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        知識(shí)巧交匯 數(shù)列妙應(yīng)用

        2022-04-16 14:51:20安徽省阜陽(yáng)市紅旗中學(xué)王茂快
        中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年13期
        關(guān)鍵詞:項(xiàng)是交匯關(guān)系式

        ?安徽省阜陽(yáng)市紅旗中學(xué) 王茂快

        1 引言

        在“知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)處設(shè)計(jì)試題”是高考數(shù)學(xué)大綱的明確要求與高考數(shù)學(xué)命題的指導(dǎo)思想之一,作為高中數(shù)學(xué)的主干知識(shí)之一的數(shù)列,更是多知識(shí)交匯與綜合的重要場(chǎng)所,是創(chuàng)新應(yīng)用與創(chuàng)新意識(shí)的更深層次體現(xiàn),在高考中的地位將越來(lái)越重要,是每年高考數(shù)學(xué)中的熱點(diǎn)與亮點(diǎn)之一.數(shù)列的交匯綜合問(wèn)題,以數(shù)列的相關(guān)知識(shí)為背景或串聯(lián)點(diǎn),把相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)加以合理創(chuàng)新與交匯,類型多樣,變化多端,倍受關(guān)注.

        2 數(shù)列與新信息的交匯綜合

        含“新信息”情境背景的數(shù)列交匯綜合問(wèn)題,經(jīng)常以圖表遷移、新運(yùn)算、新概念、新情境等形式出現(xiàn).此類問(wèn)題與新信息相關(guān),變化形式多樣,要運(yùn)用的相關(guān)知識(shí)隱藏比較深,破解的關(guān)鍵是找到解題的方向,借助數(shù)列的相關(guān)知識(shí)來(lái)分析與處理.

        例1如圖1,是某省從1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增確診病例變化曲線圖.

        圖1

        若該省從1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增確診病例數(shù)按日期順序排列構(gòu)成數(shù)列{an},{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則下列說(shuō)法中正確的是( ).

        A.數(shù)列{an}是遞增數(shù)列

        B.數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列

        C.數(shù)列{an}的最大項(xiàng)是a11

        D.數(shù)列{Sn}的最大項(xiàng)是S11

        解析:因?yàn)?月28日的新增確診病例數(shù)小于1月27日的新增確診病例數(shù),即a7>a8,所以{an}不是遞增數(shù)列,所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

        因?yàn)?月23日新增確診病例數(shù)為0,所以S33=S34,所以數(shù)列{Sn}不是遞增數(shù)列,所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤;

        因?yàn)?月31日新增確診病例數(shù)最多,從1月21日算起,1月31日是第11天,所以數(shù)列{an}的最大項(xiàng)是a11,所以選項(xiàng)C正確;

        數(shù)列{Sn}的最大項(xiàng)是S35,所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

        故選擇答案:C.

        點(diǎn)評(píng):以新情境為問(wèn)題背景,結(jié)合數(shù)列的變化曲線圖,利用圖表遷移,數(shù)形結(jié)合,根據(jù)具體的數(shù)據(jù)建立相應(yīng)的數(shù)列,并結(jié)合通項(xiàng)、求和、數(shù)列性質(zhì)等來(lái)分析相應(yīng)的說(shuō)法的正確性問(wèn)題.

        3 數(shù)列與函數(shù)的交匯綜合

        數(shù)列與函數(shù)的交匯綜合問(wèn)題主要包括:(1)借助函數(shù)條件來(lái)解決數(shù)列問(wèn)題,一般利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)來(lái)研究數(shù)列問(wèn)題;(2)借助數(shù)列條件來(lái)解決函數(shù)問(wèn)題,一般利用數(shù)列的取值范圍、公式、求和方法,結(jié)合式子進(jìn)行化簡(jiǎn)變形來(lái)研究函數(shù)問(wèn)題.

        例2(多選題)定義在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函數(shù)f(x),如果對(duì)任意給定的等比數(shù)列{an},{f(an)}仍是等比數(shù)列,那么稱函數(shù)f(x)為“保等比數(shù)列函數(shù)”.現(xiàn)有定義在(-∞,0)∪(0,+∞)上的如下函數(shù),其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的為( ).

        A.f(x)=x3B.f(x)=ex

        故選擇答案:AC.

        點(diǎn)評(píng):以創(chuàng)新函數(shù)定義為問(wèn)題背景,結(jié)合數(shù)列與函數(shù)的交匯綜合來(lái)設(shè)置問(wèn)題,借助函數(shù)的解析式,通過(guò)等比數(shù)列的定義與性質(zhì),對(duì)比創(chuàng)新定義逐一剖析,進(jìn)而判定是否滿足對(duì)應(yīng)的創(chuàng)新定義問(wèn)題.

