shù)正態(tài)分布（Logn）、廣義極值分布（Gev）、威布爾分布（Weibull）、正態(tài)分布（Norm）、指數(shù)分布（Exp）作為擬合固定時段下徑流或需水隨機變量的備選概率分布類型，采用極大似然法（Maximum Likelihood Estimate，MLE）估計不同概率分布函數(shù)參數(shù)，選用王義民等提出的基于多評價準(zhǔn)則的綜合指數(shù)法選擇適宜概率分布函數(shù)?；诙嘣u價準(zhǔn)則的綜合指數(shù)包括修正的赤池信息準(zhǔn)則（Corrected Akaike’s Information Criterion）、離差絕對值和最小準(zhǔn)則、均方根誤差和相對離差平方和最小準(zhǔn)則，利用不同準(zhǔn)則所側(cè)重的評價方向，綜合優(yōu)選適宜概率分布函數(shù)。

2）相鄰時段間過程關(guān)聯(lián)性描述

隨機變量時段之間的關(guān)聯(lián)性影響隨機過程描述的方式。若相鄰時段之間隨機變量相互獨立，則可判斷該隨機過程為獨立過程，隨機變量不同狀態(tài)間的轉(zhuǎn)移概率為0；若相鄰時段之間的隨機變量相關(guān)性較強，難以忽視，即對該隨機過程的演變而言，在已知目前狀態(tài)的條件下與以往的狀態(tài)無關(guān)，該特性稱為馬爾可夫性，若隨機過程轉(zhuǎn)移至下一階段某一狀態(tài)時只與系統(tǒng)當(dāng)前狀態(tài)相關(guān)，稱之為一階馬爾可夫過程或簡單馬爾可夫過程，若與其前面連續(xù)的個狀態(tài)相關(guān)，與個狀態(tài)以前的狀態(tài)無關(guān)，稱之為階馬爾可夫過程或復(fù)雜馬爾科夫過程。徑流與需水過程是典型的隨機過程，若相鄰時段之間或當(dāng)前時段與前面連續(xù)的個時段的變量具有顯著相關(guān)性，則可認(rèn)為徑流與需水過程是馬爾可夫過程；由于多時段相關(guān)的徑流與需水過程描述較為復(fù)雜，實際應(yīng)用中也較少，因此本次研究重點關(guān)注相鄰時段間隨機變量的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程，即未來時段徑流與需水狀態(tài)的演變只與當(dāng)前時段狀態(tài)有關(guān)。具體做法為，根據(jù)時段之間變量的相關(guān)性是否顯著，采用簡單馬爾科夫過程（時段間變量相關(guān)性顯著）或獨立過程（時段之間變量相關(guān)性不顯著）描述徑流、需水過程。徑流、需水過程描述的關(guān)鍵是推求相鄰時段隨機變量不同狀態(tài)的條件轉(zhuǎn)移概率P。以相鄰時段徑流不同狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率{Q()|Q()}計算為例，其公式如下：

式中為固定時段隨機變量離散總數(shù)；、為時段隨機變量第個狀態(tài)與時段+1隨機變量第個狀態(tài)；H(·)為時段與時段+1變量聯(lián)合分布函數(shù)；F(·)為時段變量概率分布函數(shù)；q、q為時段徑流的最小值與最大值，m/s；、分別為時段徑流在狀態(tài)下的下限與上限；、分別為時段+1徑流在狀態(tài)下的下限與上限。

