李麗娟 明飛 宋學(xué)科 葉柳 王棟?

1) (安徽大學(xué)物理與光電工程學(xué)院，合肥 230601)

不確定關(guān)系是量子力學(xué)的基本特征之一,隨著量子信息理論的蓬勃發(fā)展,不確定關(guān)系更是在其中發(fā)揮著重要的作用.特別是將熵引入來(lái)描述不確定關(guān)系之后,不確定關(guān)系在量子信息技術(shù)中涌現(xiàn)出多種應(yīng)用.眾所周知,熵不確定度關(guān)系已成為幾乎所有量子密碼協(xié)議安全分析的核心要素.這篇綜述主要回顧不確定關(guān)系的發(fā)展歷史和最新研究進(jìn)展,從Heisenberg 提出不相容測(cè)量其結(jié)果是不能被預(yù)測(cè)伊始,許多學(xué)者在該觀點(diǎn)的啟發(fā)下,做了進(jìn)一步的相關(guān)擴(kuò)展研究,將可觀測(cè)物體與環(huán)境之間的量子關(guān)聯(lián)結(jié)合起來(lái),對(duì)不確定關(guān)系進(jìn)行各種推廣從而得到更普適的數(shù)學(xué)表達(dá)式.除此以外,本文還重點(diǎn)介紹了量子存儲(chǔ)下的熵不確定度關(guān)系及其發(fā)展,也介紹了在某些物理系統(tǒng)中對(duì)應(yīng)的動(dòng)力學(xué)特性.最后討論了熵不確定度關(guān)系在量子信息領(lǐng)域的各種應(yīng)用,從隨機(jī)數(shù)到波粒二象性再到量子密鑰分發(fā).

1 引言

量子力學(xué)顛覆了我們一直以來(lái)用經(jīng)典力學(xué)的方式來(lái)研究世界運(yùn)行規(guī)律的傳統(tǒng)觀念,許多無(wú)法用經(jīng)典力學(xué)理論來(lái)解釋的微觀現(xiàn)象,量子力學(xué)都可以解釋.在量子力學(xué)領(lǐng)域,不確定關(guān)系是一個(gè)極為重要的概念,也被稱作測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系,它實(shí)質(zhì)上反映的是微觀粒子運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律,這也是量子力學(xué)區(qū)別于經(jīng)典力學(xué)的判據(jù)之一.1927 年,Heisenberg[1]通過(guò)對(duì)假想實(shí)驗(yàn)的分析首次提出不確定關(guān)系(示意圖參照?qǐng)D1),該不確定關(guān)系展示了人們無(wú)法同時(shí)準(zhǔn)確預(yù)測(cè)一對(duì)非對(duì)易觀測(cè)量的測(cè)量結(jié)果,也就是說(shuō),對(duì)粒子動(dòng)量預(yù)測(cè)的結(jié)果準(zhǔn)確性越高,那么對(duì)其位置預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性就越低,反之亦然.隨后,這個(gè)關(guān)系式由Kennard[2]給出了嚴(yán)格證明.隨著深入研究,人們發(fā)現(xiàn),不確定關(guān)系不僅適用于位置和動(dòng)量這對(duì)非對(duì)易物理量,對(duì)于其他成對(duì)的非對(duì)易可觀測(cè)量同樣適用,比如諧振子的相位與激發(fā)數(shù)、粒子的角度與軌道角動(dòng)量等.據(jù)此,關(guān)于任意兩個(gè)可觀測(cè)量,Robertson[3]提出了更為普適的不確定度不等式.值得注意的是,這個(gè)公式雖然普適,但也不是量化不確定性的最佳不等式,它亦有不足之處,這點(diǎn)本文將在第2 節(jié)中給出具體分析.

圖1 每個(gè)從粒子源發(fā)出的粒子都是用P 或Q 來(lái)測(cè)量的,測(cè)量的選擇是隨機(jī)的.不確定關(guān)系指出我們不能預(yù)測(cè)P和Q 的測(cè)量結(jié)果Fig.1.Each particle emitted from the particle source is measured by P or Q,and the choice of measurement is random.The uncertainty relation indicates that we cannot predict the outcomes of both P and Q.

隨著量子信息理論的不斷發(fā)展,Deutsch[4]指出標(biāo)準(zhǔn)差用來(lái)量化不確定度有它自身的局限性,同時(shí)學(xué)者們發(fā)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)差并不是量化不確定度的唯一方式,所以也逐漸衍生出許多其他方式來(lái)量化不確定度.其中,Everett[5]和Hirschman[6]首次提出關(guān)于位置和動(dòng)量的熵不確定度關(guān)系,這也是第一個(gè)熵不確定度關(guān)系.隨后,這個(gè)不確定關(guān)系被推廣到任意兩個(gè)非對(duì)易的可觀測(cè)量.由于Robertson 提出的不等式下界是依賴于系統(tǒng)的態(tài),為了克服這一弊端,Deutsch[4]利用信息熵構(gòu)造了一個(gè)全新的熵不確定度不等式.之后在Kraus[7]推測(cè)的啟發(fā)下,Maassen和Uffink[8]延續(xù)Deutsch 的結(jié)論進(jìn)而提出了一個(gè)著名的熵不確定度關(guān)系式.除上述方式之外,本文第2 節(jié)將回顧多種形式的不確定關(guān)系.

通常情況下,人們可用猜測(cè)游戲來(lái)演示不確定關(guān)系的物理意義.在猜測(cè)游戲中(如圖2 所示),假設(shè)有兩位觀察者Alice和Bob,現(xiàn)在Bob 準(zhǔn)備了一個(gè)任意的態(tài)ρA并且將它發(fā)送給了Alice,Alice在收到這個(gè)態(tài)之后,隨機(jī)在兩個(gè)(或多個(gè))測(cè)量選擇中選定某一個(gè)作用在態(tài)ρA上,并記錄下測(cè)量結(jié)果,隨后Alice 告訴Bob 她的測(cè)量選擇,Bob 的任務(wù)就是猜出Alice 的測(cè)量結(jié)果.不確定性原理告訴我們,如果Alice 做了兩個(gè)不相容的測(cè)量,那么Bob 就無(wú)法準(zhǔn)確地猜測(cè)出兩次測(cè)量的結(jié)果,這也正好對(duì)應(yīng)了制備不確定性的概念.而熵不確定度關(guān)系,比如Maassen-Uffink 關(guān)系式可以被認(rèn)為是最佳猜測(cè)概率的基本約束.這個(gè)猜測(cè)游戲引發(fā)學(xué)者繼續(xù)思考:在剛提及的游戲中,Bob 只能通過(guò)經(jīng)典信息來(lái)獲得關(guān)于被測(cè)粒子制備的相關(guān)信息,若讓Bob 除經(jīng)典信息外還能獲取相關(guān)量子信息,那么能否提高Bob 對(duì)Alice 的測(cè)量結(jié)果的猜測(cè)概率呢？具體來(lái)說(shuō)也就是如果Bob 準(zhǔn)備的是一個(gè)雙粒子系統(tǒng),且這兩個(gè)粒子之間是相互關(guān)聯(lián)的,隨后Bob 只發(fā)送了其中一個(gè)粒子給Alice,留下另一個(gè)粒子作為量子存儲(chǔ),那么在這種情況下,Bob 就可以通過(guò)兩粒子之間的關(guān)聯(lián)獲取量子信息,考慮到這些,Berta 等[9]以及Renes和Boileau[10]順著這個(gè)思路完成了相關(guān)研究,并提出了一種新的熵不確定度關(guān)系,被稱為量子存儲(chǔ)下的熵不確定度關(guān)系,隨后也有許多工作在該主題下展開,比如三體系統(tǒng)的熵不確定度關(guān)系,還有各種模型下熵不確定度動(dòng)力學(xué)等,這些工作進(jìn)展都將在本文的第3 節(jié)中一一展示.

圖2 玩家Alice和Bob 的猜測(cè)游戲.首先,Bob 準(zhǔn)備ρA并把A 發(fā)送給Alice.然后,Alice 以相等的概率進(jìn)行 Q或R測(cè)量,并將測(cè)量選項(xiàng)存儲(chǔ)在Θ 中.第三,Alice 得出測(cè)量結(jié)果并將其存儲(chǔ)在K,且向Bob 透露測(cè)量選擇Θ.Bob 的任務(wù)是猜測(cè)K(給定Θ)Fig.2.A guessing game between players Alice and Bob.First,Bob prepares ρA and sends A to Alice.Then,Alice performs measurement Qor R with equal probability on A,and stores the measurement options in Θ.Third,Alice stores the measurement result in the K bit and tells Bob about her option Θ.Bob’s task is to guess K (given Θ).

