亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        網(wǎng)絡節(jié)點增減下的潛伏型病毒傳播行為建模研究

        2022-04-18 14:42:00陸世偉劉文斌馬潤年
        電子學報 2022年2期
        關鍵詞:病毒傳播平衡點時滯

        王 剛,陸世偉,馮 云,劉文斌,馬潤年

        (1. 空軍工程大學信息與導航學院,陜西西安 710077;2. 廣州大學計算科技研究院,廣東廣州 510006)

        1 引言

        在網(wǎng)絡安全的攻防博弈中,攻擊方為竊取網(wǎng)絡用戶個人信息或破壞內部網(wǎng)絡,通常會以網(wǎng)絡病毒形式向目標網(wǎng)絡發(fā)動攻擊[1,2]. 為了避免被防御方檢測查殺,攻擊方通常會在病毒代碼中融入一些其他技術,如加殼、花指令、加密等,使網(wǎng)絡病毒擁有潛伏特性,更隱蔽地潛入到內部網(wǎng)絡,達到隱蔽突襲的目的. 該類病毒在入侵目標網(wǎng)絡后,會隱藏在網(wǎng)絡節(jié)點中,根據(jù)特定時間或事件條件的設置,在一定條件下激活,破壞目標節(jié)點,甚至對網(wǎng)絡造成嚴重損失. 由于此類病毒具有一定的潛伏和免殺能力,并且?guī)в袕娏业哪康男?,我們將其稱為“潛伏型網(wǎng)絡病毒”,簡稱“潛伏型病毒”. 相比于一般的木馬病毒,潛伏型病毒更難被檢測且目的性更強,在被發(fā)現(xiàn)和清除前,往往會對網(wǎng)絡造成一定的損失. 如2013年,黑客通過釣魚郵件攻擊的方式,在著名信息廠商RSA 公司的內網(wǎng)中,植入具有免殺功能的Poison Ivy木馬,竊取該公司SecurID 技術及客戶資料,并在被發(fā)現(xiàn)之前迅速清除痕跡. 此外,“震網(wǎng)”、“狼人殺”、“藍色火焰”、“海蓮花”等潛伏型病毒對網(wǎng)絡用戶的安全造成嚴重破壞[3,4],隨著潛伏和免殺技術的發(fā)展,其對網(wǎng)絡安全的威脅也越來越大.

        對于一種未知潛伏型病毒而言,在免疫軟件研制并生效之前,其在網(wǎng)絡中的傳播行為難以預測,在網(wǎng)絡沒有針對性防御措施的情況下,病毒傳播可能會給網(wǎng)絡造成巨大的危害. 為了抑制病毒傳播帶來的危害,一些學者通過研究復雜網(wǎng)絡中社區(qū)結構并構建博弈模型[5,6],提出一些抑制病毒的傳播方法,如信任管理機制,來確保網(wǎng)絡的安全. 這些方法需要對網(wǎng)絡中信息進行收集與評估,不易對病毒傳播行為進行分析與預測. 由于潛伏型病毒的高隱蔽性,防御方通常難以在病毒爆發(fā)前發(fā)現(xiàn)其潛伏特征與感染特征,因而采用信任機制也無法準確地對其傳播行為或規(guī)模進行分析與評估. 為了避免病毒傳播對網(wǎng)絡造成巨大損失(病毒免疫軟件研制期間),眾多學者將研究視角轉移到病毒的傳播行為上,通過病毒傳播行為建模來探索病毒傳播的影響因素,進而設計有效的控制策略,降低病毒傳播對網(wǎng)絡造成的損失.

        在Kephart 和White[7]提出的計算機病毒傳播宏觀模型基礎上,研究者根據(jù)網(wǎng)絡環(huán)境和病毒類型的不同構建了相應的病毒傳播模型.Liu 等[8]構建了一個具有免疫和非單調感染率的易感-感染-移除-易感(Susceptible-Infected-Removed-Susceptible,SIRS)網(wǎng)絡病毒傳播模型,發(fā)現(xiàn)較大的免疫因子可以加速病毒滅絕,降低網(wǎng)絡整體感染水平.Cai 等[9]應用具有比率相關感染率的SIRS 病毒傳播模型,通過病毒全局動力學行為研究發(fā)現(xiàn)引入隨機波動可以抑制病毒的爆發(fā),從而控制病毒的傳播. 考慮到有限資源約束,李黎等[10]根據(jù)病毒傳播理論提出了一種與初始感染源無關的病毒傳播控制策略:有限臨時刪邊(Limited-Temporary-Links-Removed,LTLR)策略,該策略能顯著增加網(wǎng)絡平均路徑長度,提高病毒傳播控制效率.Upadhyay 等[11]應用易感-接種疫苗-暴露-感染-恢復(Susceptible-Vaccinated-Exposed-Infectious-Recovered,SVEIR)模型研究了病毒在計算機網(wǎng)絡中的傳播規(guī)律,發(fā)現(xiàn)反病毒技術和用戶觀察時間是控制病毒的關鍵因素. 考慮了6類移動設備,Lanz等[12]應用病毒傳播模型研究了病毒惡意感染的閾值,并提出多種病毒傳播控制策略.

