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        知識巧交匯 數(shù)列妙應用

        2022-04-16 14:51:20安徽省阜陽市紅旗中學王茂快
        中學數(shù)學 2022年13期
        關(guān)鍵詞:項是交匯關(guān)系式

        ?安徽省阜陽市紅旗中學 王茂快

        1 引言

        在“知識網(wǎng)絡(luò)交匯點處設(shè)計試題”是高考數(shù)學大綱的明確要求與高考數(shù)學命題的指導思想之一,作為高中數(shù)學的主干知識之一的數(shù)列,更是多知識交匯與綜合的重要場所,是創(chuàng)新應用與創(chuàng)新意識的更深層次體現(xiàn),在高考中的地位將越來越重要,是每年高考數(shù)學中的熱點與亮點之一.數(shù)列的交匯綜合問題,以數(shù)列的相關(guān)知識為背景或串聯(lián)點,把相關(guān)的數(shù)學知識加以合理創(chuàng)新與交匯,類型多樣,變化多端,倍受關(guān)注.

        2 數(shù)列與新信息的交匯綜合

        含“新信息”情境背景的數(shù)列交匯綜合問題,經(jīng)常以圖表遷移、新運算、新概念、新情境等形式出現(xiàn).此類問題與新信息相關(guān),變化形式多樣,要運用的相關(guān)知識隱藏比較深,破解的關(guān)鍵是找到解題的方向,借助數(shù)列的相關(guān)知識來分析與處理.

        例1如圖1,是某省從1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增確診病例變化曲線圖.

        圖1

        若該省從1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增確診病例數(shù)按日期順序排列構(gòu)成數(shù)列{an},{an}的前n項和為Sn,則下列說法中正確的是( ).

        A.數(shù)列{an}是遞增數(shù)列

        B.數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列

        C.數(shù)列{an}的最大項是a11

        D.數(shù)列{Sn}的最大項是S11

        解析:因為1月28日的新增確診病例數(shù)小于1月27日的新增確診病例數(shù),即a7>a8,所以{an}不是遞增數(shù)列,所以選項A錯誤;

        因為2月23日新增確診病例數(shù)為0,所以S33=S34,所以數(shù)列{Sn}不是遞增數(shù)列,所以選項B錯誤;

        因為1月31日新增確診病例數(shù)最多,從1月21日算起,1月31日是第11天,所以數(shù)列{an}的最大項是a11,所以選項C正確;

        數(shù)列{Sn}的最大項是S35,所以選項D錯誤.

        故選擇答案:C.

        點評:以新情境為問題背景,結(jié)合數(shù)列的變化曲線圖,利用圖表遷移,數(shù)形結(jié)合,根據(jù)具體的數(shù)據(jù)建立相應的數(shù)列,并結(jié)合通項、求和、數(shù)列性質(zhì)等來分析相應的說法的正確性問題.

        3 數(shù)列與函數(shù)的交匯綜合

        數(shù)列與函數(shù)的交匯綜合問題主要包括:(1)借助函數(shù)條件來解決數(shù)列問題,一般利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)來研究數(shù)列問題;(2)借助數(shù)列條件來解決函數(shù)問題,一般利用數(shù)列的取值范圍、公式、求和方法,結(jié)合式子進行化簡變形來研究函數(shù)問題.

        例2(多選題)定義在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函數(shù)f(x),如果對任意給定的等比數(shù)列{an},{f(an)}仍是等比數(shù)列,那么稱函數(shù)f(x)為“保等比數(shù)列函數(shù)”.現(xiàn)有定義在(-∞,0)∪(0,+∞)上的如下函數(shù),其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的為( ).

        A.f(x)=x3B.f(x)=ex

        故選擇答案:AC.

        點評:以創(chuàng)新函數(shù)定義為問題背景,結(jié)合數(shù)列與函數(shù)的交匯綜合來設(shè)置問題,借助函數(shù)的解析式,通過等比數(shù)列的定義與性質(zhì),對比創(chuàng)新定義逐一剖析,進而判定是否滿足對應的創(chuàng)新定義問題.

        4 數(shù)列與不等式的交匯綜合

        數(shù)列與不等式的交匯綜合問題主要包括:(1)研究數(shù)列中項或前n項和的最值,一般利用數(shù)列的單調(diào)性來解決;(2)研究數(shù)列與不等式的交匯融合,一般通過分解、轉(zhuǎn)化為數(shù)列與不等式單獨的問題,各自利用相關(guān)知識點來解決.