除了在理論上對(duì)不確定關(guān)系進(jìn)行不斷地探索之外,量子信息理論的蓬勃發(fā)展也為不確定度關(guān)系打開了應(yīng)用的大門.目前,不確定度關(guān)系廣泛應(yīng)用于包括糾纏目擊、量子隱形傳態(tài)、量子密碼學(xué)、量子密鑰分發(fā)、隨機(jī)數(shù)等量子信息研究領(lǐng)域,相關(guān)應(yīng)用將會(huì)在第4 節(jié)進(jìn)行詳細(xì)的討論.

2 不同種類的不確定關(guān)系

不確定關(guān)系最開始是基于動(dòng)量和位置提出的,隨著量子信息理論的興起和發(fā)展,眾多學(xué)者在研究不確定關(guān)系的過(guò)程中引入標(biāo)準(zhǔn)差、熵等概念,逐漸形成了不同種類的不確定關(guān)系分支,本節(jié)主要考慮單個(gè)系統(tǒng)A的不確定關(guān)系,介紹幾種不同形式的不確定關(guān)系.

2.1 基于標(biāo)準(zhǔn)差的不確定關(guān)系

首先,Heisenberg[1]提出了著名的不確定性關(guān)系,并由Kennard 進(jìn)行了嚴(yán)格的證明,它可以表示為

這里的 Δx和 Δp分別代表位置和動(dòng)量的標(biāo)準(zhǔn)差? 是普朗克常數(shù).該不確定關(guān)系指出人們無(wú)法同時(shí)確定地獲得某個(gè)粒子的位置和動(dòng)量的精確測(cè)量結(jié)果.在此基礎(chǔ)上,對(duì)于任意兩個(gè)非對(duì)易的可觀測(cè)量Q和R,Robertson[3]推廣得到了一個(gè)新的不等式:

這里的[Q,R]QR-RQ,〈τ〉〈ψ|τ|ψ〉是可觀測(cè)量τ在量子態(tài)|ψ〉下的期望值.正如引言所說(shuō),(2)式并不是完美的,它的缺點(diǎn)是當(dāng)系統(tǒng)準(zhǔn)備的態(tài)是選取的兩個(gè)可觀測(cè)量的本征態(tài)時(shí),通過(guò)計(jì)算可知,Robertson 不等式所展現(xiàn)出的下界(不等式的右側(cè))就會(huì)變?yōu)榱?此時(shí)結(jié)果顯得過(guò)于平庸.也就是說(shuō)這個(gè)不等式的下界依賴于系統(tǒng)的態(tài).接著Schr?dinger[11]通過(guò)附加一個(gè)反對(duì)易子項(xiàng)強(qiáng)化(2)式得出:

然而,(2)式和(3)式的下界是與狀態(tài)相關(guān)的.如果系統(tǒng)由Q或R中的某一個(gè)本征態(tài)制備,很容易算出來(lái),即(2)式和(3)式的下界為零,這意味著在這種情況下,用標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)測(cè)量不確定性將變得沒(méi)有意義.隨后Maccone和Pati[12]為了消除了這個(gè)缺點(diǎn)提出了一個(gè)新的不確定關(guān)系:

這里的B1±i|〈[Q,R]〉|+|〈ψ|Q±iR|ψ⊥〉|2,B2態(tài)|ψ⊥〉正交于|ψ〉.(4)式表示的不確定關(guān)系已經(jīng)在實(shí)驗(yàn)[13-15]上得到了驗(yàn)證.

2.2 基于熵的不確定關(guān)系

從技術(shù)上講,除了上面提到的偏差以外還有另一種有效而直接的方法來(lái)描述不確定性關(guān)系,即熵.Everett[5]和Hirschman[6]首次引入熵來(lái)描述測(cè)不準(zhǔn)原理.隨后,Bia?ynicki-Birula和Mycielski[16]嚴(yán)格證明了關(guān)于位置與動(dòng)量的微分熵不確定度關(guān)系:

其中h表示的是微分熵,考慮一個(gè)由概率密度Γ(q)控制的隨機(jī)變量Q,微分熵可以表示為

假設(shè)這個(gè)量屬于高斯概率分布,則滿足

將(7)式代入(6)式來(lái)計(jì)算高斯分布的熵更直觀,代入得到:

又由于高斯概率分布使熵最大化,所以對(duì)于一個(gè)一般分布的隨機(jī)變量,下面的不等式始終成立:

現(xiàn)在考慮粒子平移自由度的任意量子態(tài),它分別產(chǎn)生位置和動(dòng)量的隨機(jī)變量Q和P,然后將得到的結(jié)果不等式代入到(5)式得出

最后,結(jié)合(10)式和(11)式很容易推斷出之前關(guān)于位置與動(dòng)量的結(jié)果 Δx·Δp≥?/2 .

眾所周知,香農(nóng)熵[17]在信息論中起著基礎(chǔ)而又關(guān)鍵的作用,在經(jīng)典物理學(xué)領(lǐng)域量化了給定系統(tǒng)狀態(tài)下的信息量.通過(guò)引入香農(nóng)熵,Deutsch[4]提出了一個(gè)不確定關(guān)系,寫成

隨后,基于Deutsch 的開創(chuàng)性工作,Maassen和Uffink[8]遵循Kraus 的猜想對(duì)(13)式進(jìn)行了優(yōu)化,對(duì)任意的態(tài)ρA,

注意(13)式和(14)式中的下界都是和初態(tài)無(wú)關(guān)的,這一點(diǎn)和Robertson 提出的下界形成了對(duì)比.Korzekwa 及其團(tuán)隊(duì)[18]表示,通過(guò)考慮總的不確定性,單比特系統(tǒng)的Maassen-Uffink 不等式可以改進(jìn)為

此外,從香農(nóng)熵出發(fā),Rényi[19]提出一個(gè)相對(duì)更普遍的熵版本,可以為具有高或低信息量的事件提供更大的權(quán)重.由于其固有的數(shù)學(xué)性質(zhì),這些不同類型的熵可以很好地應(yīng)用于量子密碼學(xué)和信息論.一般來(lái)說(shuō),x階的Rényi 熵定義為

x的范圍是[0,∞] .當(dāng)x1 時(shí),Rényi 熵就會(huì)恢復(fù)到Shannon 熵,Shannon 熵可以說(shuō)是Rényi 熵的一種特殊形式.Maassen和Uffink[8]還指出,從Rényi 熵的角度出發(fā)(14)式會(huì)變得更普適,對(duì)任意的,有以下關(guān)系:

當(dāng)xy1時(shí),(17)式和(14)式一致,當(dāng)x→∞,y→時(shí),可以得到另一個(gè)關(guān)于(17)式用最小熵和最大熵來(lái)描述的特殊例子:

由于最小熵表征了正確猜測(cè)結(jié)果Q的概率,因此這種類型不確定關(guān)系在量子密碼學(xué)和量子信息論中應(yīng)用最為廣泛.

除上面說(shuō)的三種熵不確定度關(guān)系外,也有學(xué)者推導(dǎo)出了時(shí)間-能量熵不確定度關(guān)系[20],比如Rastegin[21]通過(guò)Pegg[22]的方法推導(dǎo)出了能量-時(shí)間的熵不確定度關(guān)系.

2.3 Majorization 不確定關(guān)系

另外一種獲得與熵直接相關(guān)的不確定關(guān)系的方法就是Majorization 方法,代替之前的概率之和,該方法采用的是概率的乘積.這個(gè)想法是由Partovi[23]首次提出,然后由Friedland 小組[24]和Pucha?a 小組[25]進(jìn)一步推廣和發(fā)展.現(xiàn)有兩個(gè)半正定算子值(positive operator-valued measures,POVM) X{Xx}x和 Z{Zz}z,用這兩個(gè)測(cè)量對(duì)系統(tǒng)ρA進(jìn)行測(cè)量,根據(jù)玻恩定則可以得到概率分布分別為PX(x)Tr(ρAXx)和PZ(z)Tr(ρAZz) .可以用和來(lái)表示相應(yīng)的重新排序的向量,方便概率按從大到小的順序排列.

對(duì)?ρ∈S(H) 即希爾伯特空間都成立.這樣的關(guān)系式給乘積分布如何展開設(shè)置了一個(gè)界,一個(gè)滿足(19)式的概率分布μ可以這樣來(lái)構(gòu)造,考慮到(19)式中乘積分布的最大概率:

我們知道如果兩個(gè)測(cè)量是不相容的,那么p1總是會(huì)遠(yuǎn)離1,因?yàn)椴豢赡軆蓚€(gè)測(cè)量都有一個(gè)確定的結(jié)果.舉例說(shuō)明,回想一下Deutsch 的結(jié)果,可以得到

除此以外,Friedland 小組和Pucha?a 小組都提到了用一套有效的方法來(lái)構(gòu)造一個(gè)向量序列形式為

同時(shí)μk ?μk-1滿足(19)式并且?guī)?lái)了一個(gè)越來(lái)越緊致的不確定關(guān)系.μk的表達(dá)式是根據(jù)Majorization 問(wèn)題給出的,并且會(huì)隨著k的增加而變得越來(lái)越難.

