福建廈門集美大學理學院（361021） 林建輝 賓紅華 劉小輝

審視傳統(tǒng)的高中數(shù)學課堂，教師一味注重知識講授和應試技巧的訓練，對課堂導入的重視不足。這種單一化的教學方式容易使學生忽視數(shù)學學科的歷史背景和應用價值，不利于發(fā)展學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)，這與新課標所倡導的“立德樹人”教育理念背道而馳。因此，在核心素養(yǎng)背景下，如何應用多樣化的導入方式，優(yōu)化課堂教學，成為一線教師教學研究的重點問題之一。本文以“基本不等式”為研究對象，分別從數(shù)學文化、實踐活動、情境創(chuàng)設、復習舊知、幾何建構五個維度，對高中數(shù)學課堂導入路徑進行探索，希望可以為高中數(shù)學教與學提供一些可行性建議。

一、核心素養(yǎng)下數(shù)學課堂導入原則

（一）趣味性

不少高中生排斥數(shù)學學習，究其原因是數(shù)學知識抽象難懂。因此，教師要精心設計課堂導入，創(chuàng)設富有趣味性的問題情境，調(diào)動學生的學習主動性，使學生積極參與課堂、享受課堂。

（二）現(xiàn)實性

數(shù)學來源于生活，應用于生活。教師可以現(xiàn)實生活中的情境導入，這樣一方面可以勾起學生的回憶，讓學生在學習的過程中產(chǎn)生共鳴，深刻感受到數(shù)學學科的應用價值；另一方面可以引導學生從現(xiàn)實的生活情境中抽象出數(shù)學模型，將實際問題數(shù)學化，培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力，發(fā)展學生數(shù)學抽象、數(shù)學建模等核心素養(yǎng)。

（三）啟發(fā)性

傳統(tǒng)課堂上，許多教師采用講授法進行教學，一味注重學科知識和解題模板的講授，缺乏對學生思維的啟迪，學生難以理解數(shù)學的本質(zhì)?，F(xiàn)如今的數(shù)學課堂，提倡以“問題鏈”的形式啟發(fā)學生思考，引導學生進行深度學習，使學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)得到有效提升。

二、核心素養(yǎng)下數(shù)學課堂導入的路徑

（一）數(shù)學文化導入

片段一：

師（利用多媒體展示第24 屆國際數(shù)學家大會的會標）：同學們，請看大屏幕，圖1 是2002 年在北京召開的第24 屆國際數(shù)學家大會的現(xiàn)場，懸掛在會場中央的是本次大會的會標（如圖2）。會標是根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設計的，弦圖構圖巧妙，既凸顯數(shù)學的美，又蘊含著數(shù)學的奧妙。接下來，我們就一起來探究會標中所隱含的數(shù)量關系。

圖1

圖2

為了方便研究，我們不妨將圖2 中的會標抽象成幾何圖形（如圖3）?？梢钥闯?，正方形ABCD由4 個全等的直角三角形和正方形EFGH組成。

圖3

我們不妨設直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，那么正方形ABCD的邊長為，正方形EFGH的邊長為a-b。你能用數(shù)學語言刻畫圖形中存在的等量關系嗎?

生1：由面積關系可知正方形ABCD的面積等于4個直角三角形的面積與正方形EFGH的面積之和，即a2+b2=4 ×+(a-b)2。

師：很好，我們剛剛借助數(shù)學語言刻畫了弦圖中存在的等量關系。那么，弦圖背后是否隱藏著某種不等關系呢？

生2：正方形ABCD的面積大于4個直角三角形的面積之和，即a2+b2＞2ab。

師：很好。如果a=b時，面積關系又會發(fā)生怎樣的變化呢？（運用幾何畫板進行動態(tài)演示）

生3：當a=b時，中間的正方形EFGH將會縮為一個點，此時a2+b2=2ab。

師：我們得到了不等式a2+b2≥2ab，接下來，我們嘗試著用替換表達式中的a，b，又能得到怎樣的不等關系呢？

生4：如果a＞0，b＞0，我們用替換表達式中的a，b，可得，當且僅當a=b時，等號成立。

評析：本片段以趙爽的弦圖為背景，將數(shù)學史的內(nèi)容融入課堂教學，一方面可以讓學生感受到中國古代數(shù)學的偉大成就，激發(fā)學生的民族自豪感；另一方面，弦圖的巧妙構圖可以讓學生更加直觀地感知數(shù)學圖形的對稱美和和諧美。