        考慮傳染媒介和傳播延遲,王亞奇等[13]提出一種新的易感-感染-易感傳播模型(Susceptible-Infected-Susceptible,SIS),并利用平均場理論,研究無標度網(wǎng)絡中的病毒傳播動力學,研究發(fā)現(xiàn)病毒感染程度與傳播延遲之間存在線性關系. 張曉潘等[14]構建了具有時滯-擴散的無線傳感網(wǎng)絡病毒傳播模型,研究了病毒傳播的振蕩動力學行為,揭示了時滯和擴散作用對無線傳感器網(wǎng)絡是有害的. 王昕煒等[15]以參數(shù)τ為病毒潛伏期,構建了非線性感染率下的時滯病毒傳播模型,并通過控制變量的方法給出病毒最優(yōu)防御策略.Song 等[16]提出一個具有分布時滯和非線性發(fā)生率的多級感染模型,并證明了在一定條件下,病毒傳播動力學行為完全由基本再生數(shù)決定. Zhu 等[17]在復雜網(wǎng)絡上建立一個具有非線性發(fā)病率和時滯的SIS 傳染病模型,研究比較了4 種不同的控制策略,包括均勻免疫控制、熟人免疫控制、主動免疫控制和最優(yōu)控制.

        以上研究將病毒的潛伏期理解為感染前的一段時滯,給出了時滯因素對病毒傳播行為和傳播過程的影響. 然而,病毒在潛伏狀態(tài)的特性不僅限于感染過程的時滯,還存在向其他狀態(tài)的轉移以及自身的移除過程等,而且其感染過程與網(wǎng)絡節(jié)點的平均度有關[18]. 這些情況僅靠傳統(tǒng)模型難以表述,需要進一步展開研究了解潛伏型病毒在潛伏階段的行為.

        王等[19,20]考慮了網(wǎng)絡節(jié)點度對病毒感染率的影響,并增加了潛伏狀態(tài)節(jié)點向其它狀態(tài)節(jié)點之間的轉移過程,根據(jù)病毒的潛伏方式,分別構建兩種潛伏型病毒傳播模型,分析了節(jié)點度及轉移概率等對病毒傳播規(guī)模的影響. 李等[21]在節(jié)點移除的情況下,考慮了網(wǎng)絡病毒的潛伏狀態(tài)向其他狀態(tài)的轉化過程,并在潛伏狀態(tài)到感染狀態(tài)的轉化過程中添加了時滯因素,分析了時滯對病毒傳播的影響,給出有效的混合隔離策略來抑制潛伏型病毒的傳播. 這些成果促進了潛伏型病毒傳播行為分析及控制策略的設計,然而要更為準確地研究潛伏型病毒在實際網(wǎng)絡中的傳播規(guī)律,還需在建模與分析過程中考慮以下問題:(1)網(wǎng)絡節(jié)點增加和移除會影響網(wǎng)絡節(jié)點總數(shù),變化的節(jié)點總數(shù)會對病毒傳播過程和傳播規(guī)模產(chǎn)生怎樣的影響;(2)網(wǎng)絡病毒由潛伏到感染過程會有一定的潛伏期(時滯),該潛伏期會對病毒傳播分岔行為及傳播能力產(chǎn)生影響,如何構建包含時滯的病毒傳播模型才能準確地分析時滯對病毒傳播的影響;(3)考慮網(wǎng)絡節(jié)點增減的條件下,病毒在潛伏期內依然存在被移除的情況,如何正確地表示移除后的潛伏節(jié)點向感染節(jié)點的轉化過程.

        為解決以上存在的問題,本文在傳統(tǒng)的潛伏型病毒易感-潛伏-感染-免疫(Susceptible-Exposed-Infected-Recovered,SEIR)傳播模型基礎上,增加了網(wǎng)絡節(jié)點增減過程,用以探索變化網(wǎng)絡節(jié)點數(shù)下病毒的傳播過程,以及增減網(wǎng)絡節(jié)點對病毒傳播規(guī)模的影響. 此外,考慮到病毒潛伏期會對病毒傳播行為和傳播規(guī)模產(chǎn)生影響,在所構建模型中增加了指數(shù)律的潛伏時滯因子,用以分析潛伏期時長對病毒分岔行為及其基本再生數(shù)的影響[14~16]. 所構建模型能夠更為準確地描述潛伏型病毒在網(wǎng)絡上的傳播行為,研究網(wǎng)絡節(jié)點數(shù)變化條件下潛伏型病毒傳播分岔行為產(chǎn)生的條件,分析潛伏型病毒傳播的穩(wěn)定性,探索出潛伏時滯、節(jié)點增減率等因素對病毒傳播行為和傳播能力的影響,進一步為科學地設計潛伏型病毒管控策略提供理論依據(jù).

        2 節(jié)點增減下的時滯病毒傳播模型

        潛伏型病毒在入侵網(wǎng)絡時會有不同的形式,如:直接潛伏至目標節(jié)點之后實施感染(直接潛伏型)[19];潛伏過程中伴隨有感染過程,以一種病毒的感染來分散防御方注意力,進而更容易地實施潛伏(間接潛伏型)[20]. 這里,以直接潛伏型病毒為例,構建節(jié)點增減下的時滯病毒傳播模型.

