曹新昌，胡志廣

（天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387）

1 引言及主要引理

李代數(shù)表示是李代數(shù)研究領(lǐng)域中一個(gè)比較重要的內(nèi)容.早在1935年，Ado證明了任意有限維復(fù)李代數(shù)存在忠實(shí)的有限維表示，最新的討論可見(jiàn)文獻(xiàn)[1].對(duì)于復(fù)半單李代數(shù)，其有限維表示完全可約，且不可約表示由最高權(quán)確定[2].文獻(xiàn)[3]討論了約化李代數(shù)的最小維忠實(shí)表示.文獻(xiàn)[4-5]研究了可解李代數(shù)的表示.文獻(xiàn)[6-7]討論了特殊冪零李代數(shù)的最小維忠實(shí)表示和低維李代數(shù)的表示.文獻(xiàn)[8]考慮李代數(shù)表示的反問(wèn)題，證明了在半單的條件下，具有等價(jià)表示的李代數(shù)是同構(gòu)的.文獻(xiàn)[9]給出了實(shí)單李代數(shù)的不可約表示存在不變雙線性型的充要條件.

二維非交換李代數(shù)是最簡(jiǎn)單的非交換可解李代數(shù).一般的非冪零李代數(shù)一定包含二維非交換子代數(shù).在復(fù)半單李代數(shù)的分類中，sl（2，C）的表示發(fā)揮了重要的作用.本文研究二維非交換李代數(shù)的忠實(shí)表示分類，利用群在集合上作用的軌道分類，給出了四維復(fù)表示的完全分類.

定義[2]設(shè)L為一個(gè)復(fù)李代數(shù)，V、W是C上的線性空間.若ρ是L到gl（V）的一個(gè)同態(tài)，則稱（ρ，V）為L(zhǎng)的表示.設(shè)（ρ1，V）和（ρ2，W）是L的2個(gè)表示，若存在線性空間的同構(gòu)f：V→W，使得f（ρ1（x））=ρ2（f（x）），?x∈L，則稱表示（ρ1，V）和（ρ2，W）等價(jià).

使用矩陣語(yǔ)言，設(shè)ρi（L）?gl（n，C）（i=1、2）為L(zhǎng)的2個(gè)矩陣表示，則ρ1（L）和ρ2（L）是等價(jià)的，當(dāng)且僅當(dāng)存在可逆矩陣T，使得Tρ1（x）T-1=ρ2（x），?x∈L.因此，L的n維忠實(shí)表示的分類，等價(jià)于gl（n，C）中同構(gòu)于L的子代數(shù)在gl（n，C）的內(nèi)自同構(gòu)下的分類.

設(shè)L為一個(gè)二維非交換李代數(shù)，取x、y為L(zhǎng)的滿足[x，y]=x的一組基.設(shè)（ρ，V）為L(zhǎng)的一個(gè)n維忠實(shí)復(fù)表示，則在V的一組基下，ρ（L）為gl（n，C）中的二維線性李代數(shù).又因[ρ（x），ρ（y）]=ρ（x），可知ρ（x）冪零.故可選取V的一組基，使得ρ（x）的矩陣為Jordan矩陣diag（J（0，n1），J（0，n2），…，J（0，ns）），其中n1≥n2≥…≥ns，且n1+n2+…+ns=n.

由“李代數(shù)由結(jié)構(gòu)常數(shù)確定”易知如下引理成立.

引理設(shè)X、Y1、Y2∈gl（n，C），滿足[X，Yi]=X，令Li=span{X，Yi}，i=1、2，則L1與L2等價(jià)，當(dāng)且僅當(dāng)存在可逆矩陣T，使得TXT-1=X，TY1T-1=Y2.

推論1設(shè)X、Y為gl（n，C）中滿足[X，Y]=X的2個(gè)矩陣，則?λ∈C，存在可逆矩陣T，使得TXT-1=X且T（Y-λX）T-1=Y.

給定冪零矩陣X∈gl（n，C），令G={T∈GL（n，C）|TXT-1=X}，易知G為GL（n，C）的子群.令MX={Y∈gl（n，C）|[X，Y]=X}，則由（T，ξ）→TξT-1定義了群G在集合MX上的一個(gè)作用.因而，求表示的分類便轉(zhuǎn)化為求該作用下軌道的分類.文獻(xiàn)[10]用類似的方法求gl（3，R）中的子代數(shù)，實(shí)際上給出了L的三維復(fù)忠實(shí)表示的分類.由于計(jì)算的復(fù)雜性，本文僅給出L的四維復(fù)忠實(shí)表示的完全分類.

在復(fù)數(shù)域C上定義“字典排序”：a、b、c、d∈R，a+bi?c+di，當(dāng)且僅當(dāng)a

2 二維及三維表示的分類

定理1設(shè)L?gl（2，C）為二維非交換李代數(shù)，X、Y為L(zhǎng)的滿足[X，Y]=X的一組基，則在內(nèi)自同構(gòu)下有

3 四維表示的分類

定理3設(shè)L?gl（4，C）為二維非交換李代數(shù)，X、Y為L(zhǎng)的滿足[X，Y]=X的一組基，則在內(nèi)自同構(gòu)下有

其中λ1?λ2.

其中λ2?λ3.

證明因?yàn)閄為冪零矩陣，則在相似意義下有X=X1、X2、X3或X4，下面分情況討論.

（1）若X=X1，由[X，Y]=X可得

對(duì)以上形式相同的結(jié)果進(jìn)行合并，不難得到定理中的各種情形.根據(jù)相似的條件，通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算可知，上述矩陣生成的李代數(shù)均不等價(jià).

推論2在定理3的所有分類中，情形（1）不可分解，情形（2）的①和②不可分解，情形（3）的①和②不可分解，情形（4）的①、②、③和④不可分解，其他表示均可分解.