（二）實踐活動導入

片段二：（內(nèi)容摘自史亞軍老師的“基本不等式”教學設計）

上課伊始，教師向每位學生分發(fā)兩張面積不等的正方形紙片。

教師帶領學生將兩張正方形紙片沿著它們的對角線對折，再沿斜邊拼接，探究兩個直角三角形的面積與矩形的面積間的關系。

師：我們不妨假設兩個正方形的面積分別為a和b（如圖4），那么我們?nèi)绾吻髨D中兩個三角形的面積之和呢？

圖4

師：那矩形的面積又該如何求解呢？

師：觀察圖中兩個直角三角形的面積之和與矩形的面積，它們之間存在著怎樣的不等關系呢？

生2：當a=b時等號成立。

評析：本片段中，教師以圖形的折疊與拼接為背景，鼓勵學生動手操作，使學生在活動中體會幾何圖形的面積關系，培養(yǎng)學生的動手實踐能力和直觀想象能力。

（三）情境導入

片段三：（內(nèi)容摘自姚丁丁老師的“基本不等式”視頻）

教師利用多媒體展示問題情境。

“十一”黃金周，小明去黃金店購買黃金，店老板拿出一臺天平秤，將黃金放在天平秤上稱了一下，得到質(zhì)量為a克，交換一下位置重新稱量，得到質(zhì)量為b克，老板說將稱量結果相加后除以2 就是黃金的“實際重量”。

師：請大家思考，小明購買黃金是賺了還是虧了？

生1：我們不妨先假設黃金質(zhì)量為x克，根據(jù)初中所學杠桿原理，可得xl2=al1（如圖5），bl2=xl1（如圖6），將這兩個等式聯(lián)立，可以計算得到x2=ab，即x=

圖5

圖6

生2：可以采用作差法進行比較。

師：這是個好辦法，請大家嘗試。

師：不等式的等號在什么情況下成立呢？

師：現(xiàn)在我們是否能夠判斷小明購買黃金究竟是賺了還是虧了呢？

生5：很明顯是虧了。

評析：本片段中，教師以“不平衡天平秤”這一生活情境導入課堂，既貼近學生的現(xiàn)實生活，又與物理學知識相聯(lián)系，有助于激發(fā)學生的探究欲，培養(yǎng)學生的思維能力，發(fā)展學生的學科核心素養(yǎng)。

（四）復習導入

片段四：

師：在初中，我們已經(jīng)學習了完全平方公式，同學們還有印象嗎？

生1：兩數(shù)差的平方等于它們的平方和減去它們乘積的2倍。

師：這位同學用文字語言描述了兩數(shù)差的完全平方公式，我們能否運用符號語言來刻畫呢？

生2：可以表示為(x-y)2=x2-2xy+y2。

師：很好。我們知道對于任意的兩個實數(shù)x和y，(x-y)2≥0 總是成立的，即x2-2xy+y2≥0 是成立的，移項可得≥xy，當且僅當x=y時，等號成立。

師：如果有a ＞0，b ＞0，我們不妨取x=，y=，通過等量替換，我們能得到怎樣的結論呢？

師：這是我們通過等量替換得到的，那我們可以用什么方法對它進行嚴格的證明呢？

生4：可以采用作差法進行證明。

評析：本片段中，教師引導學生回顧初中兩數(shù)差的完全平方公式，通過公式變形、等量替換以及作差法證明，導出基本不等式

（五）幾何導入

片段五：

師（利用多媒體呈現(xiàn)幾何圖形，如圖7）：觀察圖7，圓的直徑為AB，點C是直徑AB上一點，過點C作垂直于AB的弦DE，已知AC=a，BC=b。那么，我們是否可以根據(jù)幾何圖形，求出CD的長度呢？

圖7

生1：可以連接AD，BD，根據(jù)射影定理可證△ACD∽△DCB，由于相似三角形對應邊成比例，計算可得CD=

師：我們可以借助已知條件求出圓的半徑嗎？

生2：由于直徑AB=a+b，因此半徑為

生3：CD的長度小于或等于圓的半徑，因此可以得到

生4：當點C與圓心重合，即a=b時，不等式的等號可以取到。

評析：本片段中，教師以幾何圖形為研究工具，啟發(fā)學生探究圓的直徑和弦長之間的大小關系，引導學生總結出基本不等式的幾何解釋“半弦長不大于半徑”，并通過“以形助數(shù)”“以數(shù)輔形”將代數(shù)的抽象性與幾何的直觀性有機地結合起來，從而發(fā)展學生的數(shù)學思維。

課堂導入方式多種多樣，教師可以借助舊知引入新知，可以聯(lián)系實際生活創(chuàng)設情境，也可以融入數(shù)學史與數(shù)學文化等。不同的課堂導入方式都彰顯著其獨有的特色，展現(xiàn)了授課教師對于教學內(nèi)容的獨到見解。核心素養(yǎng)下的高中數(shù)學課堂導入，不僅可以激發(fā)學生探究新知的欲望，讓學生積極探索、自主實踐，還可以讓學生在了解數(shù)學史的過程中培養(yǎng)愛國情懷。因此，在高中數(shù)學教學中，教師要根據(jù)實際情況選擇恰當?shù)恼n堂導入路徑，發(fā)展學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)，不斷提高課堂教學質(zhì)量。