        在網(wǎng)絡病毒入侵初始階段,將網(wǎng)絡中的節(jié)點劃分為四種類型:易感節(jié)點、潛伏節(jié)點、感染節(jié)點以及免疫節(jié)點. 其中,易感節(jié)點表示網(wǎng)絡中脆弱的、易受病毒潛伏或感染的節(jié)點;潛伏節(jié)點表示被病毒潛伏但病毒尚未激活的節(jié)點;感染節(jié)點即受病毒感染且受損失的節(jié)點;免疫節(jié)點表示對入侵病毒具有免疫能力的節(jié)點. 易感狀態(tài)、潛伏狀態(tài)、感染狀態(tài)、免疫狀態(tài)分別簡記為S、E、I、R. 用S(t)、E(t)、I(t)、R(t)分別表示t時刻網(wǎng)絡中四種狀態(tài)節(jié)點的數(shù)量. 綜合考慮實際網(wǎng)絡病毒傳播特點,做出以下假設:

        (1)病毒在網(wǎng)絡任意兩個節(jié)點間傳播時間存在最小值,以該最小值作為研究中的單位時間.

        (2)網(wǎng)絡中不具有免疫能力的節(jié)點都是易受病毒潛伏或感染的,而免疫節(jié)點對潛伏型病毒具有不會衰退的免疫能力.

        (3)在單位時間內,平均有A個外部節(jié)點接入網(wǎng)絡(A>0),且都為易感節(jié)點;四種狀態(tài)節(jié)點的移除率分別為μ1,μ2,μ3,μ4.

        (4)病毒在感染前會先潛伏到目標節(jié)點,在節(jié)點中的平均潛伏時長為τ.

        (5)單位時間內,單個病毒成功潛伏至易感節(jié)點的概率為β,潛伏病毒被激活的概率為γ,感染節(jié)點免疫的概率為ω.

        根據(jù)文獻[18,20]的研究,節(jié)點度會影響感染節(jié)點周圍的易感節(jié)點數(shù)量,即單位時間內網(wǎng)絡中的易感節(jié)點被感染的比例為β〈k〉I(t)/N(t),其中〈k〉為網(wǎng)絡平均度. 由于病毒為直接潛伏型病毒,因此易感節(jié)點轉化為潛伏節(jié)點的數(shù)量為β〈k〉I(t)/N(t). 由于在病毒傳播過程中存在各狀態(tài)節(jié)點的增加或移除,網(wǎng)絡節(jié)點總數(shù)不恒定,因此記為N(t). 病毒在潛伏狀態(tài)經(jīng)過τ時間可能會被激活,則t時刻感染節(jié)點的增加數(shù)量實際上取決于t-τ時刻潛伏節(jié)點的數(shù)量E(t-τ),可以表示為γE(t-τ). 然而,由于t-τ時刻到t時刻內持續(xù)有潛伏節(jié)點被移除,因此計算潛伏節(jié)點轉化為感染節(jié)點的概率時,需要考慮潛伏期內被移除的潛伏節(jié)點數(shù)量. 在t-τ時刻至t時刻,每個單位時間存在節(jié)點被移除的可能,潛伏節(jié)點移除率為μ2,即每個單位時間內會移除μ2比例的節(jié)點,剩余(1-μ2)比例的節(jié)點,因此在經(jīng)過τ個單位時間后,總剩余比例應為(1-μ2)τ,即t-τ時刻潛伏節(jié)點轉化為感染節(jié)點的數(shù)量應為γ(1-μ2)τE(t-τ),即t時刻感染節(jié)點增加數(shù)量為γ(1-μ2)τE(t-τ). 根據(jù)以上假設與分析,給出節(jié)點增減下的時滯SEIR 病毒傳播模型示意圖,如圖1所示.

        圖1 節(jié)點增減下的時滯SEIR病毒傳播模型示意圖

        圖1中,〈k〉為網(wǎng)絡節(jié)點平均度,N(t)為t時刻網(wǎng)絡節(jié)點總數(shù),且N(t)=S(t)+E(t)+I(t)+R(t). 由于每個單位時間都存在節(jié)點移除和增加的可能,網(wǎng)絡節(jié)點總數(shù)也是變化的. 根據(jù)以上傳播模型示意圖,給出對應的時滯動力學微分方程:

        其中,S(t)、E(t)、I(t)和R(t)分別表示t時刻網(wǎng)絡中對應狀態(tài)的節(jié)點數(shù)量. 模型(1)演化的初始條件如下:

        其中,φ=(φ1(θ),φ2(θ),φ3(θ),φ4(θ)) ∈C([-τ,0],R4+0).C([-τ,0],R4+0)是[-τ,0]上連續(xù)向量函數(shù)全體,簡記為C.實際中,系統(tǒng)(1)的初值時刻θ取決于網(wǎng)絡中4 種狀態(tài)節(jié)點數(shù)量統(tǒng)計的起始時刻,若θ≠0,在[θ,0]時間段內分別記錄4種節(jié)點的數(shù)量變化曲線,可得對應的初值函數(shù)φ;若θ=0,則φ=(φ1(0),φ2(0),φ3(0),φ4(0)),此時φ為4元實數(shù)行向量. 由于有界滯量的滯后型微分方程解空間在C上通常為無限維的,因此需要通過連續(xù)的Banach 空間函數(shù)φ將區(qū)間[-τ,0]映射至四維正實數(shù)空間,其中={(x1,x2,x3,x4):xi≥0,i=1,2,3,4},φ的范數(shù)定義為|φ(θ)|,|·|是Rn中的范數(shù).

