李麗霞，李鵬國，賈 琪，李 玲

(1.西安建筑科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，西安 710055；2.西安建筑科技大學(xué)力學(xué)技術(shù)研究院，西安 710055)

0 引 言

地震是地殼快速釋放能量過程中造成振動(dòng)，從而產(chǎn)生地震波的一種自然現(xiàn)象。地震波可分為縱波(P波)、橫波(S波)和面波三種形式，當(dāng)P波與S波到達(dá)地球自由面時(shí)會(huì)形成Rayleigh波。這些Rayleigh波的頻率主要集中在20 Hz以下，具有振幅大、衰減慢、傳播距離遠(yuǎn)等特點(diǎn)，是造成建筑物破壞的主要因素。目前針對(duì)建筑物的防震保護(hù)，常見的減震措施是設(shè)置隔震支座、施加阻尼器等[1]。而這些技術(shù)是應(yīng)用在建筑物建造的初期，對(duì)于已建成的建筑設(shè)施很難進(jìn)行保護(hù)。聲子晶體是人工設(shè)計(jì)的周期介質(zhì)材料，具有禁帶特性，可以抑制帶隙范圍內(nèi)的彈性波傳播[2-4]，產(chǎn)生與地震頻率相對(duì)應(yīng)的帶隙的聲子晶體又稱地震超材料[5]。近年來，一些學(xué)者提出一種新穎的隔震減震方法[6-10]，將地震超材料布置在建筑物的周圍形成周期屏障，利用其禁帶特性來調(diào)控和衰減Rayleigh波。

本文針對(duì)20 Hz以下的Rayleigh波提出了一種田字形地震超材料屏障結(jié)構(gòu)，不僅具有低頻寬帶帶隙特性而且結(jié)構(gòu)穩(wěn)定。采用有限元法計(jì)算了結(jié)構(gòu)的能帶結(jié)構(gòu)和頻率響應(yīng)函數(shù)。通過對(duì)帶隙機(jī)理的研究，進(jìn)一步設(shè)計(jì)了不同方式填充下的結(jié)構(gòu)可以打開更寬的帶隙，并研究了其產(chǎn)生甚低頻寬帶的機(jī)理。最后，采用EI-Centro地震波對(duì)周期屏障進(jìn)行了時(shí)程驗(yàn)證。

1 田字形超材料屏障結(jié)構(gòu)與帶隙機(jī)理分析

1.1 單胞模型與計(jì)算方法

本文提出的田字形地震超材料屏障，周期性排列在建筑物周圍，如圖1(a)所示。田字形超材料單胞由外部口字形框體嵌套內(nèi)部十字形柱體組成。其中，口字形框體下端部分埋入土壤中，十字形柱體固定在土壤表面，如圖1(b)所示。藍(lán)色區(qū)域?yàn)榛炷?，橙色區(qū)域?yàn)橥寥?。單胞幾何參?shù)為：晶格常數(shù)a=2.5 m；口字形結(jié)構(gòu)邊長(zhǎng)l=0.88a，寬度w1=0.08a，埋入深度hd=0.2a；十字形結(jié)構(gòu)寬度w2=0.08a，高度h=1.2a。研究表明[17]，當(dāng)土壤的厚度H>10a且底邊有固定邊界條件時(shí)，可以獲得表面波的色散關(guān)系和帶隙，并且當(dāng)土壤厚度繼續(xù)增加不會(huì)影響表面波色散關(guān)系。因此，本文取土體厚度H=40 m。屏障單元模型的材料參數(shù)如表1所示[18]。

表1 地震超材料結(jié)構(gòu)的材料參數(shù)Table 1 Material parameters of seismic metamaterial structure

對(duì)于均勻且各向同性的完全線彈性波介質(zhì)，在小變形和初始應(yīng)力為零的假設(shè)下，取這種介質(zhì)中任意體積微元定義為研究對(duì)象。根據(jù)彈性波理論，可建立介質(zhì)在笛卡爾坐標(biāo)系下傳播的彈性波方程：

(1)

根據(jù)Bloch-Floquet定理[19]，在單元結(jié)構(gòu)的X方向和Y方向施加Bloch邊界條件，即位移幅度條件：

U(r+a)=eikaU(r)

(2)

