李 倩，周立群

（天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387）

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在過(guò)去幾十年中發(fā)展迅速，其在圖像處理、優(yōu)化控制、人工智能和模式識(shí)別等領(lǐng)域發(fā)揮了重要的作用.在實(shí)際應(yīng)用中需要神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具備一些動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，由于放大器的開(kāi)關(guān)速度是有限的，所以時(shí)滯在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)行過(guò)程中一定存在，因此探究時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)意義重大.同步性作為時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)行為之一，得到了廣泛關(guān)注.文獻(xiàn)[1-6]應(yīng)用Lyapunov泛函、Kronecker積和矩陣?yán)碚摰确椒?，提出了相?yīng)的同步控制策略，討論了幾類常時(shí)滯和變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步性，并給出了相應(yīng)的同步判定準(zhǔn)則.

近十年來(lái)，比例時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，并取得了一定的研究成果.文獻(xiàn)[7-14]通過(guò)構(gòu)建Lyapunov泛函和應(yīng)用時(shí)滯微分不等式等方法，對(duì)比例時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局漸近穩(wěn)定性、指數(shù)穩(wěn)定性和周期性等進(jìn)行了研究，得到了相應(yīng)的判定準(zhǔn)則.比例時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步性也得到了一些關(guān)注[15-17].文獻(xiàn)[15]通過(guò)應(yīng)用Lyapunov泛函研究一類比例時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步性.文獻(xiàn)[16]通過(guò)應(yīng)用集值映射、微分包含理論和不等式技巧，給出了比例時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同步性的條件.文獻(xiàn)[17]針對(duì)一類遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)首次提出了多項(xiàng)式同步的概念，并通過(guò)構(gòu)造Lyapunov泛函和應(yīng)用不等式技巧，設(shè)計(jì)合適的控制器，分別研究了以帶比例時(shí)滯和不帶比例時(shí)滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)系統(tǒng)的多項(xiàng)式同步性，并且揭示了指數(shù)同步性與多項(xiàng)式同步性之間的關(guān)系.

本文研究以比例時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)系統(tǒng)的多項(xiàng)式同步性.通過(guò)構(gòu)造Lyapunov泛函和應(yīng)用線性矩陣不等式的方法，得到了驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)系統(tǒng)多項(xiàng)式同步性的充分條件，并通過(guò)數(shù)值算例及其仿真進(jìn)行檢驗(yàn).

1 預(yù)備知識(shí)和模型

記E為單位矩陣，‖·‖為Euclidean范數(shù).矩陣A>（<，≥，≤）0表示矩陣A正定（負(fù)定，半正定，半負(fù)定）.矩陣A的最小特征值和譜半徑分別記為λmin（A）和ρ（A）.“*”表示矩陣中相應(yīng)的對(duì)稱部分.

考慮以如下比例時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)

式（4）關(guān)于t求導(dǎo)得v˙i（t）=etx˙i（et），對(duì)于t≥t0，由式（1）可得

2 主要結(jié)果

定理1 假設(shè)（H1）和（H2）成立，且存在矩陣P>0，N>0，對(duì)角矩陣Y0>0，Y1>0，S>0，常數(shù)α>1，使得

注1定理1通過(guò)證明系統(tǒng)（5）和（6）是全局指數(shù)同步的，來(lái)證明系統(tǒng)（1）和（2）是全局多項(xiàng)式同步的.

注2全局多項(xiàng)式同步和全局指數(shù)同步都是全局漸近同步，是其更明確、條件更強(qiáng)的細(xì)分情況，但兩者的收斂速度不同，全局指數(shù)同步的收斂速度和收斂階大于全局多項(xiàng)式同步.

注3文獻(xiàn)[6]研究的是有界變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步性，本文研究的是無(wú)界時(shí)變的比例時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步性，文獻(xiàn)[6]的結(jié)果不能直接應(yīng)用于本文模型.

定理2假設(shè)（H1）和（H2）成立，且存在矩陣P>0，N>0，對(duì)角矩陣Y0>0，Y1>0，H>0，常數(shù)α>1，使得

因?yàn)棣?0，所以有V˙（t）≤ηT（t）Ση（t），又因?yàn)棣彩秦?fù)定矩陣，所以存在正數(shù)ρ=λmin（-Σ）>0，使得V˙（t）≤-ρ‖（e（t）‖2.下面的證明過(guò)程與定理1類似，這里不再贅述.