        3 穩(wěn)定性分析

        穩(wěn)定性是指系統(tǒng)受到擾動作用會偏離平衡狀態(tài),當擾動消失,系統(tǒng)經(jīng)過自身調節(jié)能夠以一定的準確度恢復原平衡狀態(tài)的性能. 對于病毒傳播動力學系統(tǒng)而言,研究其平衡點及穩(wěn)定性有助于了解病毒傳播的平衡態(tài)及其穩(wěn)定性,進一步為設計穩(wěn)定的控制器提供理論依據(jù).

        則有病毒平衡點處各狀態(tài)節(jié)點數(shù)量可表示為

        設基本再生數(shù)

        當R0>1 時,網(wǎng)絡僅存在有病毒平衡點;否則,只存在無病毒平衡點.

        引理1當t∈(0,+∞)時,S(t)>0.

        證明假設S(t)>0 在t∈(0,+∞)時不恒成立,則存在t0,使得S(t0)=0,有

        此時存在ε,使得(t0-ε)∈(0,t0)且S(t0-ε)<0. 與節(jié)點數(shù)量非負矛盾,因此當t∈(0,+∞)時,S(t)>0. 證畢

        定理1當R0≤1 時,時滯系統(tǒng)(1)在無病毒平衡點P0(S0,E0,I0,R0)處全局漸進穩(wěn)定.

        證明令h(x)=x-1-lnx,對任意的x∈(0,∞),有h(x)≥0,當且僅當x=1時等號成立.

        定義Lyapunov函數(shù):

        式(5)對時間t求導得

        當R0≤1 時,有V'(t)≤0,且僅當S(t)=S0,R0=1 時等號成立. 由LaSalle 不變原理[22]可知,當R0≤1 時,時滯系統(tǒng)在無病毒平衡點P0處全局漸進穩(wěn)定. 證畢

        定理2當R0>1時,時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性由時滯τ及其時滯閾值τ0共同決定. 當τ<τ0,則系統(tǒng)在有病毒平衡點P1(S1,E1,I1,R1)處局部漸進穩(wěn)定;當τ≥τ0,系統(tǒng)會出現(xiàn)Hopf分岔現(xiàn)象.

        證明時滯系統(tǒng)(1)在平衡點P1(S1,E1,I1,R1)處的線性系統(tǒng)可表示為

        在τ>0的情況下,設式(12)的特征根為λ=iθ,則可得到

        分離式(14)實部與虛部可得到

        進一步得到關于θ的方程[21]

        其中,

        設式(16)有正根θ0,則±iθ0為式(14)的一對純虛根,由式(15)可得到

        其中,

        由式(18)可得時滯的臨界值為

        由以上求解過程和Hopf 分岔理論[24,25]可知,如果式(16)有正根,那么當τ<τ0時,系統(tǒng)(1)在有病毒平衡點P1(S1,E1,I1,R1)處局部漸進穩(wěn)定;τ≥τ0時,系統(tǒng)(1)會出現(xiàn)Hopf分岔現(xiàn)象. 證畢

        綜合系統(tǒng)平衡點求解和平衡點穩(wěn)定性分析可知:

        (1)在考慮網(wǎng)絡節(jié)點增減的情況下,潛伏型病毒的潛伏時長(時滯)和節(jié)點的增減率會影響到病毒傳播的基本再生數(shù),進而影響病毒的傳播規(guī)模. 合理控制病毒潛伏時滯和網(wǎng)絡節(jié)點增減數(shù)量能夠減小基本再生數(shù),進而控制潛伏型病毒傳播.

        (2)節(jié)點增減下,病毒潛伏時滯閾值τ0會隨時滯τ而變化. 對于潛伏型病毒而言,其時滯閾值與病毒本身的潛伏時滯有關,通過計算可以判斷潛伏時滯與時滯閾值的關系,進一步推斷出病毒傳播是否會出現(xiàn)分岔狀態(tài). 如果病毒傳播存在分岔現(xiàn)象,病毒傳播行為將難以預測,控制策略設計難度也會加大,在這種情況下,需要增大病毒時滯閾值來消除其行為上的分岔現(xiàn)象,進而設計有效的防御方法.

        (3)潛伏型病毒在有病毒平衡點處的穩(wěn)定性與病毒的時滯及其閾值相關. 合理地調節(jié)與時滯閾值相關的參數(shù),能夠增大時滯閾值,阻止病毒傳播出現(xiàn)分岔現(xiàn)象,進而更好地控制病毒傳播.