這里要說(shuō)明的是,Rényi 熵的熵不確定度關(guān)系是直接由Majorization 關(guān)系派生而來(lái)的,這是由于Rényi 熵是Schur 凹的,且具有可加性.這代表了

這里的V是一個(gè)根據(jù)μ規(guī)律分布的隨機(jī)變量,與公式(7)中的Maassen-Uffink 關(guān)系相比,(23)式中的不確定關(guān)系具有不同性質(zhì),因?yàn)樗o出了具有相同參數(shù)的Rényi的總和的下界.作為一個(gè)x→∞的特例,又恢復(fù)到了Deutsch 提出的熵不確定度關(guān)系:

第一行的不等式是通過(guò)以α為參數(shù)的Rényi 熵的單調(diào)性推出的,若α1,再根據(jù)(23)式,可以得到

這里的Hbin(Λ)-ΛlogΛ-(1-Λ)log(1-Λ) 指二元熵.

3 量子存儲(chǔ)下的熵不確定度關(guān)系

3.1 背 景

在開始介紹量子存儲(chǔ)下的熵不確定度關(guān)系之前,為了更好地理解接下來(lái)的內(nèi)容,需要先引入幾個(gè)概念及他們的數(shù)學(xué)表達(dá)式,首先von Neumann[26]為了描述量子體系將熵的概念推廣到量子范疇,即馮諾依曼熵,它可以用來(lái)表征量子態(tài)的不確定度,計(jì)算方法如下:

λj代表量子態(tài)ρ的本征值.對(duì)于一個(gè)雙邊量子態(tài)ρAB,量子聯(lián)合熵、量子條件熵以及量子互信息可以表示為

接著可以利用下面的式子來(lái)計(jì)算經(jīng)典關(guān)聯(lián)C(B|A)和量子失諧D(B|A) :

目前為止,上面所展現(xiàn)出的不確定關(guān)系都是有限制的,他們都只允許觀察者獲得有限的經(jīng)典信息,前面的猜測(cè)游戲中提出的問(wèn)題,即如果Bob 除了經(jīng)典信息之外還能根據(jù)兩個(gè)關(guān)聯(lián)的粒子獲取相關(guān)的量子信息,是否可以提高Bob 對(duì)Alice 測(cè)量結(jié)果的概率呢？Renes和Boileau[10]在這個(gè)問(wèn)題上做出了嘗試并且得到了相關(guān)的結(jié)果,也為熵不確定度關(guān)系研究打開了一個(gè)新的局面,他們利用兩個(gè)互補(bǔ)的測(cè)量基X和Z得到了如下的不等式:

d代表A粒子維度,E代表竊聽者Eve 的系統(tǒng).

接著,Berta 等[9]在Renes和Boileau 的結(jié)論上做出了新的突破,將(33)式進(jìn)一步推廣到了任意兩個(gè)可觀測(cè)量,現(xiàn)在解釋Berta 等提出的不確定游戲是如何實(shí)現(xiàn)的.與之前猜測(cè)游戲不同的是,這個(gè)游戲的規(guī)則是允許Bob 保留量子存儲(chǔ)系統(tǒng)來(lái)幫助他猜測(cè)Alice 的測(cè)量結(jié)果,如圖3 所示.兩個(gè)游戲玩家必須事先知曉兩個(gè)測(cè)量Q和R,Bob 先準(zhǔn)備一個(gè)雙粒子系統(tǒng)態(tài)ρAB,AB粒子相互糾纏,Bob將粒子B留下,將粒子A發(fā)送給Alice,Alice隨機(jī)選擇對(duì)粒子A進(jìn)行測(cè)量,并且把自己的測(cè)量選擇告訴Bob,Bob 的任務(wù)仍然是預(yù)測(cè)Alice 的測(cè)量結(jié)果,此時(shí)Bob 這里有和粒子A存在糾纏的量子存儲(chǔ)粒子B,Bob 可以通過(guò)利用他所收到的經(jīng)典信息來(lái)對(duì)粒子B進(jìn)行測(cè)量.S(Q|B) 是用來(lái)衡量Bob 關(guān)于Alice 用可觀測(cè)量Q的測(cè)量結(jié)果的不確定度,S(R|B)也是同樣的意義.Berta 等[9]提出了量子存儲(chǔ)支撐下的熵不確定度關(guān)系:

圖3 量子存儲(chǔ)下的不確定游戲.首先,Bob 準(zhǔn)備態(tài) ρAB,然后把子系統(tǒng)A 發(fā)送給Alice.第二,Alice 對(duì)A 進(jìn)行 Q和R 測(cè)量,然后向Bob 告知測(cè)量選擇Θ.Bob 的任務(wù)是正確猜測(cè)KFig.3.The guessing game with a quantum memory system.First,Bob prepares ρAB and sends A to Alice,Then,Alice performs measurement Qor R on A,and stores the measurement options in Θ.Third,Alice tells Bob about her option Θ.Bob’s task is to guess K correctly.

其中,S(A|B)S(ρAB)-S(ρB) 代表測(cè)量前的態(tài)ρAB的條件熵,S(Q|B)S(ρQB)-S(ρB) 代表的是經(jīng)過(guò)Q測(cè)量過(guò)后的態(tài)ρQB的條件熵,可以通過(guò)如下的式子求出經(jīng)過(guò)測(cè)量的態(tài):

Berta 等的結(jié)果已在全光平臺(tái)中得到驗(yàn)證[27-28],也有人提出了利用金剛石氮空位色心體系進(jìn)行驗(yàn)證[29].除這些以外,量子存儲(chǔ)下的熵不確定度關(guān)系在近些年也在不斷發(fā)展、完善,這些進(jìn)展都會(huì)在接下來(lái)的章節(jié)中介紹.

3.2 進(jìn) 展

3.1 節(jié)主要介紹了量子存儲(chǔ)下熵不確定度關(guān)系的背景起源,接下來(lái)展示的是近些年來(lái)量子存儲(chǔ)下熵不確定度關(guān)系的發(fā)展方向及進(jìn)程.

3.2.1 兩粒子系統(tǒng)量子存儲(chǔ)下的熵不確定度關(guān)系

首先在兩粒子量子存儲(chǔ)下熵不確定度關(guān)系方面,繼Berta 之后,許多學(xué)者也在不斷進(jìn)行探索,他們發(fā)現(xiàn)考慮到粒子A,B間的量子關(guān)聯(lián),可以得到比(34)式更為優(yōu)化的下界,Pati 等[30]證明了(34)式可以更加緊致:

其中δ1D(ρAB)-C(ρAB) ,C(ρAB) 是經(jīng)典關(guān)聯(lián),D(ρAB) 是量子失諧[31],數(shù)學(xué)表達(dá)式如(31)式和(32)式.證明方程的關(guān)鍵是S(X|B)S(X)-I(ρXB)(X表示測(cè)量Q,R),I(ρXB)≤C(B|A)和H(Q)+H(R)≥qMU,這表明當(dāng)量子失諧大于經(jīng)典關(guān)聯(lián)時(shí),Pati 等提出的不確定度下界較(34)式的下界更為收緊.如果考慮到量子態(tài)ρAB的純化|ψABC〉,量子失諧和經(jīng)典關(guān)聯(lián)之間的差異遵循單配性分配[32,33]:

因此只有在量子態(tài)ρAB的純化|ψABC〉違反單配性不等式D(BC|A)≥D(B|A)+D(C|A) 時(shí),Berta 等的不確定度下界才會(huì)被提高.

同樣的,(35)式下界也可以被優(yōu)化為

其中,C(B|A)-D(BE′|A),D(BE′|A) 代表系統(tǒng)A和BE'之間的量子失諧,E'指代ABE的純化系統(tǒng),即ρABETrE′(|Ψ〉A(chǔ)BEE′〈Ψ|) .

回到(34)式的下界優(yōu)化問(wèn)題上,2014 年,Coles和Piani[34]在緊致界方面做出了突破,他們引入{cij}中第二大的參數(shù)c2先推導(dǎo)出了新的不確定度關(guān)系式:

并進(jìn)一步證明了下面緊致的不確定度關(guān)系下界:

式中的q(ρA)max{q(ρA,Q,R),q(ρA,R,Q)},計(jì)算方式如下:

還可以在全套的ρA找出最小的q(ρA),也就是qminρAq(ρA),Coles和Piani 提出這種最小化可以通過(guò)以下步驟實(shí)現(xiàn):

λmin[Δ(p)]表示矩陣varΔ(p)pΔQR+(1-p)ΔRQ的最小本征值,其中

同樣,(40)式和(41)式的不確定下界可以通過(guò)在不等式右側(cè)加上額外的一項(xiàng) max{0,δ1}而變得更為緊致.