變量狀態(tài)數(shù)量為時，全部狀態(tài)轉(zhuǎn)移及相應(yīng)的轉(zhuǎn)移概率便有種，則轉(zhuǎn)移概率矩陣P為

此處，轉(zhuǎn)移概率矩陣滿足以下條件：

式中表示隨機變量的第個離散狀態(tài)。

本次研究選用在水文水資源領(lǐng)域、經(jīng)濟領(lǐng)域應(yīng)用廣泛的Copula函數(shù)表征時段與時段+1變量聯(lián)合分布函數(shù)H(·)。Copula函數(shù)是一種描述多變量相關(guān)性的連接函數(shù)，其優(yōu)勢在于可靈活選用邊緣分布函數(shù)且聯(lián)合分布函數(shù)構(gòu)造簡單、靈活，易于求解。需要注意的是，Copula函數(shù)僅用于擬合變量間相關(guān)性顯著的時段，若變量間相關(guān)性不顯著，則認(rèn)為變量彼此獨立。

Copula函數(shù)(·)表達形式如下：

式中(·)為邊緣概率分布函數(shù)，()、()分別為變量、的邊緣概率分布函數(shù)。Copula函數(shù)發(fā)展至今，已有多種類型（如橢圓型、Archimedean型、二次型等）。其中，Archimedean型Copula函數(shù)是水文水資源領(lǐng)域應(yīng)用較為廣泛的類型之一。本次研究選擇Archimedean型Copula函數(shù)中的Clayton Copula、Gumbel-Hougaard Copula、Frank Copula三種函數(shù)為備選類型，采用極大似然函數(shù)估計Copula函數(shù)的參數(shù)，選用Cramer-von Mises統(tǒng)計量進行擬合優(yōu)度檢驗，進而選擇最優(yōu)的Copula函數(shù)類型。

Copula函數(shù)的參數(shù)可用于量化變量之間關(guān)聯(lián)程度，以Clayton Copula函數(shù)為例，參數(shù)→0時，表明變量與趨于獨立，參數(shù)→+∞時，表明變量與趨于完全相關(guān)，參數(shù)在（0，+∞）內(nèi)變化，與肯德爾秩相關(guān)系數(shù)的關(guān)系為=/(+2)。

1.2 徑流與需水多維過程關(guān)聯(lián)性與隨機性

與一維隨機過程不同的，多維隨機過程考慮特定時段下多維變量之間的獨立關(guān)系或相關(guān)關(guān)系；相鄰時段間，考慮多維變量時段第個狀態(tài)內(nèi)部關(guān)聯(lián)性的基礎(chǔ)上向時段+1第個狀態(tài)轉(zhuǎn)移的過程，與1.1節(jié)單一變量的狀態(tài)轉(zhuǎn)移形成區(qū)別。

1）固定時段下徑流與需水多維變量隨機性描述

固定時段下多維變量隨機性的描述選用多維聯(lián)合分布函數(shù)。由于Copula函數(shù)不需提前假定變量之間的獨立或相關(guān)關(guān)系，通過該函數(shù)的參數(shù)值大小可反映多維變量之間的相依關(guān)系或獨立關(guān)系，故本研究選用Copula函數(shù)構(gòu)造多維變量的聯(lián)合分布函數(shù)，以此描述徑流（，m3/s）與需水（，m3/s）多維變量的隨機性。

式中(,)為徑流與灌溉需水的聯(lián)合概率，()、()為徑流與需水的邊緣分布函數(shù)，通過基于多評價準(zhǔn)則的綜合指數(shù)法從備選概率分布中優(yōu)選所得；q、w分別為長系列情況下月的徑流與需水；(x< q≤x)表示q處于[x,x]區(qū)間的概率，此處[x,x]表示的是公式（2）對徑流離散的個狀態(tài)中的某個狀態(tài)的上下限；(x< w≤x)表示w處于[x,x]區(qū)間的概率，[x,x]表示的是對需水離散的個狀態(tài)中的某個狀態(tài)的上下限；θ、θ分別為邊際分布函數(shù)()、()的參數(shù)集。

若固定時段下徑流與需水不相關(guān)，則

2）相鄰時段間徑流與需水過程關(guān)聯(lián)性描述

以此次研究涉及的徑流與需水多維隨機過程為例，時段間水資源供需狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率P{[(Q(),W()] |[(Q(),W()]}計算方法如下：

