劉亭亭， 喬志琴

(中北大學(xué)理學(xué)院， 太原 030051)

傳染病是由能在人與人、動(dòng)物與動(dòng)物或人與動(dòng)物之間相互傳播的某種病原體導(dǎo)致的疾病.病原體中大部分為微生物，小部分為寄生蟲(chóng).多年以來(lái)，傳染病的防治工作始終都是關(guān)乎人類健康和國(guó)計(jì)民生的重大問(wèn)題，可以說(shuō)，與傳染病作斗爭(zhēng)貫穿著人類的整個(gè)發(fā)展歷史.從黑死病(淋巴腺鼠疫)到天花，再到如今新型冠狀病毒席卷全球，都給人類帶來(lái)了巨大的災(zāi)難.因此，如何控制傳染病的傳播，已經(jīng)成為當(dāng)今社會(huì)的熱點(diǎn)問(wèn)題[1]．

自然界的種群個(gè)體都要經(jīng)歷從幼年到成年的生命過(guò)程.種群個(gè)體的生理機(jī)能在不同生命階段對(duì)其本身的影響也是不同的.在現(xiàn)實(shí)生活中，有些疾病的傳播也具有比較明顯的階段特征.例如麻疹、水痘、猩紅熱等疾病多在幼年時(shí)期容易患病，而白喉、淋病、性病則多見(jiàn)于成年階段.在文獻(xiàn)[2-8]中許多專家學(xué)者已經(jīng)對(duì)階段結(jié)構(gòu)的傳染病進(jìn)行了大量研究.文獻(xiàn)[2-3] 研究的是一類具有時(shí)滯的幼年個(gè)體染病的階段結(jié)構(gòu)傳染病模型. 文獻(xiàn)[4-7]通過(guò)將成年個(gè)體分為易感者和染病者進(jìn)行研究，建立模型并進(jìn)行了分析.文獻(xiàn)[8]則將感染周期分為早期感染和晚期感染來(lái)進(jìn)行研究．

許多疾病在潛伏期、早期乃至中期，常會(huì)缺乏明顯的癥狀.一些疾病的感染者，諸如瘧疾、丙型病毒肝炎(HCV)、艾滋病(HIV)等在不同的感染階段具有不同的傳播力度，感染力的不同主要取決于個(gè)體體內(nèi)的病毒量[9-10].例如，急性丙型病毒肝炎患者中約有20%～50%在發(fā)病初期癥狀表現(xiàn)較輕，并可自發(fā)清除病毒；但約55%～85%的感染者病情會(huì)進(jìn)一步加重，甚至發(fā)展為肝癌等.本文在文獻(xiàn)[7]和[8]的基礎(chǔ)上將成年染病個(gè)體分為輕度染病個(gè)體和重度染病個(gè)體兩個(gè)階段，建立了一類新的階段結(jié)構(gòu)傳染病模型．

1 模型建立

為了分析，將個(gè)體分為幾類，其中x=x(t)，y=y(t)，z1=z1(t)，z2=z2(t)和R=R(t)分別表示t時(shí)刻幼年個(gè)體、成年易感個(gè)體、成年輕度染病個(gè)體、成年重度染病個(gè)體和恢復(fù)個(gè)體的數(shù)量.所有參數(shù)均為正，μ表示單個(gè)幼年個(gè)體的平均成熟率；b表示y充分小時(shí)單個(gè)成年個(gè)體的平均生育率；m表示幼年個(gè)體出生率的飽和系數(shù)；β表示疾病的傳染率；d表示個(gè)體的自然死亡率；α表示成年重度染病個(gè)體的因病死亡率；ε表示輕度染病個(gè)體到重度染病個(gè)體的轉(zhuǎn)化率；γ1和γ2分別表示成年輕度染病個(gè)體和重度染病個(gè)體的恢復(fù)率.假設(shè)患者康復(fù)以后不再被感染并進(jìn)入恢復(fù)者類，模型建立如下：

(1)

系統(tǒng) (1) 對(duì)應(yīng)的疾病傳播圖如下所示．

圖1 疾病傳播流程圖Fig.1 Flow chart of disease transmission

由于系統(tǒng) (1) 的前4個(gè)方程不依賴于第5個(gè)方程，因此本文研究下面的子系統(tǒng)，且t時(shí)刻總?cè)丝跀?shù)為N(t)=x(t)+y(t)+z1(t)+z2(t)．

(2)