Adabi 等[35]以及Haseli和Ahmadi[36]從Holevo量和互信息方面出發(fā),提出了如下表達(dá)式:

其中I(ρQB) 代表著Bob 對(duì)Alice 的測(cè)量Q可獲取的信息量,I(ρRB)也是一樣,因此當(dāng)互信息I(ρAB)大于Bob 可獲取的信息之和時(shí),(46)式給出的下界將會(huì)比Berta 給出的下界更為優(yōu)化,對(duì)于兩粒子純態(tài),經(jīng)計(jì)算可得δ1χ2,此時(shí),(46)式給出的下界將會(huì)和(34)式和(37)式的下界保持一致,除此之外,Adabi 等[35]還討論了對(duì)Werner 態(tài),(46)式的下界將會(huì)和(37)式的下界重合,但是對(duì)于貝爾對(duì)角態(tài)和兩量子比特X態(tài),Adabi 的下界結(jié)果明顯優(yōu)于(34)式和(37)式的.

由Berta 等[9]提出的熵不確定度關(guān)系適用于兩個(gè)可觀測(cè)量的情況,實(shí)際上這個(gè)關(guān)系可以被推廣到更一般情況,也就是多測(cè)量設(shè)置情況,沿著這個(gè)想法,不少學(xué)者也在這個(gè)方向上做出了突破[37],下面給大家展示一些代表性的相關(guān)工作,Berta 等提出的不確定游戲中是兩測(cè)量(Q和R),那么多測(cè)量的情況會(huì)是怎么樣？根據(jù)Liu 等[38]提出的新量子存儲(chǔ)下熵不確定度關(guān)系,假設(shè)這兩個(gè)測(cè)量被N個(gè)測(cè)量所代替,那么有:

此外,也可以利用其他方式來(lái)優(yōu)化(49)式的下界,Dolatkhah 等[40]采用Adabi 等在這篇文章中一樣的方法推導(dǎo)出

除此以外,利用Pati 等緊致下界的方法思路,也有學(xué)者推導(dǎo)出了在沒(méi)有量子存儲(chǔ)器的情況下多測(cè)量的熵不確定度關(guān)系[38]:

將(52)式進(jìn)行整合簡(jiǎn)化,可以得到一個(gè)比Liu 等的下界((47)式)更為緊致的下界,表示如下:

這里的δN(N -1)D(B|A)-C(B|A) .

Hu和Fan[41]從另外的角度來(lái)分析量子存儲(chǔ)下的熵不確定度關(guān)系,他們從Berta 等提出的結(jié)論((34)式)出發(fā),將不確定游戲推廣到了這樣情況,現(xiàn)有N個(gè)玩家共享量子態(tài)所有玩家都知道這個(gè)態(tài)的具體形式除了,玩家Alice,那么玩家B1B2···BN-1之間禁止交流,他們的任務(wù)就是預(yù)測(cè)出Alice 作用在粒子A上的測(cè)量結(jié)果,依賴于馮諾依曼熵的強(qiáng)次加性和條件熵的次加性[42],可以得到:

從(54)式聯(lián)系到上面的游戲情況,可以這樣理解,Alice 對(duì)粒子A的測(cè)量結(jié)果不能被其余玩家B1B2···BN-1同時(shí)準(zhǔn)確預(yù)測(cè),從這個(gè)角度分析得出的(54)式被認(rèn)定為是不同種的不確定關(guān)系.

3.2.2 三粒子系統(tǒng)量子存儲(chǔ)下的熵不確定度關(guān)系

2009 年Renes和Boileau[10]給出了三粒子系統(tǒng)中量子存儲(chǔ)下熵不確定度關(guān)系的具體形式:

這里可以用單配性游戲來(lái)解釋.如圖4 所示,假設(shè)現(xiàn)在有一個(gè)輸出三粒子系統(tǒng)態(tài)ρABC的發(fā)射源,現(xiàn)將子系統(tǒng)A,B和C分別發(fā)送給Alice,Bob和Charlie三人,接著,Alice 對(duì)系統(tǒng)A進(jìn)行X或Z測(cè)量,如果選擇X測(cè)量,將選擇告訴Bob,Bob的任務(wù)就是以最小的不確定性猜出測(cè)量結(jié)果.同樣,如果選擇Z測(cè)量,將選擇告訴Charlie,Charlie需要以最小的不確定性猜出對(duì)應(yīng)的測(cè)量結(jié)果,在這個(gè)游戲里,玩家Bob和Charlie 與玩家Alice 是對(duì)手,在Alice得到測(cè)量結(jié)果K并將測(cè)量選擇告知Bob和Charlie后,只有在這兩個(gè)玩家同時(shí)猜出結(jié)果為K時(shí),他們兩個(gè)才算贏了玩家Alice.但是從(55)式可以看出,由于測(cè)量選擇X和Z的互補(bǔ)性,Bob和Charlie 對(duì)猜測(cè)結(jié)果的不確定性是一種此起彼伏的關(guān)系,即如果在玩家Alice 測(cè)量選擇為X時(shí),Bob 準(zhǔn)確地猜測(cè)出了結(jié)果為K,那么Charlie就無(wú)法在Alice 測(cè)量選擇為Z時(shí),正確猜測(cè)到結(jié)果為K,反之亦然.

圖4 三粒子量子存儲(chǔ)器設(shè)置圖.首先,粒子源準(zhǔn)備 ρABC,并將A 發(fā)送給Alice,B 發(fā)送給Bob,C 給Charlie.接著,Alice 在A 上進(jìn)行X 或Z 測(cè)量,然后在已經(jīng)給Bob 粒子B 的情況下,詢問(wèn)Bob 關(guān)于Alice 的X 測(cè)量結(jié)果的不確定性,在已經(jīng)給Charlie 粒子C 的情況下詢問(wèn)Charlie 有關(guān)Alice 的Z 測(cè)量結(jié)果的不確定性.只有他們兩個(gè)同時(shí)猜出結(jié)果K 這個(gè)游戲才能算Bob和Charlie 勝利Fig.4.The tripartite quantum memory setup.First,the particle source prepares ρABC,and sends A to Alice,B to Bob,and C to Charlie.Next,Alice performs measurement X or Z on A,and asks Bob about the uncertainty of Alice’s X measurement outcome,ask Charlie about the uncertainty of Alice’s Z measurement outcome.Only both of them guessed that the output is K,the game can be considered a victory for Bob and Charlie.

對(duì)于Renes 的結(jié)論,會(huì)發(fā)現(xiàn)它的下界在兩個(gè)可觀測(cè)量確定下來(lái)后就是一個(gè)常量,這是有一定的局限性.于此,Ming 等[43]在Renes和Boileau 的結(jié)論基礎(chǔ)上,得到了一個(gè)更為優(yōu)化的下界,具體形式如下:

將兩式結(jié)合便可得到一個(gè)新的不等式

再將S(A)I(A:B)+S(A|B) ,S(A)I(A:C)+S(A|C),H(Z)I(Z;B)+S(Z|B) 和H(X)I(X;C)+S(X|C)整理,即可推出Ming 等的結(jié)果.值得注意的是,在幾個(gè)特殊的情況下Δ可以被簡(jiǎn)化:1)當(dāng)可觀測(cè)量X和Z是完全互補(bǔ)且子系統(tǒng)A是最大混合態(tài)時(shí),比如GHZ 態(tài);2)當(dāng)可觀測(cè)量是泡利測(cè)量即σx,σz測(cè)量,子系統(tǒng)又是非相干態(tài)時(shí),例如GHZ 類態(tài)、廣義的W 態(tài)和Werner 類態(tài);在這兩種情況下都可以得到H(X)+H(Z)S(ρA)+qMU,那么Δ可以被簡(jiǎn)化為ΔS(ρA)-[I(A:B)+I(A:C)]+I(Z;B)+I(X;C).

隨后,Dolatkhah 等[44]在Ming 等[43]的工作基礎(chǔ)上提出了新的下界,形式如下:

圖5 這兩張圖引用自參考文獻(xiàn)[44] 中的第三,四幅圖,圖片展示了Ming 等的結(jié)果(圖上的Ref.[45]就是本文參考文獻(xiàn)[43])和Dolatkhah 等結(jié)果的對(duì)比,這里選取的測(cè)量是泡利測(cè)量:X=σx,Z=σz .圖中藍(lán)線是式(61)左式,紅線對(duì)應(yīng)右式,重合表明對(duì)應(yīng)的量子態(tài)、界與不確定度重合.(a) 廣義W 態(tài)量子存儲(chǔ)下的熵不確定度及下界的圖像.(b)混合三比特態(tài)量子存儲(chǔ)下的熵不確定度及下界的圖像Fig.5.These two pictures are quoted in the third and fourth pictures in the reference[44].The picture shows the comparison of the results of Ming et al.(Ref.[45] on the picture is the reference[43] in this text) and Dolatkhah et al..The measurement selected here is the Pauli measurement:X=σx,Z=σz .The blue line in the figure is the left side of the formula (61),and the red line corresponds to the right side.Their overlap indicates the corresponding quantum state,and the bounds coincide with the uncertainty.(a) Different lower bounds of the tripartite quantum-memory-assisted entropic uncertainty relation(QMA-EUR) for the generalized W state;(b) Different lower bounds of the tripartite QMA-EUR for symmetric family of mixed three-qubit states.