        4 數(shù)值仿真

        4.1 仿真環(huán)境設置

        數(shù)值仿真的目的在于:(1)驗證理論分析的正確性;(2)驗證時滯閾值τ0與免疫率ω及時滯τ之間的關系;(3)節(jié)點增減率對系統(tǒng)平衡點的影響. 仿真選取2個合成網(wǎng)絡和3個實際網(wǎng)絡,以模型演化的形式分別模擬潛伏型病毒在這5 個不同的網(wǎng)絡中的傳播過程. 其中,ER 隨機網(wǎng)絡和小世界網(wǎng)絡根據(jù)生成算法生成,其他3 個實際的網(wǎng)絡數(shù)據(jù)集來源于斯坦福大學復雜網(wǎng)絡數(shù) 據(jù) 集(Stanford Large Network Dataset Collection,SNAP)[26],具體網(wǎng)絡參數(shù)如表1所示.P2P-Gnutella05網(wǎng)絡中節(jié)點表示Gnutella 網(wǎng)絡拓撲中的主機,連邊表示Gnutella 主機之間的連接;Wiki-Talk 網(wǎng)絡包含了所有用戶以及從Wikipedia 成立到2008 年1 月的討論,網(wǎng)絡中的節(jié)點代表Wikipedia 用戶,從節(jié)點i到節(jié)點j的有向邊代表該用戶i至少編輯了一次用戶j的對話頁;Web-Google網(wǎng)絡節(jié)點表示Google網(wǎng)頁,有向邊表示它們之間的超鏈接. 實際中,病毒傳播模型參數(shù)需要利用優(yōu)化算法并根據(jù)特定的病毒感染事件及數(shù)據(jù)集來估計. 鑒于目前尚無公開的潛伏型網(wǎng)絡病毒傳播數(shù)據(jù)集,以下參數(shù)取值主要基于定理1 和定理2 中對基本再生數(shù)和時滯的要求.

        表1 網(wǎng)絡名稱及相關參數(shù)

        參照文獻[27,28],分別在5 個網(wǎng)絡上對病毒傳播過程進行數(shù)值模擬,并根據(jù)定理1 和定理2 中基本再生數(shù)和時滯條件,設置模型相關參數(shù). 其中,ER 隨機網(wǎng)絡和小世界網(wǎng)絡中A=100,β=0.3,γ=0.25,ω=0.5,μ1=0.01,μ2=0.02,μ3=0.03,μ4=0.04,時滯τ=8. 其他3個網(wǎng)絡中,A=50,β=0.5,γ=0.3,ω=0.2,μ1=0.01,μ2=0.02,μ3=0.03,μ4=0.04,時滯τ=12. 由于2 個網(wǎng)絡的總節(jié)點數(shù)和網(wǎng)絡特性不同,狀態(tài)節(jié)點初始數(shù)值設置為不同的節(jié)點組合,由式(4)和式(20)可得每個網(wǎng)絡基本再生數(shù)及相應的時滯閾值. 表2 中給出了每個網(wǎng)絡的初始節(jié)點集合、基本再生數(shù)、時滯和時滯閾值. 如果不做特殊說明,這些網(wǎng)絡的參數(shù)是固定不變的.

        表2 網(wǎng)絡初始節(jié)點集合、基本再生數(shù)、時滯閾值和時滯

        4.2 平衡點及其穩(wěn)定性

        首先,分別在5 個網(wǎng)絡中驗證關于定理2 有病毒平衡點的穩(wěn)定性. 由于5 個網(wǎng)絡的基本再生數(shù)R0均大于1,由定理2 知,當τ<τ0,系統(tǒng)在有病毒平衡點P1(S1,E1,I1,R1)處局部漸進穩(wěn)定;當τ≥τ0,系統(tǒng)會出現(xiàn)Hopf 分岔現(xiàn)象. 由表2 知,在ER 隨機網(wǎng)絡和Wiki-Talk網(wǎng)絡中,病毒傳播時滯τ<τ0,因此這2 個網(wǎng)絡中的病毒傳播會局部穩(wěn)定在有病毒平衡點;在其他3 個網(wǎng)絡中,病毒傳播時滯τ≥τ0,因此病毒傳播會出現(xiàn)分岔行為.圖2(a)~(e)分別給出了以上5 個網(wǎng)絡中狀態(tài)節(jié)點數(shù)量隨時間演化的曲線.

        由圖2可以看出,小世界網(wǎng)絡、P2P-Gnutella05網(wǎng)絡和Web-Google 網(wǎng)絡(τ≥τ0)中出現(xiàn)了Hopf 分岔現(xiàn)象,此時各狀態(tài)節(jié)點數(shù)量會出現(xiàn)振蕩,網(wǎng)絡受感染嚴重情況難以根據(jù)短期的數(shù)據(jù)進行判斷,通常也無法針對性地對網(wǎng)絡采用合理的控制策略來恢復網(wǎng)絡的安全. 這種情況下,需要先消除網(wǎng)絡中的病毒傳播的分岔現(xiàn)象,進而研究如何降低病毒傳播的規(guī)模. 此外,在ER 隨機網(wǎng)絡和Wiki-Talk 網(wǎng)絡(τ<τ0)中,病毒傳播會穩(wěn)定在有病毒平衡點. 綜上所述,數(shù)值仿真結果與定理2一致.

        圖2 R0>1時5個網(wǎng)絡中狀態(tài)節(jié)點數(shù)量隨時間演化曲線

        為進一步驗證定理1,即R0≤1時,時滯系統(tǒng)在無病毒平衡點P0(S0,E0,I0,R0)處全局漸進穩(wěn)定,人為提升免疫率ω,并降低病毒激活概率γ,確保5 個網(wǎng)絡中病毒傳播基本再生數(shù)R0≤1,即病毒傳播穩(wěn)定時網(wǎng)絡中不存在病毒感染節(jié)點.5個網(wǎng)絡的參數(shù)調整方式及調整后的基本再生數(shù)如表3所示.