記時段徑流處于狀態(tài)（即公式（2）中對徑流離散的個狀態(tài)中的狀態(tài)，該狀態(tài)下徑流的上下限區(qū)間為[x,x]，公式可表示為Q() =x<q≤x）的概率為(Q())，其公式為

故，在時段徑流處于狀態(tài)條件下，時段+1徑流處于狀態(tài)（即公式（2）中對徑流離散的個狀態(tài)中的狀態(tài)，該狀態(tài)下徑流的上下限區(qū)間為[z,z]，公式可表示為Q() =z<q≤z）的概率為(Q()) =(Q()|Q())，其公式為

同理，時段需水處于狀態(tài)（即W() =xw≤x）的概率(W())為

對于上述線性思維模式影響下所造成的諸多歷史事實的長期被“遮蔽”和歪曲，學(xué)界也不乏反思，如王瑞來《宋代士大夫主流精神論—以范仲淹為中心的考察》一文：

故，時段需水處于狀態(tài)條件下（即(W())），時段+1需水處于狀態(tài)（即W() =zw≤z）的概率為(W()) =(W()|W()) ，其公式為

考慮到變量與的關(guān)聯(lián)性，故時段+1多維變量處于狀態(tài)[Q(),W()]的聯(lián)合概率[Q(),W()]為

式中[Q(),W()]表示的是在時段多維變量處于狀態(tài)[(Q(),W()]條件下，時段+1多維變量處于狀態(tài)[Q(),W()]的條件概率P{[(Q(),W()] |[(Q(),W()]}），即

其中，式（9）與式（11）基于Copula函數(shù)的條件概率公式（式（1））計算；式（12）采用基于Copula函數(shù)的聯(lián)合概率計算。

若多維過程（,）彼此獨立，則

多維過程的一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為P一般式可寫為

2 考慮多維過程關(guān)聯(lián)性與隨機性的隨機動態(tài)規(guī)劃算法

式中f(V, Q())表示-1時段入庫徑流為Q()、水庫庫容為V情形下從時段到調(diào)度期末的最優(yōu)余留期效益；{Q()|Q()}表示時段-1時入庫徑流為Q()條件下時段入庫徑流為Q()的概率；O(V,Q())是當(dāng)前時段入庫徑流為Q()時的優(yōu)化調(diào)度目標(biāo)值；f(V, Q())表示時段入庫徑流為Q()、水庫庫容為V情形下從+1時段到調(diào)度期末的最優(yōu)余留期效益。

類比可得多維隨機過程（以徑流與需水二維隨機過程為例）下，隨機動態(tài)規(guī)劃遞推公式如下：

式中f(V,(Q(),W())) 表示-1時段入庫徑流為Q()、需水為W()、水庫庫容為V情形下從時段到調(diào)度期末的最優(yōu)余留期效益；{[Q(), W()]|[Q(),W()]}表示時段-1時入庫徑流與需水為[Q(),W()]條件下時段入庫徑流與需水為[Q(), W()]狀態(tài)的概率。

一維隨機過程與多維隨機過程時段間的狀態(tài)轉(zhuǎn)移示意圖如圖1所示。

圖1 一維與多維隨機過程下的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程 Fig.1 State transition process of one-dimensional and multi-dimensional stochastic process

3 實例研究

本文以涇河流域東莊水庫為例，水庫總庫容32.76億m，調(diào)節(jié)庫容5.78億m，為不完全年調(diào)節(jié)水庫，死水位與正常蓄水位分別為756、789 m。水庫供水對象主要為城鎮(zhèn)生活用水、工業(yè)用水與灌區(qū)灌溉用水。其中，城鎮(zhèn)生活與工業(yè)用水多年平均用水量2.13億m，年內(nèi)變化較為均勻，且壩前取水占65%，供水時優(yōu)先滿足二者用水要求；徑流序列采用1960—2013年還原后的天然入庫徑流序列；灌區(qū)灌溉用水量計算方面，首先采用國際糧農(nóng)組織（FAO）推薦的Penman-Monteith方法和作物系數(shù)法計算作物需水量和凈灌溉需水量，然后不同作物種植面積乘以對應(yīng)作物凈灌溉需水量并除以灌區(qū)灌溉水有效利用系數(shù)（以0.65計算）。研究以農(nóng)業(yè)灌溉用水缺水量最小為目標(biāo)，約束條件包括水量平衡約束、水庫水位約束、流量約束及變量非負(fù)約束。