3.3 熵不確定度關(guān)系動(dòng)力學(xué)

僅僅分析熵不確定度關(guān)系本身是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的,對(duì)于熵不確定度關(guān)系的研究應(yīng)該落實(shí)到具體的量子系統(tǒng)中來(lái),所以本節(jié)主要介紹熵不確定度關(guān)系在各類量子系統(tǒng)中的動(dòng)力學(xué)演化.

3.3.1 馬爾科夫和非馬爾科夫噪聲

從實(shí)際的角度出發(fā),量子系統(tǒng)通常是開放系統(tǒng),開放系統(tǒng)[45]退相干效應(yīng)會(huì)或多或少地影響不確定度的大小.從這個(gè)意義上說(shuō),在量子測(cè)量中,了解環(huán)境如何影響不確定性的大小變得不可或缺和至關(guān)重要.到目前為止,在各種環(huán)境噪聲下的量子存儲(chǔ)下熵不確定度關(guān)系的研究方面已經(jīng)做了大量的工作.一般來(lái)說(shuō),環(huán)境的類型可以分為馬爾科夫和非馬爾科夫環(huán)境.如果一個(gè)系統(tǒng)的信息以單向的方式從系統(tǒng)流向環(huán)境,沒(méi)有信息回流,就說(shuō)環(huán)境是馬爾可夫的;相反,如果存儲(chǔ)在中心系統(tǒng)中的信息是在系統(tǒng)和環(huán)境之間雙向流動(dòng)的,也就是存在信息回流的情況,則稱該環(huán)境為非馬爾可夫環(huán)境.

我們小組[46]在研究了在沒(méi)有量子存儲(chǔ)器的情況下,當(dāng)一個(gè)量子比特經(jīng)歷馬爾科夫和非馬爾科夫的交叉時(shí),熵不確定性的動(dòng)力學(xué).該系統(tǒng)由一個(gè)兩能級(jí)原子與一個(gè)復(fù)合環(huán)境(一個(gè)單模腔和一個(gè)多層級(jí)熱庫(kù))耦合而成.通過(guò)研究發(fā)現(xiàn),腔體與熱庫(kù)相對(duì)較強(qiáng)的耦合強(qiáng)度可以減少不確定性.即原子與腔之間相對(duì)較強(qiáng)的耦合強(qiáng)度是產(chǎn)生非馬爾科夫的原因,而弱耦合強(qiáng)度則會(huì)導(dǎo)致馬爾可夫性.原子腔耦合強(qiáng)度越強(qiáng),信息就會(huì)回流到原子中,具體表現(xiàn)為測(cè)量不確定度的振蕩.值得注意的是,當(dāng)原子腔的耦合強(qiáng)度較強(qiáng)于臨界耦合強(qiáng)度時(shí),不確定度在測(cè)得的不確定度的范圍內(nèi)振蕩,當(dāng)原子腔耦合強(qiáng)度小于臨界耦合強(qiáng)度時(shí),不確定性不斷減小,并在長(zhǎng)時(shí)間限制內(nèi)達(dá)到下界.

隨后,在馬爾科夫和非馬爾科夫交叉的情況下討論了由兩個(gè)獨(dú)立耦合到結(jié)構(gòu)玻色子儲(chǔ)層的原子組成的中心系統(tǒng)中量子存儲(chǔ)下的熵不確定度關(guān)系[47],該不確定關(guān)系由兩個(gè)獨(dú)立耦合到結(jié)構(gòu)玻色子儲(chǔ)層的原子組成.量子記憶輔助熵不確定性的動(dòng)力學(xué)在馬爾可夫和非馬爾可夫制度中非常獨(dú)特.強(qiáng)烈的非馬爾可夫性會(huì)導(dǎo)致測(cè)量不確定度和下限的大幅度和長(zhǎng)周期振蕩.然而,對(duì)于馬爾可夫制度,不確定性和下限會(huì)隨著時(shí)間的推移先增加然后減少到一個(gè)固定值.此外,還有一些工作[48-50]來(lái)觀察受非馬爾可夫性影響的熵的不確定性的動(dòng)力學(xué)特征.

3.3.2 幾種特定的系統(tǒng)中的熵不確定度關(guān)系動(dòng)力學(xué)

彎曲時(shí)空下系統(tǒng),Feng 等[51]在2015 年首次觀測(cè)到在Schwarzschild 黑洞框架中的量子存儲(chǔ)下的熵不確定度關(guān)系,這個(gè)Schwarzschild 黑洞被認(rèn)為是提供彎曲時(shí)空的一個(gè).研究可以發(fā)現(xiàn),霍金輻射可以對(duì)不確定性下界進(jìn)行重要修正.對(duì)于自由落體的觀察者與其擁有與待測(cè)量子子系統(tǒng)初始相關(guān)的量子存儲(chǔ)器的靜態(tài)合體之間的不確定性博弈,因此源于霍金輻射的信息丟失不可避免地導(dǎo)致不確定性量的增加.熵不確定性對(duì)黑洞的質(zhì)量、量子存儲(chǔ)器的模式頻率以及觀察者與黑洞表面的距離很敏感.此外,為了顯示其結(jié)果的普遍性,將熵不確定度與其他不確定度測(cè)量,即Aharonov-Anandan時(shí)間-能量不確定度進(jìn)行了比較.

考慮到兩個(gè)靜態(tài)玩家之間的不確定性博弈,Alice 持有的測(cè)量系統(tǒng)A和Bob 充當(dāng)量子存儲(chǔ)器的B通?？梢酝ㄟ^(guò)一對(duì)兩能級(jí)原子與黑洞外波動(dòng)的無(wú)質(zhì)量量子標(biāo)量場(chǎng)相互作用來(lái)模擬.經(jīng)過(guò)模擬可以注意到復(fù)合系統(tǒng)最終會(huì)達(dá)到平衡.事實(shí)上,子系統(tǒng)A的量子信息是通過(guò)它們之間產(chǎn)生的糾纏來(lái)傳遞并存儲(chǔ)在量子存儲(chǔ)器中的.值得注意的是,可以通過(guò)S(A|B)＜0 糾纏被目擊到.

最近,Huang 等[52]研究了在Schwarzschild黑洞表面附近,有自旋和無(wú)自旋的Dirac 場(chǎng)方向的熵不確定度關(guān)系,證明了其邊界可以用Holevo 量重寫.結(jié)果表明,與互信息相比,Holevo 下界比更緊致.此外,當(dāng)量子存儲(chǔ)器離開黑洞時(shí),不確定性和所提議的下界之間的差異不變,并且不依賴于黑洞的任何屬性.此外,已經(jīng)有學(xué)者[53-55]研究了在Garfinkle-Horowitz-Strominger 背景下用于Dirac粒子膨脹黑洞量子存儲(chǔ)下的熵不確定度關(guān)系.

我們還關(guān)注了自旋鏈系統(tǒng)中的熵不確定度關(guān)系,Heisenberg 自旋鏈也有許多分類,一維Heisenberg 的XYZ鏈哈密頓量可以表示為

(γx,y,z)指代k位置的泡利算符,Jγ是關(guān)于自旋-自旋相互作用的實(shí)際耦合強(qiáng)度.如果Jz0,且JxJy,相應(yīng)的Heisenberg 鏈稱為XX模型.第一個(gè)將量子存儲(chǔ)下熵不確定度關(guān)系應(yīng)用到兩比特XX自旋模型的是Huang 等[56].他們的結(jié)果表明,兩個(gè)自旋量子位之間的耦合系數(shù)越大越會(huì)降低不確定度,對(duì)于相對(duì)較大的耦合系數(shù),熵不確定度甚至?xí)_(dá)到零.隨后,在其他Heisenberg 自旋鏈模型和具有Dzyaloshinski-Moriya (DM)相互作用的Heisenberg 模型中,也有一些關(guān)于量子存儲(chǔ)下熵不確定度關(guān)系的研究[57-59].

