丁佐建

（常州市第一中學(xué)，江蘇 常州 213000）

電磁波多普勒效應(yīng)是高中物理競(jìng)賽中的難點(diǎn).在許多文獻(xiàn)中，有關(guān)電磁波多普勒效應(yīng)公式的推導(dǎo)過程和表達(dá)形式大量使用了向量、矩陣、復(fù)數(shù)等數(shù)學(xué)工具，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了中學(xué)生認(rèn)知和理解的范疇，因此給出基于高中學(xué)生知識(shí)和能力基礎(chǔ)上的相關(guān)推導(dǎo)很有必要.

本文應(yīng)用狹義相對(duì)論時(shí)間變換，簡(jiǎn)潔明了地推導(dǎo)出電磁波多普勒效應(yīng)公式，大大降低了理解的難度.呈文如下供參考.

1 巧推公式

與機(jī)械波不同的是，電磁波（光波）波速對(duì)一切慣性參考系是確定不變的，電磁波的多普勒效應(yīng)只取決于波源和觀察者之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度v，而不必區(qū)分是波源運(yùn)動(dòng)還是觀察者運(yùn)動(dòng)，因此電磁波的多普勒效應(yīng)公式一定與機(jī)械波多普勒效應(yīng)公式不同，不可照搬機(jī)械波的多普勒效應(yīng)公式.

如圖1，在0時(shí)刻，電磁波（光波）源S相對(duì)觀察者E的相對(duì)位置如圖，波源S以速度v相對(duì)E運(yùn)動(dòng)，速度矢量v與位置矢量r的夾角為α，研究產(chǎn)生一個(gè)完整波形的過程，對(duì)波源參考系而言時(shí)間為波源周期T0（T0→0），在觀察者參考系中時(shí)間為t，由相對(duì)論時(shí)間變換得

圖1

在觀察者參考系中，波源S運(yùn)動(dòng)了距離（vt）（vt→0）到達(dá)S′，此時(shí)S′相對(duì)E的位置矢量r′.

2 特例討論

通常v?c，由上可以看出，在同等相對(duì)速度大小的情況下，橫向相對(duì)運(yùn)動(dòng)引起的多普勒效應(yīng)的頻率差遠(yuǎn)小于縱向相對(duì)運(yùn)動(dòng)的多普勒效應(yīng)頻率差，在中學(xué)物理階段一般不考慮橫向相對(duì)運(yùn)動(dòng)引起的多普勒效應(yīng).

3 奇思妙解

例題.（第32屆全國中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽）如圖2，飛機(jī)在距水平地面（xz平面）等高的航線KA（沿x正方向）上，以大小為v（v遠(yuǎn)小于真空中的光速c）的速度勻速飛行；機(jī)載雷達(dá)天線持續(xù)向航線正右側(cè)地面上的被測(cè)固定目標(biāo)P點(diǎn)（其x坐標(biāo)為xP）發(fā)射扇形無線電波束（扇形的角平分線與航線垂直），波束平面與水平地面交于線段BC（BC隨著飛機(jī)移動(dòng)，且在測(cè)量時(shí)應(yīng)覆蓋被測(cè)目標(biāo)P點(diǎn)），取K點(diǎn)在地面的正投影O為坐標(biāo)原點(diǎn).已知BC與航線KA的距離為R.天線發(fā)出的無線電波束是周期性的等幅高頻脈沖余弦波，其頻率為f0.已知機(jī)載雷達(dá)天線經(jīng)過A點(diǎn)（其x坐標(biāo)為xA）及此后朝P點(diǎn)相繼發(fā)出無線電波信號(hào)，由P反射后又被機(jī)載雷達(dá)天線接收到，求接收到的回波信號(hào)的頻率與發(fā)出信號(hào)的頻率之差（頻移）.

圖2

解析：這是一道有相當(dāng)難度的電磁波多普勒效應(yīng)試題.命題組從波動(dòng)理論出發(fā)給出了長達(dá)數(shù)頁的解答過程，［1］即使是優(yōu)秀的競(jìng)賽考生也難以在有限的考試時(shí)間內(nèi)按照命題組的思路做出完整而正確的解答（為節(jié)約版面在此不做呈現(xiàn)）.如果采用上述電磁波多普勒效應(yīng)公式，則能思路清晰、過程精干地快速解答.

如圖3，在KBC平面內(nèi)，電磁波從A點(diǎn)發(fā)射到達(dá)P點(diǎn)，P點(diǎn)看作觀察者，所以P點(diǎn)接受到的電磁波的頻率為

圖3

電磁波P點(diǎn)反射到飛機(jī)接受，P點(diǎn)看作電磁波波源，飛機(jī)接受的電磁波頻率為

4 小結(jié)與反思

簡(jiǎn)潔而美妙的邏輯過程和解題方法能有效地提升學(xué)生的高階思維能力、激發(fā)探索熱情，但命題組的參考答案為什么長達(dá)數(shù)頁呢？原因是命題組從波動(dòng)原理出發(fā)，將電磁波多普勒效應(yīng)用經(jīng)典物理方法重新演繹了一遍，但冗長的過程和復(fù)雜的近似運(yùn)算大大弱化物理思想、物理結(jié)論的呈現(xiàn)，干擾了學(xué)生對(duì)物理思想和物理方法的深入思考.

將電磁波多普勒效應(yīng)公式的推導(dǎo)放在“相對(duì)論”教學(xué)之后，并有意識(shí)地與機(jī)械波的多普勒效應(yīng)進(jìn)行對(duì)比，就會(huì)大大降低學(xué)生理解的難度，對(duì)公式的推導(dǎo)有了透徹的理解，這個(gè)公式就會(huì)成為解決此類問題的利器.