3.1 數(shù)學(xué)模型

1）目標(biāo)函數(shù)

2）約束條件

① 水量平衡約束

式中V表示時段末水庫庫容，m；q表示時段水庫來水流量，m/s；q表示時段水庫出庫流量，m/s；q表示時段水庫上游取水流量，m/s；q表示時段水庫發(fā)電流量，m/s；q表示時段水庫棄水流量，m/s；q表示時段水庫下游河道生態(tài)流量，m/s；q表示時段水庫的灌區(qū)供水流量，m/s；q表示時段水庫其他供水流量（如工業(yè)及生活），m/s。

② 水位約束

式中Z為時段末水庫允許消落的最低水位，m；Z為時段末水庫允許達到的最高水位，m。該最高水位在汛期為防洪限制水位，在非汛期則為正常蓄水位。、Z分別為水庫整個調(diào)度期初、末水位，Z為水庫的起調(diào)水位（通常為死水位），m。

③ 流量約束

式中q、q為時段水庫允許的出庫流量最大值及最小值，m/s；q、q為時段水庫發(fā)電流量最大值及最小值，m/s；q為時段水庫下游河道所需最小生態(tài)流量，m/s。

④ 變量非負(fù)約束。調(diào)度模型中所有的變量均大于等于0。

3.2 徑流與需水過程隨機性與關(guān)聯(lián)性結(jié)果分析

采用Gam、Logn、Gev、Weibull、Norm、Exp擬合1960—2013年各月的徑流與需水?dāng)?shù)據(jù)，應(yīng)用基于多評價準(zhǔn)則的綜合指數(shù)法選擇適宜的概率分布函數(shù)，該方法的統(tǒng)計指標(biāo)值越小表明該概率分布函數(shù)擬合隨機變量的效果越優(yōu)?；诙嘣u價準(zhǔn)則的綜合指數(shù)法的統(tǒng)計指標(biāo)結(jié)果見表1。由表可知，表征徑流隨機性的適宜概率分布函數(shù)不同月份之間差異較大，整體來看，Logn分布與Weibull分布函數(shù)選擇較多；需水方面，大多數(shù)月份下，Gev分布函數(shù)是描述需水隨機性的適宜函數(shù)。

表1 基于多評價準(zhǔn)則的綜合指數(shù)法統(tǒng)計指標(biāo) Table 1 Statistical index obtained by comprehensive index method based on multiple evaluation rules

采用肯德爾秩相關(guān)系數(shù)描述徑流、需水過程時段之間的關(guān)聯(lián)性，結(jié)果見圖2。由圖可知，徑流方面，除卻6 —7月、7—8月外，其余月份之間徑流過程呈顯著性相關(guān)；灌溉需水方面，1—2月、5—6月、7—8月以及12—1月四個相鄰時段灌溉需水相關(guān)性顯著，其他時段間，灌溉需水相關(guān)性不顯著。故，構(gòu)建多維隨機動態(tài)規(guī)劃模型時，根據(jù)相鄰時段間徑流與需水的相關(guān)程度統(tǒng)計特性，需選擇性地采用適宜Copula函數(shù)表征一維變量時段之間關(guān)聯(lián)性。

圖2 徑流與需水隨機過程時段之間關(guān)聯(lián)性分析。 Fig.2 Relevancy analysis of runoff and water demand process at adjacent time