        表3 5個網(wǎng)絡參數(shù)調整及其基本再生數(shù)

        經(jīng)過調整相應的參數(shù),5 個網(wǎng)絡的基本再生數(shù)都小于1,此時網(wǎng)絡中各狀態(tài)節(jié)點的數(shù)量演化曲線如圖3(a)~(e)所示.

        圖3 R0 ≤1時5個網(wǎng)絡中狀態(tài)節(jié)點數(shù)量隨時間演化曲線

        分析可知,基本再生數(shù)R0≤1時,2個網(wǎng)絡中的潛伏節(jié)點和感染節(jié)點數(shù)量最終都會趨近于0,并保持穩(wěn)定,即網(wǎng)絡節(jié)點不受潛伏型病毒潛伏或感染,與定理1一致.

        4.3 時滯閾值τ0的影響因素

        由于在R0>1 時,時滯閾值和時滯會共同決定病毒傳播分岔現(xiàn)象,因此有必要探索系統(tǒng)中其他參數(shù)對時滯閾值的影響. 為此,以表1中5個網(wǎng)絡為背景,研究潛伏型病毒在這5 個網(wǎng)絡上傳播時系統(tǒng)參數(shù)對時滯閾值的影響. 其中,網(wǎng)絡類型和網(wǎng)絡平均度信息如表1 所示,每個網(wǎng)絡的模型參數(shù)設置與4.1 節(jié)相同. 此處,重點分析時滯τ和免疫率ω對閾值τ0的影響. 圖4(a)和圖4(b)分別給出了τ和ω對τ0的影響.

        圖4 不同參數(shù)對時滯閾值的影響

        分析圖4(a)和圖4(b)可知,隨著病毒潛伏時滯τ的增大,時滯閾值τ0也會增大,而且在不同參數(shù)的網(wǎng)絡中這種增長趨勢表現(xiàn)不同. 在圖4(a)中,比較ER 隨機網(wǎng)絡(平均度為6)和小世界網(wǎng)絡(平均度為12)中時滯閾值隨潛伏時滯的變化關系,可知平均度越小的網(wǎng)絡時滯閾值隨潛伏時滯變化越明顯;同理,比較其他3 個網(wǎng)絡也能得到相同的結論. 因此,可以發(fā)現(xiàn)當網(wǎng)絡模型其他參數(shù)都相同時,網(wǎng)絡平均度越小,時滯閾值隨潛伏時滯變化越明顯. 此外,由圖4(b)知,在ER 隨機網(wǎng)絡和P2P-Gnutella05 網(wǎng)絡中,隨著免疫率的增大,時滯閾值有明顯的增大趨勢;而在小世界網(wǎng)絡和Web-Google 網(wǎng)絡中呈現(xiàn)出先增大后減小的趨勢,主要原因是這2個網(wǎng)絡的平均度相對較大,由于免疫率對時滯閾值的影響是有一定范圍的,因而單一地增加免疫率并不能增大時滯閾值. 在Wiki-Talk 網(wǎng)絡中,也表現(xiàn)出了先增大后減小的趨勢,但是值得一提的是,在免疫率0.82~0.92的位置處,無法計算時滯閾值,出現(xiàn)該現(xiàn)象的原因是式(12)的特征根不存在. 為了進一步探索該種情況下的病毒傳播情況,選取免疫率分別為0.82,0.85,0.88,0.91時的值,觀察各狀態(tài)節(jié)點的演化情況,不同免疫率下Wiki-Talk網(wǎng)絡中狀態(tài)節(jié)點數(shù)量演化曲線如圖5(a)~(d)所示.

        圖5 不同免疫率ω下Wiki-Talk網(wǎng)絡中狀態(tài)節(jié)點數(shù)量演化曲線

        在圖5(a)~(d)中,由于4 個免疫率下基本再生數(shù)R0>1,最終網(wǎng)絡中病毒節(jié)點數(shù)量都不為0,但都局部穩(wěn)定在有病毒平衡點附近,且均未出現(xiàn)分岔行為. 因而,在時滯閾值不存在的情況下,可以將病毒傳播時滯閾值τ0看作接近于無窮大,從而依然滿足定理2.

        由以上分析可知,在一定范圍內調整節(jié)點免疫率能有效調節(jié)病毒傳播的時滯閾值. 如果增大免疫率,能將時滯閾值τ0由小于潛伏時滯τ的值改變?yōu)榇笥讦拥闹?,則可以消除病毒傳播中的分岔行為. 由于免疫率與潛伏時滯τ無關,因此,適當調整網(wǎng)絡節(jié)點對病毒的免疫能力能夠避免病毒在網(wǎng)絡中傳播出現(xiàn)分岔現(xiàn)象,有利于對網(wǎng)絡受感染情況進行分析,從而有助于防御方部署更為有效的病毒傳播防御策略. 增大網(wǎng)絡節(jié)點對潛伏型病毒免疫率的措施包括:(1)安裝殺毒軟件,及時更新病毒庫,定期殺毒;(2)修復漏洞和補??;(3)在使用易攜帶潛伏型病毒的移動存儲設備時,提前做好檢測與殺毒工作;(4)盡量避免進入不明網(wǎng)站和接收不明郵件;(5)關閉不必要的設備端口等.