注4定理1和定理2給出了2個(gè)保證驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)系統(tǒng)同步性的判定準(zhǔn)則，定理2的判定條件相較于定理1具有更強(qiáng)的時(shí)滯依賴性.定理1的判定矩陣中只有Ξ22項(xiàng)含有時(shí)滯，而定理2的判定矩陣中除Σ24外的非零項(xiàng)均含有時(shí)滯，在實(shí)際應(yīng)用中可根據(jù)需求選取合適的判定準(zhǔn)則.

注5本文給出了2個(gè)新的矩陣形式的同步性判定準(zhǔn)則，矩陣形式的判定條件便于使用Matlab工具箱進(jìn)行驗(yàn)證.

3 仿真研究

例 考慮比例時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

系統(tǒng)（25）從（0，0）T初始的解軌跡的相圖見(jiàn)圖1，由圖1可見(jiàn)，系統(tǒng)（25）是混沌的.

圖1 系統(tǒng)（25）以（0，0）T為初值的相軌跡Fig.1 Phase trajectory of system（25）with（0，0）T as initial value

在無(wú)控制的條件下，系統(tǒng)（26）從（0.60，0.65）T初始的解軌跡的相圖見(jiàn)圖2，由圖2可見(jiàn)，系統(tǒng)（26）也是混沌的.在有控制的條件下，系統(tǒng)（26）從（0.60，0.65）T初始的解軌跡的相圖見(jiàn)圖3，由圖3可見(jiàn)，除初始部分外，系統(tǒng)（25）和（26）的相圖基本一致.

圖2 系統(tǒng)（26）以（0.60，0.65）T為初值無(wú)控制的相軌跡Fig.2 Phase trajectory of system（26）with（0.60，0.65）T asinitial value without control

圖3 系統(tǒng)（26）以（0.60，0.65）T為初值有控制的相軌跡Fig.3 Phase trajectory of system（26）with（0.60，0.65）T as initial value with control

使用Matlab工具箱，通過(guò)計(jì)算可得矩陣

同樣，使用Matlab工具箱，通過(guò)計(jì)算可得矩陣使得Σ<0，因此定理2成立.

系統(tǒng)（25）的初始條件為（x1（s），x2（s））T=（0，0）T（0.1≤s≤1），系統(tǒng)（26）的初始條件為（z1（s），z2（s））T=（0.60，0.65）T（0.1≤s≤1），系統(tǒng)（25）和（26）同步性的時(shí)間響應(yīng)曲線見(jiàn)圖4，由圖4可見(jiàn)，系統(tǒng)（25）和（26）實(shí)現(xiàn)了同步.取不同的初始條件，同步性的時(shí)間響應(yīng)曲線見(jiàn)圖5，由圖5可見(jiàn)，系統(tǒng)（25）和（26）仍然是同步的.

圖4 系統(tǒng)（25）和（26）的時(shí)間響應(yīng)曲線Fig.4 Time response curves of systems（25）and（26）

圖5 多個(gè)初值下系統(tǒng)（25）和（26）的時(shí)間響應(yīng)曲線Fig.5 Time response curves of systems（25）and（26）under multiple initial values

注6除時(shí)滯項(xiàng)外，本文算例的參數(shù)與文獻(xiàn)[6]中的例1均一致，但文獻(xiàn)[6]的結(jié)果不能直接應(yīng)用于本文模型，本文模型是無(wú)界時(shí)滯的，具有更低的保守性.

注7在文獻(xiàn)[15，17，19]中，控制器的設(shè)計(jì)非常精妙，但同時(shí)對(duì)控制器的要求也很高.與相同模型的文獻(xiàn)[15]相比，本文對(duì)控制器的約束條件更弱，因此本文結(jié)果更具一般性，在實(shí)際應(yīng)用中具有更低的保守性.

4 結(jié)語(yǔ)

本文應(yīng)用Lyapunov穩(wěn)定性理論和線性矩陣不等式的方法分析了以比例時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)系統(tǒng)的全局多項(xiàng)式同步性，得到新的保證驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)系統(tǒng)多項(xiàng)式同步的判定條件，并通過(guò)數(shù)值算例及其仿真進(jìn)行檢驗(yàn)，判定條件易于應(yīng)用Matlab工具箱進(jìn)行驗(yàn)證.下一步工作是實(shí)現(xiàn)比例時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步性在保密通信中的應(yīng)用.