        例3已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,設(shè)bn=anan+1an+2,若S7

        A.6 B.7 C.8 D.9

        解析:由S7

        設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.

        由于a8+a9+a10>0,即3(a1+8d)>0,可得a9>0.又a9+a10<0,則知a10<0,所以d<0.

        所以等差數(shù)列{an}是遞減數(shù)列,且a7>0,a8>0,a9>0,a10<0.

        所以b1>0,b2>0,……,b7>0,b8<0,b9>0,b10<0,b11<0,……

        由于b9+b8=a9a10(a11+a8),a11+a8=a9+a10<0,a10<0,a9>0,所以b9+b8>0,即當Tn取得最大值時,n=9.

        故選擇答案:D.

        5 數(shù)列與解析幾何的交匯綜合

        數(shù)列與解析幾何的交匯綜合,經(jīng)常借助解析幾何曲線上點的坐標關(guān)系等來探究數(shù)列的遞推關(guān)系式問題.破解的步驟是:①分析曲線上點的坐標滿足的條件;②探究數(shù)列的遞推關(guān)系式,并進行檢驗.

        圖2

        解析:當r1=1時,圓C1:x2+(y-a1)2=1.

        將圓C1的方程與y=x2聯(lián)立,消去x,得y2-(2a1-1)y+a12-1=0.

        由圖可知當n≥2時,an=an-1+rn-1+rn.

        將x2+(y-an)2=rn2與y=x2聯(lián)立,消去x,得

        y2-(2an-1)y+an2-rn2=0.

        對于當代大學生來說,多掌握一門語言對于自身發(fā)展和未來職業(yè)規(guī)劃具有重要的意義。德語作為世界大國語言之一,并且德語國家的經(jīng)濟實力強大,在世界占有重要的位置。因此中國多數(shù)大學都設(shè)有德語專業(yè),并且很多綜合類大學、語言類大學以及眾多偏理工類的大學都將德語作為一門重要的外語,配備了完善的師資力量。

        點評:以平面解析幾何為問題背景,通過曲線與圓的相切,結(jié)合函數(shù)與方程思維的應用,代入消參,建立對應的方程,并利用判別式的建立與轉(zhuǎn)化來確定數(shù)列的遞推關(guān)系式,進而結(jié)合數(shù)列的相關(guān)知識來分析與處理.

        6 數(shù)列與平面向量的交匯綜合

        數(shù)列與平面向量的交匯綜合問題往往是把數(shù)列的項或前n項和滲透在平面向量的線性運算或坐標運算中,利用向量滿足的條件轉(zhuǎn)化得到數(shù)列的遞推關(guān)系式,進一步解決數(shù)列的相關(guān)問題.

        A.31 B.33 C.63 D.65

        解析:如圖3所示,連接BD,設(shè)AC與BD交于點O,過點B作BE⊥AC于點E,過點D作DF⊥AC于點F.因為△ACD的面積是△ABC的面積的2倍,所以DF=2BE.

        圖3

        所以

        an+1-3=2(an-2),

        an+1-1=2(an-1).

        因此,數(shù)列{an-1}是首項為a1-1=2,公比為2的等比數(shù)列,an-1=2×2n-1=2n,則an=2n+1,從而a5=25+1=33.

        故選擇答案:B.

        點評:以平面幾何圖形為問題背景,結(jié)合平面幾何的相關(guān)知識、平面向量的線性運算等加以分解與展開,巧妙轉(zhuǎn)化并確定平面向量的相關(guān)參數(shù),建立數(shù)列的遞推關(guān)系式,為數(shù)列的進一步分析與求解提供條件.

        7 結(jié)束語

        數(shù)列與其他知識的交匯綜合問題,一直都是歷年高考數(shù)學中的重點所在與熟悉面孔,巧妙通過數(shù)與形的結(jié)合,溝通不同數(shù)學知識之間的關(guān)聯(lián),增加數(shù)學之間的交匯與綜合,提升問題的趣味性與拓展性,增強創(chuàng)新意識與創(chuàng)新應用,提升數(shù)學能力,提高數(shù)學品質(zhì),培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng).

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