采用Cramer-von Mises方法選擇適宜的Copula函數(shù)，以此表征徑流、需水時段之間關(guān)聯(lián)性，結(jié)果表明：徑流方面，依照圖2中所述時序，1—2月、2—3月、3—4月、4—5月、5—6月、8—9月、9—10月、10—11月、11 —12月、12—1月時段間徑流的適宜Copula函數(shù)依次為Frank、Frank、Gumbel-Hougaard、Gumbel-Hougaard、Frank、Clayton、 Frank、Gumbel-Hougaard、Gumbel-Hougaard與Frank；灌溉需水方面，1—2月、5 —6月、7—8月、12—1月時段間灌溉需水的適宜Copula函數(shù)依次為Gumbel-Hougaard、Gumbel-Hougaard、Clayton、Frank。采用如上Copula函數(shù)推求時段之間變量狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，節(jié)選5—6月為例，結(jié)果如圖3。以圖3a為例，5月徑流為7 m/s左右，轉(zhuǎn)移至6月時，徑流為6 m/s的概率最大，78 m/s時的可能性最??；同樣，5月徑流為200 m/s左右，轉(zhuǎn)移至6月時，徑流為78 m/s的概率最大，小于78 m/s情形下的概率逐漸減小。通過查閱該圖，實際生產(chǎn)管理人員可獲取不同月份之間徑流狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，推算在當(dāng)前月份的徑流狀態(tài)下，下月流域發(fā)生不同狀態(tài)徑流的可能性。

圖3 5—6月徑流與需水狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣 Fig.3 State transitional probability matrix of runoff and water demand from May to June

采用肯德爾秩相關(guān)系數(shù)診斷二維隨機變量徑流與需水各個時段相關(guān)性，結(jié)果表明4月、5月、6月、7月、9月、10月徑流與需水呈顯著性相關(guān)，其余月份二者間相關(guān)關(guān)系不顯著。在此基礎(chǔ)上，選擇適宜Copula函數(shù)描述相關(guān)性顯著月份的徑流與需水聯(lián)合概率分布，相關(guān)性不顯著月份徑流與需水的聯(lián)合概率采用邊緣概率分布函數(shù)相乘方式獲得。結(jié)果表明，由于徑流與需水之間的負(fù)相關(guān)性，F(xiàn)rank Copula函數(shù)是擬合各月徑流與需水相依關(guān)系的最優(yōu)Copula函數(shù)。以5月份為例，采用Frank Copula函數(shù)表征徑流與需水二維變量的聯(lián)合分布，結(jié)果見圖4。以圖4中的累積概率分布函數(shù)（CDF，Cumulative Distribution Function）曲線為0.1為例，由于徑流與需水之間的負(fù)相關(guān)關(guān)系，需水大、徑流小的組合與需水小、徑流大的組合位于同一累積概率分布曲線上。

圖4 5月徑流與需水二維聯(lián)合概率分布 Fig.4 Two dimensional joint probability distribution of runoff and water demand in May

二維隨機變量時段之間關(guān)聯(lián)性通過二維組合過程的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣描述。圖5展示了采用公式（14）、公式（15）計算得到的在考慮關(guān)聯(lián)性（相關(guān)）與不考慮關(guān)聯(lián)性（獨立）兩種情況下，5月徑流與需水二維組合狀態(tài)[,] = [72.47, 24.70]、[,] = [17.23, 42.04]向6月份100種[,]組合狀態(tài)轉(zhuǎn)移的概率。此處，100即是公式（2）中對徑流與需水進行離散后的狀態(tài)總數(shù)，圖5中的1至100的狀態(tài)數(shù)是分別將徑流與需水離散為10種狀態(tài)，然后兩者之間互相組合，共形成100種方案。其中，的10種變化方案為5.55、12.20、14.55、20.29、26.49、34.78、48.19、78.81、161.22、374.65 m/s，的10種變化方案為0.04、1.76、2.77、5.36、7.96、10.95、14.83、21.00、30.20、78.22 m/s，以為基準(zhǔn)，由大至小輪次組合，形成圖5中的6月份[,]100種方案。