        4.4 節(jié)點增減率對平衡點的影響

        在病毒傳播過程中,網(wǎng)絡節(jié)點的數(shù)量會因內部或外部原因有所增減,如網(wǎng)絡故障或人工隔離等. 研究節(jié)點增減率對平衡點的影響,有利于探索潛伏型病毒傳播的控制方法,降低病毒的傳播規(guī)模. 如果將t時刻病毒節(jié)點的數(shù)量表示為潛伏節(jié)點和感染節(jié)點之和E(t)+I(t),由式(3)和式(4)不難看出,易感節(jié)點增加數(shù)量A不會影響基本再生數(shù)R0,而會影響有病毒平衡點P1(S1,E1,I1,R1)處病毒節(jié)點的數(shù)量,因此在R0>1,τ<τ0時,調節(jié)A可以控制最終網(wǎng)絡中病毒節(jié)點的數(shù)量. 仿真中,病毒傳播規(guī)??梢杂米罱K網(wǎng)絡中病毒節(jié)點的數(shù)量來衡量.

        本小節(jié)通過數(shù)值分析,重點研究4種狀態(tài)節(jié)點的移除率μ1,μ2,μ3,μ4和易感節(jié)點增加數(shù)量A對病毒傳播規(guī)模的影響. 由于在病毒傳播出現(xiàn)分岔行為時系統(tǒng)不易控制,此處主要研究無分岔行為時4個參數(shù)對病毒傳播的影響.

        仿真中網(wǎng)絡選取表1 中5 個不同類型網(wǎng)絡,參數(shù)設置參照4.1 節(jié). 由于病毒傳播不出現(xiàn)無分岔現(xiàn)象時要求潛伏時滯τ取較小的值,調整5 個網(wǎng)絡中潛伏型病毒傳播的潛伏時滯為τ=0.2,其他參數(shù)設置與4.1 節(jié)相同. 圖6(a)~(d)分別給出了4 個參數(shù)μ1,μ2,μ3,μ4對病毒傳播規(guī)模的影響. 圖7中給出了易感節(jié)點增加數(shù)量A對病毒傳播規(guī)模的影響. 由于5 個網(wǎng)絡中病毒傳播的潛伏時滯τ都較小,因而可以保證病毒傳播不會出現(xiàn)分岔現(xiàn)象,最終狀態(tài)節(jié)點的數(shù)量會趨于穩(wěn)定. 圖6 和圖7中橫坐標取所研究參數(shù)不同的值,縱坐標取為網(wǎng)絡中病毒傳播穩(wěn)定時(1 000 s時)病毒節(jié)點的數(shù)量E(t)+I(t).

        圖6 節(jié)點移除率對病毒傳播規(guī)模的影響

        由圖6(a)~(c)可知,在5 個網(wǎng)絡中,隨著易感節(jié)點、潛伏節(jié)點以及感染節(jié)點的移除率增大,網(wǎng)絡中病毒節(jié)點的數(shù)量會減少,病毒的傳播規(guī)模降低. 通過分析圖6(d)可得,對于免疫節(jié)點,在移除率不為0 的情況下,增大其移除率對于網(wǎng)絡病毒的傳播規(guī)模影響較小.如果免疫節(jié)點移除率為0,根據(jù)模型演化結果,最終網(wǎng)絡中節(jié)點都會轉化至免疫節(jié)點,因此最終病毒節(jié)點數(shù)量會趨向于0. 分析可知,在實際中通過增大易感節(jié)點、潛伏節(jié)點和感染節(jié)點的移除率,能夠起到抑制病毒傳播的作用;單一地改變免疫節(jié)點的移除率,不會對病毒傳播產(chǎn)生顯著的影響. 分析圖7 知,隨著易感節(jié)點增加數(shù)量A的增大,最終網(wǎng)絡中病毒節(jié)點數(shù)量會線性地增大,即病毒傳播規(guī)模變大. 因而,在實際中,減小網(wǎng)絡中易感節(jié)點的增加數(shù)量,有利于縮減病毒傳播的規(guī)模.

        圖7 易感節(jié)點增加數(shù)量A對病毒傳播規(guī)模的影響

        通過分析4.2 節(jié)~4.4 節(jié)仿真內容可知:(1)潛伏型病毒在網(wǎng)絡中傳播過程會出現(xiàn)穩(wěn)定和分岔2種行為,其行為是由病毒傳播基本再生數(shù)、病毒傳播時滯及時滯閾值共同決定;在實際病毒感染事件中,根據(jù)數(shù)據(jù)合理估計參數(shù),并計算基本再生數(shù)、病毒潛伏期以及時滯閾值,能夠對病毒的傳播行為進行定性判斷;(2)在一定范圍內,增大網(wǎng)絡節(jié)點對病毒的免疫率,能夠增大病毒的時滯閾值,從而避免病毒傳播分岔行為的持續(xù)發(fā)生,進而可設計抑制病毒傳播防御策略;(3)在病毒傳播穩(wěn)定的情況下,可以通過增大網(wǎng)絡中易感、潛伏和感染節(jié)點的移除數(shù)量,來降低病毒傳播規(guī)模,進而降低網(wǎng)絡受感染的程度,減小網(wǎng)絡損失.