此外,團(tuán)隊(duì)還探討了在非均勻磁場(chǎng)中一般海森伯XY Z模型中熵不確定度與量子關(guān)聯(lián)之間的關(guān)系[13].值得注意的是,我們得到一個(gè)有趣的結(jié)果,(55)式中表示的下界可以改寫為

從(63)式中可以發(fā)現(xiàn),下界與量子關(guān)聯(lián)D(ρAB) 是成反關(guān)聯(lián)的.此外,Zheng 等[60]和Huang 等[61]還研究了系統(tǒng)的糾纏與下界之間的關(guān)系,Heisenberg模型中具有DM 相互作用的熵不確定度的緊密性.Ming 等[62]比較了DM 相互作用的不同部分對(duì)降低熵不確定度的影響,并且發(fā)現(xiàn)不確定關(guān)系的下界與量子相干密切相關(guān),但不完全依賴于量子相干.Yang 等[63]也研究了具有DM 相互作用的一般HeisenbergXYZ模型的熵不確定度的動(dòng)力學(xué)特性.Zhang 等[64]和Shi 等[65]研究了高維Heisenberg模型量子存儲(chǔ)下熵不確定度關(guān)系,最近Li 等[66]及Ju 等[67]研究了自旋混合鏈中的熵不確定度關(guān)系.除了上面說(shuō)的兩種系統(tǒng),還有非慣性坐標(biāo)系[68]、金剛石中的單氮空位中心[29]、中微子[69,70]等系統(tǒng)中熵不確定度關(guān)系的演化.

實(shí)際上在現(xiàn)實(shí)量子信息處理中,任何量子系統(tǒng)都不可避免地會(huì)與周圍環(huán)境相互作用,從而導(dǎo)致退相干或耗散,這也會(huì)對(duì)不確定性產(chǎn)生影響[71],考慮到這一點(diǎn),在執(zhí)行量子任務(wù)時(shí)需要有效地抑制退相干.而為了獲得更精確的測(cè)量結(jié)果,一些研究人員致力于追求利用各種操作如非坍縮操作[72-75]、過(guò)濾操作[76,77]、非厄米操作[78-81]等對(duì)熵不確定度進(jìn)行調(diào)控.

4 不確定關(guān)系在實(shí)際中的應(yīng)用

4.1 量子隱形傳態(tài)

(34)式中量子存儲(chǔ)下的熵不確定度關(guān)系也可以用來(lái)識(shí)別非經(jīng)典隱形傳態(tài)[82]的信道狀態(tài).基于平均隱形傳態(tài)的保真度

是局部酉不變的事實(shí),同時(shí)任意兩量子比特態(tài)是局部么正的,幾何上表明,與沒(méi)有量子記憶存儲(chǔ)下的情況相比,任意對(duì)應(yīng)于Berta 等提出的不確定下界改進(jìn)的態(tài)ρAB對(duì)于量子隱形傳態(tài)來(lái)說(shuō)更有用.也就是說(shuō),當(dāng)一個(gè)人觀察到一個(gè)負(fù)的條件熵S(A|B)時(shí),可以確定保真度能超越經(jīng)典極限2/3.

4.2 導(dǎo)引不等式

在1935 由Schr?dinger[83]首先強(qiáng)調(diào),導(dǎo)引是一種與糾纏相關(guān)的雙量子系統(tǒng)的現(xiàn)象(盡管不完全相同).考慮有兩個(gè)參與者Alice和Bob 兩方的遠(yuǎn)程實(shí)驗(yàn)室范例,他們倆各自掌握著子系統(tǒng)A或B.導(dǎo)引表示一個(gè)子系統(tǒng)A的測(cè)量選擇可能導(dǎo)致另一個(gè)子系統(tǒng)B上的不同狀態(tài)集合.并不是所有的量子態(tài)都是可導(dǎo)引的,舉個(gè)例子,可分離態(tài)就是不可導(dǎo)引的.此外只要是違反貝爾不等式的態(tài)都是可導(dǎo)引的,貝爾不等式是根據(jù)局部隱變量模型推出的.Wiseman 等[84]將可導(dǎo)引的概念形式化為那些不允許局域隱態(tài)模型(LHS)的態(tài)ρAB,LHS 模型可以這樣來(lái)解釋,系統(tǒng)B有一個(gè)局部量子態(tài),它與系統(tǒng)A上的任意可觀測(cè)物經(jīng)典地相關(guān).這種形式化的描述使得研究人員推導(dǎo)出了導(dǎo)引不等式,與貝爾不等式類似.

Walborn 等[85]和Schneeloch 等[86]展示了如何利用熵不確定性關(guān)系來(lái)推導(dǎo)導(dǎo)引不等式.如果B有一個(gè)局部隱態(tài),那么它的測(cè)量概率必須服從單系統(tǒng)的不確定性關(guān)系,即使它們是以A的測(cè)量結(jié)果為條件的.更準(zhǔn)確地說(shuō),LHS 模型意味著A和B上的離散可觀測(cè)量XA,XB的聯(lián)合概率分布為

這里Λ是決定Bob 的局部狀態(tài)的隱變量,λ是這個(gè)變量可以取的一個(gè)特定值,而PQ(XB|Λλ) 上的下標(biāo)Q強(qiáng)調(diào)了概率分布來(lái)自于單個(gè)量子態(tài).然后得到

這里的H(XB|XAΛλ)可以被解讀為以XA為條件,以Λλ為條件的XB的熵.因此,對(duì)于兩個(gè)在B上的可觀測(cè)量XB和ZB和其他兩個(gè)在A上的可觀測(cè)量XA和ZA,可以得到

將其與Maassen-Uffink 的不確定度關(guān)系(31)式相結(jié)合,得到如下的導(dǎo)引不等式[86]:

其中,qMU對(duì)應(yīng)著Bob 的可觀測(cè)量,任何允許LHS模型的狀態(tài)ρAB必須滿足(70)式.因此,(70)式的實(shí)驗(yàn)違反可以構(gòu)成導(dǎo)引的演示.對(duì)于連續(xù)變量,也可以推導(dǎo)出類似的導(dǎo)引不等式[85].

Zhen 等[87]通過(guò)局域不確定原理證明了EPR(Einstein-Podolsky-Rosen) 導(dǎo)引.他們指出如果下面的不等式被違背,那么就說(shuō)明兩比特態(tài)ρAB是可導(dǎo)引的(A可以導(dǎo)引B),不等式如下:

4.3 隨機(jī)數(shù)

隨機(jī)數(shù)是許多日常信息處理任務(wù)中的關(guān)鍵資源,應(yīng)用范圍之廣可以從在線賭博到科學(xué)模擬和密碼學(xué),因?yàn)橛?jì)算機(jī)被設(shè)定來(lái)執(zhí)行確定性操作,所以隨機(jī)數(shù)是一種稀缺資源.經(jīng)典物理是確定性的,換句話來(lái)說(shuō),如果觀察者對(duì)物理學(xué)系統(tǒng)的初始狀態(tài)和在該系統(tǒng)上進(jìn)行的操作有充分的了解,那么從原理上來(lái)說(shuō),實(shí)驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果都可以被準(zhǔn)確地預(yù)測(cè),而偽隨機(jī)的研究試圖規(guī)避這個(gè)問(wèn)題[88].

量子力學(xué)固有的不確定性不允許人們?nèi)タ紤]隨機(jī)性更強(qiáng)的概念,即在信息領(lǐng)域?qū)用嫔蟻?lái)說(shuō),隨機(jī)數(shù)是安全的.形式上,想生成一個(gè)隨機(jī)變量L可以均勻分布在設(shè)定長(zhǎng)度l上的所有位串{0,1}l上.此外,我們還希望這個(gè)隨機(jī)變量獨(dú)立于觀察者可能擁有的任何邊信息包括用于計(jì)算L的過(guò)程和任何用來(lái)準(zhǔn)備L的隨機(jī)種子.經(jīng)典量子積態(tài)

描述了獨(dú)立于其環(huán)境或邊信息E的l位均勻隨機(jī)數(shù).通常我們最期待的結(jié)果就是接近這個(gè)態(tài),也就是說(shuō)如果

那么可以說(shuō)ρLE描述了一個(gè)L是δ接近l位均勻隨機(jī)數(shù)且獨(dú)立于E的態(tài),這里的‖·‖Tr代表跡范數(shù).這個(gè)界意味著L有超過(guò)的概率不能夠從一個(gè)均勻且獨(dú)立的隨機(jī)變量中被區(qū)分開來(lái).這個(gè)觀點(diǎn)是通用可組合安全框架的核心[89,90],也保證了滿足此屬性的密鑰可以安全地用于任何需要秘鑰的加密協(xié)議.

熵不確定度關(guān)系可以幫助我們實(shí)現(xiàn)真正的隨機(jī)數(shù).因?yàn)樗麄儽砻髁肆孔訙y(cè)量產(chǎn)生的隨機(jī)變量是不確定的.然而,為了提取近似均勻和獨(dú)立的隨機(jī)數(shù),還需要一個(gè)額外的步驟,也是接下來(lái)要介紹的.