圖5 考慮與不考慮徑流與需水相關(guān)性時狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率 Fig.5 State transition probability between runoff and water demand with and without considering relevancy

由圖可知，考慮徑流與需水關(guān)聯(lián)性與否兩種情形下，二維隨機過程狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率不同，且不同轉(zhuǎn)移狀態(tài)下兩種情形計算所得的轉(zhuǎn)移概率大小不同，即考慮相關(guān)時的轉(zhuǎn)移概率并不是全大于或全小于獨立時的轉(zhuǎn)移概率；此外，圖5中兩種情形下轉(zhuǎn)移概率最大差別僅為0.04，差別相對較小，發(fā)生在5月的二維隨機過程[,] = [17.23, 42.04]向6月的二維隨機過程[12.20, 1.76]轉(zhuǎn)移過程中。結(jié)合隨機動態(tài)規(guī)劃遞推公式（式（17））可知，考慮變量關(guān)聯(lián)性與否將影響最終最優(yōu)水位決策的制定，具體影響程度取決于不同情形下狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率的差異程度。

3.3 水庫優(yōu)化調(diào)度結(jié)果分析

為了對比分析考慮與不考慮徑流、需水多維變量關(guān)聯(lián)性對水庫優(yōu)化調(diào)度結(jié)果的影響，本次研究分別采用所提出的考慮徑流與需水關(guān)聯(lián)性、不考慮徑流與需水關(guān)聯(lián)性下的兩種算法求解優(yōu)化調(diào)度模型，推求了水庫優(yōu)化調(diào)度規(guī)則。兩種情形下水庫調(diào)度規(guī)則差別較小，圖6展示了考慮與不考慮徑流與需水關(guān)聯(lián)性時6月份的水庫水位最優(yōu)策略。[,]=[10.33, 13.93]情況下，考慮徑流與需水關(guān)聯(lián)性與不考慮二者關(guān)聯(lián)性水庫水位決策有一定的差異，不考慮二者關(guān)聯(lián)性（圖中帶正方形線條）時水庫蓄存水位比考慮二者關(guān)聯(lián)性（圖中帶六角形線條）時水庫蓄存水位較低；其余[,]情況下，考慮與不考慮二者關(guān)聯(lián)性時，水庫水位最優(yōu)決策過程無變化，故在圖6中重合。

圖6 考慮徑流與需水關(guān)聯(lián)性的六月份水庫最優(yōu)決策 Fig.6 Optimal reservoir operations in June considering the relevancy between runoff and water demand