        5 結論

        本文以潛伏型病毒傳播行為為基礎,考慮病毒傳播存在潛伏期和網(wǎng)絡節(jié)點增減的情況,構建了節(jié)點增減下的時滯SEIR 病毒傳播模型,重點分析了網(wǎng)絡節(jié)點增加和移除條件下病毒潛伏期τ對病毒傳播分岔行為及傳播規(guī)模的影響,進一步研究了病毒傳播基本再生數(shù)及其穩(wěn)定性之間的關系,探討了潛伏型病毒傳播的控制方法. 研究發(fā)現(xiàn):(1)當基本再生數(shù)R0<1 時,系統(tǒng)在無病毒平衡點處全局漸進穩(wěn)定;(2)當R0>1 時,如果病毒潛伏時滯τ小于時滯閾值τ0,系統(tǒng)在有病毒平衡點處局部漸進穩(wěn)定;當R0>1時,如果病毒潛伏時滯τ大于等于時滯閾值τ0,系統(tǒng)會出現(xiàn)Hopf 分岔現(xiàn)象;(3)在一定范圍內,調整網(wǎng)絡節(jié)點的免疫率,能夠增大病毒傳播時滯閾值τ0,有效阻止病毒傳播出現(xiàn)分岔行為,有利于進一步控制病毒傳播過程;(4)增大易感、潛伏和感染節(jié)點移除率,可以減小最終網(wǎng)絡中病毒節(jié)點的數(shù)量,降低病毒傳播規(guī)模. 相比于其他不含潛伏時滯和節(jié)點移除率的病毒傳播模型,所提模型能夠更準確地描述潛伏型病毒在動態(tài)變化網(wǎng)絡中的傳播特點. 基于模型的深入研究,揭示了節(jié)點增加和移除對病毒傳播的影響,給出了病毒傳播出現(xiàn)分岔現(xiàn)象時的時滯閾值,有利于網(wǎng)絡安全研究者從病毒傳播時滯和節(jié)點移除率角度思考如何防御潛伏型病毒的傳播,降低病毒對網(wǎng)絡的損失. 本文重點在于研究時滯對病毒傳播分岔行為的影響,并討論如何消除分岔現(xiàn)象,采用合理的方法來管控網(wǎng)絡,降低病毒傳播對網(wǎng)絡造成的損失. 由于實際中大多數(shù)網(wǎng)絡具有無標度特性,下一步工作中會討論無標度網(wǎng)絡中潛伏型病毒的傳播規(guī)律,并給出模型參數(shù)的敏感性分析,定量分析參數(shù)對病毒傳播的影響. 此外,由于網(wǎng)絡節(jié)點的移除會影響網(wǎng)絡的連通性,進一步影響到網(wǎng)絡通信能力,在下一步工作中,需要綜合考慮病毒傳播的防御策略對網(wǎng)絡通信能力和安全性能的綜合影響,及如何取得網(wǎng)絡通信和安全之間的均衡.

        猜你喜歡
        病毒傳播平衡點時滯
        帶有時滯項的復Ginzburg-Landau方程的拉回吸引子
        安全開課
        流行性病毒傳播生態(tài)動力學系統(tǒng)
        探尋中國蘋果產(chǎn)業(yè)的產(chǎn)銷平衡點
        煙臺果樹(2019年1期)2019-01-28 09:34:58
        電視庭審報道,如何找到媒體監(jiān)督與司法公正的平衡點
        傳媒評論(2018年7期)2018-09-18 03:45:52
        “病毒傳播室”
        Coco薇(2016年3期)2016-04-06 16:51:20
        在給專車服務正名之前最好找到Uber和出租車的平衡點
        IT時代周刊(2015年7期)2015-11-11 05:49:56
        一階非線性時滯微分方程正周期解的存在性
        一類時滯Duffing微分方程同宿解的存在性
        行走在預設與生成的平衡點上共同演繹精彩政治課堂
        散文百家(2014年11期)2014-08-21 07:16:58
        亚洲中文字幕在线第二页| 成人免费毛片立即播放| 国产乱精品女同自线免费| 亚洲日韩欧美一区、二区| 大胆欧美熟妇xxbbwwbw高潮了| 中文字幕亚洲乱码熟女在线| 就去吻亚洲精品欧美日韩在线| 日本一区二区亚洲三区| 国内嫩模自拍偷拍视频| 国产一区二区三区乱码| 亚洲av日韩精品久久久久久| 亚洲高清一区二区三区在线观看| 青青草激情视频在线播放| 国产欧美一区二区三区在线看| 精品久久久久久久无码| 亚洲国产一区二区三区在观看| 91一区二区三区在线观看视频| 欧美日韩精品久久久久| 欧美日本日韩aⅴ在线视频| 色婷婷亚洲十月十月色天| 中文字幕一区在线直播| 麻豆国产在线精品国偷产拍| 亚洲一区视频在线| 国产青春草在线观看视频| 亚洲成av人片一区二区密柚| 国产亚洲av无码专区a∨麻豆| 人妻中出精品久久久一区二| 日本淫片一区二区三区| 99久久免费只有精品国产| 国际无码精品| 亚洲av中文字字幕乱码| 精品亚洲成av人在线观看| 性色av 一区二区三区| 亚洲成AV人在线观看网址| 校园春色日韩高清一区二区| 久久超碰97人人做人人爱| 欧美久久久久中文字幕| 国产一区二区三区在线观看黄| 人成午夜免费视频无码| 91久久青青草原线免费| 亚洲国产综合性感三级自拍|