先討論條件最小熵的現(xiàn)實(shí)意義.最小熵在密碼學(xué)中的重要性部分歸功于剩余哈希原理(leftover hashing lemma)[91-93],該原理指出,存在一個(gè)函數(shù)族{fs}s(fs:χ→[2l]),叫做哈希函數(shù),這樣,當(dāng)初始的最小熵足夠大時(shí),通過(guò)應(yīng)用含有均勻隨機(jī)選擇的種子S的函數(shù)fs得到的隨機(jī)變量LfS(X) 接近均勻隨機(jī)數(shù),且與S無(wú)關(guān).

更正式地來(lái)說(shuō),Renner[94]和K?nig[95]展示了量子情況下的結(jié)果.對(duì)于任意Hmin(X|E)≥k的經(jīng)典量子態(tài)

都存在一組哈希函數(shù).經(jīng)過(guò)應(yīng)用函數(shù)fs之后的經(jīng)典-量子-經(jīng)典態(tài)ρLES為

它描述的是一個(gè)態(tài)中的L是δ接近l位均勻隨機(jī)數(shù)且獨(dú)立于E和S,這里的.

在計(jì)算機(jī)科學(xué)中,對(duì)環(huán)境E是平凡的特殊例子進(jìn)行了廣泛的討論.由于哈希是一個(gè)經(jīng)典的進(jìn)程,人可能認(rèn)為邊信息的物理性質(zhì)是非相關(guān)的,且一個(gè)經(jīng)典處理就足夠了,事實(shí)上,這在一般情況下是不會(huì)成立的.舉個(gè)例子,如果某些提取器的輸入側(cè)信息被存儲(chǔ)在量子存儲(chǔ)器中,那么它們的輸出可能是部分已知的,同時(shí),相同的輸出幾乎一致地限制了任意經(jīng)典邊信息,具體例子見(jiàn)Gavinsky 等[96]的文章.

通過(guò)考慮ε-smooth最小熵(記為其中ε ＞2) 的變化,可以對(duì)這一結(jié)果進(jìn)行推廣,這是通過(guò)最大化狀態(tài)的最小熵來(lái)定義的,這些態(tài)處在圍繞態(tài)ρ周圍半徑為ε的球中.推廣后的剩余哈希引理[94,97,98]斷言,存在一個(gè)函數(shù)族{fs}s,使得對(duì)任意≥k的 態(tài)ρXE,發(fā) 現(xiàn)LfS(x) 是δ+ε接近l位均勻隨機(jī)數(shù)且獨(dú)立于E和S,這里的δ和（75）式中定義的一樣.推廣后的結(jié)果在以下情況下是緊致的,即如果LfS(x) 對(duì)任意的函數(shù)族{fs}s都是ε接近均勻隨機(jī)數(shù)且獨(dú)立于E和S,那么就可以得到≥l,這里的由于這個(gè)緊密性結(jié)果,有理由說(shuō),平滑最小熵描述了(至少近似地)與其環(huán)境E相關(guān)的隨機(jī)源X中可以提取多少均勻隨機(jī)數(shù).

從而得出

這里的X和Z是d維希爾伯特空間中相互無(wú)偏基測(cè)量,E是被測(cè)系統(tǒng)的環(huán)境,最大熵Hmax(Z)H1/2(Z)可以通過(guò)統(tǒng)計(jì)學(xué)檢驗(yàn)估算得出,導(dǎo)致了對(duì)Hmin(X|E)充滿信心.正如討論的那樣,剩余哈希引理允許從X中提取均勻隨機(jī)數(shù).

Miller和Shi[100]推導(dǎo)出了基于熵差的下界,而不是條件熵,假設(shè)X和Z是在一個(gè)量子比特上互補(bǔ)的二元測(cè)量,那么下面的關(guān)系式始終成立:

這里的δ是由下面的等式得出的:

q是滿足的函數(shù).然后繼續(xù)使用這個(gè)結(jié)果來(lái)限定smooth 最小熵,并繼續(xù)應(yīng)用到廣義剩余哈希引理上.

4.4 波粒二象性

波粒二象性是指單個(gè)量子系統(tǒng)既可以表現(xiàn)出波的行為,也可以表現(xiàn)出粒子性行為的基本概念,無(wú)法設(shè)計(jì)出能夠同時(shí)顯示兩種行為的干涉儀.這一觀點(diǎn)先被Feynman 定性地討論了,隨后Wooter和Zurek[101]、Jaeger 等[102]、Englert[103]和Bergou[104]及其他學(xué)者[105]將其進(jìn)行了定量的討論,這些學(xué)者都是證明了廣為人知的波粒二象性關(guān)系不等式的人.然后在Mach—Zehnder 干涉儀下,推導(dǎo)了單光子的一些相關(guān)關(guān)系.在所有的這些情況下,粒子性行為與已知的光子傳輸路徑相關(guān),當(dāng)有人改變了一對(duì)干涉儀臂之間的相對(duì)相位時(shí),波行為和在特定輸出模式下探測(cè)光子的概率中看到的振蕩有關(guān),將which-path 可觀測(cè)量表示為Z{|0〉〈0|,|1〉〈1|},粒子性行為可以通過(guò)路徑可預(yù)測(cè)性P2pguess(Z)-1來(lái)量化,路徑可預(yù)測(cè)性和精準(zhǔn)猜測(cè)路徑的概率pguess(Z)有關(guān).波行為是由邊緣可見(jiàn)度來(lái)量化的:

這里的p0是指光子被D0探測(cè)到的概率,可以在圖6中看到.Wootter和Zurek[101]證明了

圖6 這張圖引用自參考文獻(xiàn)[105]中的第18 幅圖,展示的是一個(gè)Mach-Zehnder 單光子干涉儀.一個(gè)光子撞擊分束器,然后通過(guò) Z的基態(tài)|0〉,|1〉 標(biāo)記這兩個(gè)可能的路徑,光子可能與干涉儀內(nèi)部的某個(gè)環(huán)境E 相互作用.然后將一個(gè)相位φ 應(yīng)用于下路徑,再將這兩個(gè)路徑在第二個(gè)波束分束器上重新組合.最后在 D0或 D1 處檢測(cè)到光子Fig.6.This picture is from the 18 th picture in the reference[105].The picture shows a Mach-Zehnder single photon interferometer.A photon hits the beam splitter,and then we pass the ground state of Z(|0〉,|1〉) to mark these two possible paths.The photon may be related to an environment in the interferometer E Interaction.Then apply a phase φ to the lower path,and then recombine the two paths on the second beam splitter.Finally,a photon is detected at D0or D1 .

即P1時(shí),ν0 (也就是說(shuō),完全的粒子性行為就意味著沒(méi)有波行為),反之亦然.

更一般地,假設(shè)光子與干涉儀內(nèi)部的某個(gè)環(huán)境系統(tǒng)E相互作用.測(cè)量E可能揭示一些比如說(shuō)關(guān)于光子路徑的一些信息,所以很自然地考慮路徑的可分辨性

Jaeger 等[102]和Englert[103]證明了(81)式的加強(qiáng)版本,即:

像(81)式和(83)式的波粒二象性關(guān)系概念上經(jīng)常被認(rèn)為不同于不確定關(guān)系,盡管這點(diǎn)一直以來(lái)都存在爭(zhēng)論.如Dürr和Rempe[106]以及Busch和Shilladay[107]發(fā)現(xiàn)某些波粒二象性關(guān)系與Robertson涉及標(biāo)準(zhǔn)差的不確定度關(guān)系之間存在聯(lián)系.Coles 等[108]表示(81)式和(83)式以及其他一些波粒二象性關(guān)系實(shí)際上是偽裝的熵不確定度關(guān)系.特別地,它們對(duì)應(yīng)于(76)式中最小和最大熵不確定度關(guān)系,應(yīng)用于互補(bǔ)量子位可觀測(cè)量.即(81)式等價(jià)于不確定度關(guān)系

這將波粒二象性原理與熵測(cè)不準(zhǔn)原理統(tǒng)一起來(lái),說(shuō)明前者是后者的一個(gè)特例.

自然地,其他熵可以用來(lái)代替最小和最大熵,雖然人們可能無(wú)法得到與波粒二象性關(guān)系的精確對(duì)等關(guān)系,但概念意義可能是相似的.Bosyk 等[109]采用了用其他熵來(lái)替代最大最小熵的方法，他利用的是包含了Rényi 熵的不確定關(guān)系.Vaccaro[110]根據(jù)互信息采用香農(nóng)熵來(lái)表示波粒二象性關(guān)系.此外,還補(bǔ)充了一個(gè)概念,即波和粒子的行為分別與對(duì)稱性和非對(duì)稱性有關(guān).Englert等[111]還考慮了具有兩條以上路徑的干涉儀的波和粒子行為的熵測(cè)量.