引理1系統(tǒng) (2) 的正不變集為

2 平衡點(diǎn)的存在性分析

為了后續(xù)定理的方便，引入幾個(gè)參數(shù)：

其中，R0和Re0分別表示階段結(jié)構(gòu)種群的基本再生數(shù)和傳染病的基本再生數(shù)，顯然有Re0

定理1

1)R0≤1時(shí)，系統(tǒng) (2) 只存在平衡點(diǎn)E(0，0，0，0)；

2)Re0≤1

(3)

當(dāng)z1=z2=0時(shí)，系統(tǒng) (3) 退化為

(4)

可以得到系統(tǒng) (2) 有滅絕平衡點(diǎn)E(0，0，0，0)，無(wú)病平衡點(diǎn)E0(x0，y0，0，0)，其中

當(dāng)z1≠0，z2≠0時(shí)，由系統(tǒng) (3) 的第四個(gè)方程有

3 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析

3.1 滅絕平衡點(diǎn)分析

定理2當(dāng)R0<1時(shí)，平衡點(diǎn)E(0，0，0，0)是局部漸近穩(wěn)定的；當(dāng)R0>1時(shí)，E(0，0，0，0)是不穩(wěn)定．

證明系統(tǒng) (2) 在平衡點(diǎn)E(0，0，0，0)處的雅可比矩陣為

J(E)=

對(duì)應(yīng)的特征方程為

f(λ)=(λ2+(2d+μ)λ+d(d+μ)·

(1-R0))(λ+d+ε+γ1)(λ+d+α+γ2)=0.

(5)

所以，當(dāng)R0<1時(shí)，f(λ)的所有特征值均有負(fù)實(shí)部，平衡點(diǎn)E(0，0，0，0)是局部漸近穩(wěn)定的；當(dāng)R0>1時(shí)，E(0，0，0，0)是不穩(wěn)定，證畢．

定理3當(dāng)R0≤1時(shí)，E(0，0，0，0)是全局漸近穩(wěn)定性的．

證明構(gòu)造Lyapunov函數(shù)[11]，設(shè)

L=dx+b(y+z1+z2)，

將L沿系統(tǒng) (2) 求導(dǎo)有

3.2 無(wú)病平衡點(diǎn)分析

定理4

1) 當(dāng)Re0<1

2) 當(dāng)Re0<1

3) 當(dāng)Re0<1<1+Θ

4) 當(dāng)1=Re0

5) 當(dāng)1

證明系統(tǒng) (2) 在E0(x0，y0，0，0)處的雅可比矩陣為

對(duì)應(yīng)的特征方程為

f(λ)=f1(λ)·f2(λ)=0.

(6)

f2(λ)=λ2+pλ+q=0.

(7)

其中，

當(dāng)Re0<1時(shí)，有q>0.當(dāng)Ψ<1時(shí)，等價(jià)于R0<1+Θ，此時(shí)p>0；此時(shí)f2(λ)有兩個(gè)負(fù)實(shí)部的特征根.因此，當(dāng)Re0<1

3.3 地方病平衡點(diǎn)分析

為了完成下面定理5的證明，同樣引入以下幾個(gè)記號(hào)：

k1=d(Re0-1)，k2=d+μ+dRe0，

k6=k1βy*，k7=k6(2d+μ+α+γ2+ε)，

k8=k6(d+μ)(d+α+γ2+ε)．

對(duì)應(yīng)的特征方程為

f(λ)=λ4+A1λ3+A2λ2+A3λ+A4=0.

(8)

4 分支的存在性分析

定理6當(dāng)β增大且穿過(guò)β*時(shí)，地方病平衡點(diǎn)E*附近會(huì)發(fā)生Hopf分支．

化簡(jiǎn)得到

因此，

當(dāng)Φ≠0時(shí)，系統(tǒng) (2) 在β=β*處，地方病平衡點(diǎn)E*附近會(huì)發(fā)生Hopf分支，證畢．

5 結(jié)論

本文研究了一類具有飽和形式的輸入函數(shù)，根據(jù)一些疾病在不同時(shí)期傳染能力的不同，以及傳染病的發(fā)病機(jī)理把成年染病個(gè)體分為輕度染病個(gè)體和重度染病個(gè)體兩個(gè)階段，建立了一類階段結(jié)構(gòu)的傳染病模型.通過(guò)對(duì)系統(tǒng)的分析，得到兩個(gè)基本再生數(shù)R0(種群基本再生數(shù))和Re0(疾病的基本再生數(shù))，可以證明平衡點(diǎn)的存在性和穩(wěn)定性由兩個(gè)基本再生數(shù)決定.并且發(fā)現(xiàn)當(dāng)系統(tǒng)滿足一定條件時(shí)，會(huì)發(fā)生Hopf分支.當(dāng)然，本文的分析還存在不足，在之后的研究中可以考慮更加切合實(shí)際的疾病傳染率．