        4 數(shù)列與不等式的交匯綜合

        數(shù)列與不等式的交匯綜合問(wèn)題主要包括:(1)研究數(shù)列中項(xiàng)或前n項(xiàng)和的最值,一般利用數(shù)列的單調(diào)性來(lái)解決;(2)研究數(shù)列與不等式的交匯融合,一般通過(guò)分解、轉(zhuǎn)化為數(shù)列與不等式單獨(dú)的問(wèn)題,各自利用相關(guān)知識(shí)點(diǎn)來(lái)解決.

        例3已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,設(shè)bn=anan+1an+2,若S7

        A.6 B.7 C.8 D.9

        解析:由S7

        設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.

        由于a8+a9+a10>0,即3(a1+8d)>0,可得a9>0.又a9+a10<0,則知a10<0,所以d<0.

        所以等差數(shù)列{an}是遞減數(shù)列,且a7>0,a8>0,a9>0,a10<0.

        所以b1>0,b2>0,……,b7>0,b8<0,b9>0,b10<0,b11<0,……

        由于b9+b8=a9a10(a11+a8),a11+a8=a9+a10<0,a10<0,a9>0,所以b9+b8>0,即當(dāng)Tn取得最大值時(shí),n=9.

        故選擇答案:D.

        5 數(shù)列與解析幾何的交匯綜合

        數(shù)列與解析幾何的交匯綜合,經(jīng)常借助解析幾何曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系等來(lái)探究數(shù)列的遞推關(guān)系式問(wèn)題.破解的步驟是:①分析曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的條件;②探究數(shù)列的遞推關(guān)系式,并進(jìn)行檢驗(yàn).

        圖2

        解析:當(dāng)r1=1時(shí),圓C1:x2+(y-a1)2=1.

        將圓C1的方程與y=x2聯(lián)立,消去x,得y2-(2a1-1)y+a12-1=0.

        由圖可知當(dāng)n≥2時(shí),an=an-1+rn-1+rn.

        將x2+(y-an)2=rn2與y=x2聯(lián)立,消去x,得

        y2-(2an-1)y+an2-rn2=0.

        對(duì)于當(dāng)代大學(xué)生來(lái)說(shuō),多掌握一門語(yǔ)言對(duì)于自身發(fā)展和未來(lái)職業(yè)規(guī)劃具有重要的意義。德語(yǔ)作為世界大國(guó)語(yǔ)言之一,并且德語(yǔ)國(guó)家的經(jīng)濟(jì)實(shí)力強(qiáng)大,在世界占有重要的位置。因此中國(guó)多數(shù)大學(xué)都設(shè)有德語(yǔ)專業(yè),并且很多綜合類大學(xué)、語(yǔ)言類大學(xué)以及眾多偏理工類的大學(xué)都將德語(yǔ)作為一門重要的外語(yǔ),配備了完善的師資力量。

        點(diǎn)評(píng):以平面解析幾何為問(wèn)題背景,通過(guò)曲線與圓的相切,結(jié)合函數(shù)與方程思維的應(yīng)用,代入消參,建立對(duì)應(yīng)的方程,并利用判別式的建立與轉(zhuǎn)化來(lái)確定數(shù)列的遞推關(guān)系式,進(jìn)而結(jié)合數(shù)列的相關(guān)知識(shí)來(lái)分析與處理.

        6 數(shù)列與平面向量的交匯綜合

        數(shù)列與平面向量的交匯綜合問(wèn)題往往是把數(shù)列的項(xiàng)或前n項(xiàng)和滲透在平面向量的線性運(yùn)算或坐標(biāo)運(yùn)算中,利用向量滿足的條件轉(zhuǎn)化得到數(shù)列的遞推關(guān)系式,進(jìn)一步解決數(shù)列的相關(guān)問(wèn)題.

        A.31 B.33 C.63 D.65

        解析:如圖3所示,連接BD,設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F.因?yàn)椤鰽CD的面積是△ABC的面積的2倍,所以DF=2BE.

        圖3

        所以

        an+1-3=2(an-2),

        an+1-1=2(an-1).

        因此,數(shù)列{an-1}是首項(xiàng)為a1-1=2,公比為2的等比數(shù)列,an-1=2×2n-1=2n,則an=2n+1,從而a5=25+1=33.

        故選擇答案:B.

        點(diǎn)評(píng):以平面幾何圖形為問(wèn)題背景,結(jié)合平面幾何的相關(guān)知識(shí)、平面向量的線性運(yùn)算等加以分解與展開(kāi),巧妙轉(zhuǎn)化并確定平面向量的相關(guān)參數(shù),建立數(shù)列的遞推關(guān)系式,為數(shù)列的進(jìn)一步分析與求解提供條件.

        7 結(jié)束語(yǔ)

        數(shù)列與其他知識(shí)的交匯綜合問(wèn)題,一直都是歷年高考數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)所在與熟悉面孔,巧妙通過(guò)數(shù)與形的結(jié)合,溝通不同數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián),增加數(shù)學(xué)之間的交匯與綜合,提升問(wèn)題的趣味性與拓展性,增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新應(yīng)用,提升數(shù)學(xué)能力,提高數(shù)學(xué)品質(zhì),培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

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