4.5 量子密鑰分發(fā)

密鑰分發(fā)方案的目標(biāo)是讓誠(chéng)實(shí)的兩方通過(guò)公共通道進(jìn)行通信,以使密鑰不被任何潛在的對(duì)手竊取,從而達(dá)成共享密鑰的協(xié)議.傳統(tǒng)上,試圖共享密鑰的兩個(gè)誠(chéng)實(shí)方被稱為Alice和Bob,而竊聽者被稱為Eve.通過(guò)簡(jiǎn)單的對(duì)稱論證,很明顯,如果只考慮經(jīng)典信息,密鑰分配是不可能的,因?yàn)镋ve會(huì)聽到所有Alice 對(duì)Bob 的溝通,在協(xié)議的任意點(diǎn)上,她至少和Bob 擁有同樣多的關(guān)于Alice 密鑰的信息,如果Bob 知道Alice 的密鑰,那么Eve 也知道.Bennett 等[112]首先提出量子密鑰分配,隨后由Ekert[113]提出了更優(yōu)化方案[114].由于非復(fù)制和非克隆的量子信息特征[115],當(dāng)Alice和Bob 共享密鑰并通過(guò)量子信道進(jìn)行通信時(shí),對(duì)稱性的論點(diǎn)就不再適用了.簡(jiǎn)單地說(shuō),不管竊聽者什么時(shí)候與信道進(jìn)行相互作用,對(duì)粒子進(jìn)行測(cè)量,她的行為都會(huì)不可避免地在量子通信過(guò)程中產(chǎn)生噪聲.因此,他們能夠檢測(cè)并立即終止協(xié)議.

這里先介紹一種簡(jiǎn)單的協(xié)議,采用的是刪節(jié)版的Ekert[113]協(xié)議.首先準(zhǔn)備工作:Alice和Bob 使用公共信道共享一個(gè)最大糾纏的雙量子位態(tài).Eve 可以與信道進(jìn)行連續(xù)的相互作用.然后測(cè)量:他們隨機(jī)同意(使用公共通道),在基Z{|0〉〈0|,|1〉〈1|}或X{|+〉〈+|,|-〉〈-|}進(jìn)行,并在此基底上測(cè)量各自的量子比特(這兩個(gè)步驟重復(fù)了很多次).參數(shù)評(píng)估:Alice 會(huì)公布她的測(cè)量結(jié)果.如果雙方的測(cè)量結(jié)果在大多數(shù)回合中都是一致的,就可以得出結(jié)論,雙方之間關(guān)聯(lián)存在一些保密性,然后繼續(xù)改正錯(cuò)誤并提取一個(gè)密鑰.如果沒(méi)有,Alice,Bob 雙方就中止協(xié)議.

針對(duì)一般性攻擊的量子密鑰分發(fā)安全性首先由Mayers[116],Biham 等[117],Lo和Chau[118]以 及Shor和Preskill[119]正式建立.在所有這些安全性討論中,互補(bǔ)性或不確定原理以某種形式被調(diào)用來(lái)論證如果 Alice和Bob 在一個(gè)基礎(chǔ)上測(cè)量的量子比特有很大的一致性,那么Eve 關(guān)于在互補(bǔ)基礎(chǔ)上測(cè)量的比特的信息必然是低的.

熵不確定度關(guān)系首次被Cerf 等[120]和Grosshans 等[121]用于這方面.特別是Koashi 利用Maassen-Uffink 關(guān)系建立了安全性.然而,熵不確定性與量子存儲(chǔ)器之間的關(guān)系提供了一個(gè)更直接的途徑來(lái)QKD 的安全性參數(shù)進(jìn)行形式化描述,如下所示.這里遵循Berta 等[9]提出的論點(diǎn).首先要注意,在準(zhǔn)備步驟中,竊聽者可能會(huì)干擾,因此沒(méi)有人知道在準(zhǔn)備步驟完成后,Alice和Bob 是否確實(shí)共享最大糾纏態(tài).然而,在不失一般性的前提下,可以假設(shè)Alice,Bob和Eve 在制備步驟后共享一個(gè)任意態(tài)ρABE,其中A和B是量子位,E是Eve持有的任意量子系統(tǒng).設(shè)Θ是一個(gè)處于完全混合狀態(tài)的二進(jìn)制寄存器,它決定了量子位是在基X還是基Z中被測(cè)量,并用Y表示Alice 測(cè)量的輸出.就可以得到和.因此,可以將具有量子存儲(chǔ)器的三體熵不確定度原理寫為

qMU1是基于測(cè)量基X和Z得出的.在對(duì)Alice量子位進(jìn)行測(cè)量后,對(duì)態(tài)ρYΘBE進(jìn)行熵的計(jì)算.接著再對(duì)B進(jìn)行測(cè)量,這會(huì)產(chǎn)生一個(gè)Y中的估算,再根據(jù)數(shù)據(jù)處理不等式可以得出H(Y|BΘ)≤H(),因此總結(jié)得出H(Y|EΘ)≥1-H() .這就保證了只要條件熵H() 很小,Eve 對(duì)于Alice測(cè)量結(jié)果的不確定度(就von Neumann 熵而言)就會(huì)很大.這就是安全準(zhǔn)則的量化表達(dá).

除上述應(yīng)用外,還有許多其他重要的應(yīng)用,比如兩方密碼學(xué)[122-124]、糾纏目擊[125,126]等,還有熵不確定度關(guān)系與量子相干[127-130]、量子糾纏[131]、失諧[30-32,132]等之間的聯(lián)系.

5 結(jié)論與展望

本文從海森伯測(cè)不準(zhǔn)原理出發(fā),追溯了熵不確定度關(guān)系的歷史,討論了海森伯不確定原理和它的各類衍生關(guān)系式及其最新進(jìn)展.首先從標(biāo)準(zhǔn)差、熵和優(yōu)化方法的角度回顧了不確定關(guān)系,接著又著重介紹了量子存儲(chǔ)下熵不確定度關(guān)系的發(fā)展,這些關(guān)系與許多量子信息處理任務(wù)直接相關(guān).許多學(xué)者仍在探索不確定關(guān)系,各種新的工具不斷被拿來(lái)并試圖推出新的不確定關(guān)系.如Majorization 方法,用Majorization 方法來(lái)度量不確定度仍有很大的發(fā)展前景;關(guān)于量子存儲(chǔ)下熵不確定度關(guān)系,Dupuis等[123]在2015 年建立了推導(dǎo)不確定關(guān)系的元定理.但據(jù)了解,并不是所有體系推出的不確定關(guān)系都很緊致,因此也需要進(jìn)一步改善加強(qiáng).

本文提到的各種技術(shù)應(yīng)用如量子密鑰分發(fā)等為獲得更精細(xì)的熵不確定度關(guān)系提供了動(dòng)力.例如,要證明涉及兩次以上測(cè)量的量子密鑰分發(fā)協(xié)議的安全性,就需要新的熵不確定度關(guān)系,即允許量子存儲(chǔ)和多次測(cè)量的熵不確定度關(guān)系.這是一個(gè)需要更多研究的重要前沿領(lǐng)域.與設(shè)備無(wú)關(guān)的隨機(jī)數(shù),即證明從不可信的設(shè)備獲得的隨機(jī)數(shù)是另一種新興應(yīng)用,熵不確定度關(guān)系在這方面應(yīng)該是很有潛力的.

對(duì)于熵的不確定度關(guān)系,除了對(duì)各種技術(shù)應(yīng)用有著推進(jìn)作用,它還讓人們對(duì)基礎(chǔ)物理學(xué)有了更深的了解.如熵的不確定度關(guān)系使不確定原理與波粒二象性原理統(tǒng)一起來(lái).將熵不確定度關(guān)系應(yīng)用于干涉儀,很可能成為量化波粒二象性的一個(gè)自然框架,同樣,量子基礎(chǔ)的一個(gè)熱門話題是測(cè)量不確定性.也可以將制備不確定度的概念與可逆性測(cè)量相結(jié)合[133],相應(yīng)的熵不確定度關(guān)系在IBM[134]量子實(shí)驗(yàn)上測(cè)試成功,不確定關(guān)系在實(shí)驗(yàn)研究方面也有著相當(dāng)多的進(jìn)展[135-137].除上述以外,熵不確定度關(guān)系可能在凝聚態(tài)物理的相變研究[138,139]中發(fā)揮作用,也在狹義和廣義相對(duì)論的背景下[140,141]進(jìn)行了研究.鑒于量子信息在宇宙學(xué)中[142]扮演著越來(lái)越重要的角色,希望在未來(lái),熵不確定度關(guān)系在宇宙學(xué)等相關(guān)背景下有著進(jìn)一步的發(fā)展.期待不確定度在未來(lái)得到更多的關(guān)注,在學(xué)者們的共同努力下取得一些新的成果.