將長系列的來水與需水?dāng)?shù)據(jù)輸入水庫優(yōu)化調(diào)度規(guī)則，發(fā)現(xiàn)當(dāng)考慮變量關(guān)聯(lián)性時，長系列下缺水總量為10.37 億m，不考慮時，缺水總量為10.49億m，考慮多維變量關(guān)聯(lián)性較不考慮時水庫調(diào)度的優(yōu)化目標(biāo)（即缺水總量）更優(yōu)，缺水總量相對差距0.12億m，差別較小，差距量占缺水總量（10.37億m3）的1.16%。該結(jié)論與黃強的研究結(jié)論一致（其發(fā)現(xiàn)采用獨立隨機過程或考慮相鄰時段徑流相關(guān)關(guān)系的簡單馬氏過程對水庫優(yōu)化調(diào)度成果的影響不大），其原因主要為：考慮多維變量關(guān)聯(lián)性影響時，其核心是對隨機動態(tài)規(guī)劃算法的遞推公式（公式17）中的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率產(chǎn)生影響，考慮二者關(guān)聯(lián)性影響時，狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率{[Q(), W()]| [Q(),W()]}采用公式（12）計算，不考慮二者關(guān)聯(lián)性影響（即徑流與需水呈獨立關(guān)系）時，狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率采用公式（14）計算，將狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率{·}與時段優(yōu)化調(diào)度結(jié)果O(·)與余留期效益f(·)之和相乘，進而遞推即可得到水庫調(diào)度優(yōu)化目標(biāo)結(jié)果。通過圖5所展示的轉(zhuǎn)移概率結(jié)果對比發(fā)現(xiàn)，考慮二者關(guān)聯(lián)性影響與不考慮二者關(guān)聯(lián)性影響時，狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率{·}的差別較小，因此導(dǎo)致水庫調(diào)度優(yōu)化調(diào)度規(guī)則差別較小，因此將長系列徑流與需水實測資料輸入該優(yōu)化調(diào)度規(guī)則時所得到的優(yōu)化調(diào)度結(jié)果差異較小。此外，從理論上講，徑流與需水同受氣象因素影響，且由于流域內(nèi)氣象條件的相似性，徑流與需水二者之間的相關(guān)性切實存在，難以忽視，故此，建議采用考慮多維變量關(guān)聯(lián)性的多維隨機動態(tài)規(guī)劃算法求解含農(nóng)業(yè)灌溉用水的水庫優(yōu)化調(diào)度問題。此外，若水庫以工業(yè)、生活用水等為目標(biāo)時，來水與工業(yè)、生活用水之間的關(guān)聯(lián)性較差，可采用本文中的公式（15）計算來水與工業(yè)、生活用水之間的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，進而應(yīng)用本文多維動態(tài)規(guī)劃算法進行求解。

4 結(jié) 論

水庫來水以及灌溉用水二維過程的隨機性與關(guān)聯(lián)性切實存在。本文利用Copula函數(shù)在表征多維隨機變量的非線性相關(guān)與隨機性方面的優(yōu)勢，描述同類變量不同時段之間的隨機性以及不同變量相同時段之間的關(guān)聯(lián)性，在此基礎(chǔ)上，與傳統(tǒng)隨機動態(tài)規(guī)劃算法結(jié)合，提出了考慮多維變量關(guān)聯(lián)性與不考慮多維變量關(guān)聯(lián)性的多維隨機動態(tài)規(guī)劃算法。

以東莊水庫優(yōu)化調(diào)度為例，結(jié)果表明，采用考慮水庫來用水過程關(guān)聯(lián)性的多維隨機動態(tài)規(guī)劃算法求解優(yōu)化調(diào)度模型，缺水總量為10.37億m，采用不考慮二者關(guān)聯(lián)性的多維隨機動態(tài)規(guī)劃算法求解時，缺水總量為10.49 億m，缺水量相對降低0.12億m，考慮來用水過程關(guān)聯(lián)性的結(jié)果更優(yōu)，但差距較小，相對提升百分比為1.16%；考慮來用水過程關(guān)聯(lián)性時的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率較不考慮二者關(guān)聯(lián)性時的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率差異較小是造成優(yōu)化調(diào)度結(jié)果差異較小的主要原因?？紤]來用水過程關(guān)聯(lián)性的多維隨機動態(tài)規(guī)劃算法理論上更符合水資源供需過程天然存在的隨機性與關(guān)聯(lián)性特征，本文建議采用考慮來用水過程關(guān)聯(lián)性的多維隨機動態(tài)規(guī)劃算法求解水庫優(yōu)化調(diào)度模型。

若水庫以工業(yè)與生活供水為目標(biāo)，該類用水過程與水庫來水過程之間并無機理上的關(guān)聯(lián)性，建議采用本文所提的不考慮隨機變量間關(guān)聯(lián)性的多維隨機動態(tài)規(guī)劃算法求解。此外，本文所提的隨機動態(tài)規(guī)劃算法在其他領(lǐng)域的隨機優(yōu)化決策問題方面（如基于水庫調(diào)度的水風(fēng)光多能互補等）同樣適用。未來，如何擴展二維隨機動態(tài)規(guī)劃算法至更高維情形，是該項研究的重點所在。