式中：r為位移矢量；a為晶格常數(shù)；k為倒格子空間的波矢。

圖2 不可約Brillouin區(qū)Fig.2 Reduced Brillouin zones

在有限元計(jì)算中，給定一個(gè)波矢k值，即可求得一組結(jié)構(gòu)本征頻率。由于該單元為中心對(duì)稱結(jié)構(gòu)，只需沿著不可約Brillouin區(qū)(Γ-X-M-Γ)掃描波矢k如圖2所示，就可以求解結(jié)構(gòu)在這一方向的固有頻率。將不同方向的固有頻率按方向進(jìn)行排列，即可得到屏障結(jié)構(gòu)的能帶圖。

對(duì)于有限元系統(tǒng)的周期結(jié)構(gòu)，需要計(jì)算頻響函數(shù)曲線來描述其傳輸特性。在周期結(jié)構(gòu)的一端施加激勵(lì)信號(hào)，另一端拾取其產(chǎn)生的加速度響應(yīng)。定義有限結(jié)構(gòu)的傳遞譜：

FR=20 lg(u1/u2)

(3)

式中：u1為輸出位移響應(yīng)；u2為輸入位移響應(yīng)。

1.2 帶隙與機(jī)理分析

采用商業(yè)有限元軟件COMSOL Multiphysics5.4對(duì)田字形地震超材料結(jié)構(gòu)進(jìn)行了計(jì)算，得到了如圖3(a)所示的能帶結(jié)構(gòu)，其中聲錐用區(qū)域①隔離出來，表面波模態(tài)位于聲錐內(nèi)，體波模態(tài)位于聲錐外[20]。從圖中可以看出，在20 Hz以下存在一條完全帶隙 (灰色陰影部分)，完全帶隙頻率范圍為9～13.1 Hz。

為了探究產(chǎn)生帶隙的機(jī)理，給出了能帶結(jié)構(gòu)圖中特殊點(diǎn)A1的振動(dòng)模態(tài)，如圖3(b)所示。從圖中可以觀察到，A1點(diǎn)的振動(dòng)主要集中在田字形柱體上，其柱體頂部水平位移最大，土壤振動(dòng)的位移幾乎為零，產(chǎn)生了明顯的局域共振現(xiàn)象，打開了全帶隙。

圖3 (a)能帶結(jié)構(gòu)；(b)特殊點(diǎn)模態(tài)振型Fig.3 (a) Band structure diagram; (b) mode shape diagram with periodic structure

為了驗(yàn)證屏障產(chǎn)生的帶隙，建立如圖4所示的幾何模型，沿X方向周期排列10個(gè)單元屏障結(jié)構(gòu)，在Y方向施加周期性邊界條件。采用線位移來激發(fā)在土壤中傳播的體波和Rayleigh波[21]，在土壤左側(cè)激勵(lì)處沿Z軸負(fù)方向施加幅值為1的線位移激勵(lì)。波源距周期屏障的距離設(shè)置為25a，這樣做的目的是可以將體波耗散在土壤中，使得周期屏障只受Rayleigh波的影響。為了消除由土壤邊界反射的影響，在土壤的下底面以及兩側(cè)表面均施加完美匹配層(PLM)，其厚度為3a。在土壤右側(cè)響應(yīng)處拾取位移幅值響應(yīng)，得到頻率響應(yīng)函數(shù)曲線如圖5所示?？梢钥闯觯嬖趦蓚€(gè)衰減域(灰色陰影部分)，兩個(gè)衰減區(qū)域的頻率分別為4.5～8 Hz和9～13 Hz，衰減總范圍可達(dá)7.5 Hz，這與周期結(jié)構(gòu)在Γ-X方向上的帶隙基本匹配。

圖4 頻域分析有限周期模型內(nèi)的位移場(chǎng)分布Fig.4 Finite period model of frequency domain analysis

圖5 方向帶隙和頻率響應(yīng)曲線 Fig.5 Directional band gap and frequency response curve

進(jìn)一步研究表面的振動(dòng)特性，探討田字形超材料帶隙產(chǎn)生的機(jī)制，圖6給出了周期屏障在帶隙內(nèi)頻率處(9.1 Hz)沿X方向的位移場(chǎng)。在屏障陣列的內(nèi)部，振動(dòng)幅度在第一個(gè)屏障柱體處最大值，然后朝著入射方向呈指數(shù)衰減，因此在周期屏障的右側(cè)觀察到低透射率。第一屏障柱體處的振動(dòng)模式沿入射方向是反對(duì)稱的，沿正交方向?qū)ΨQ，這與實(shí)驗(yàn)的結(jié)果是一致的[22]。因此，超材料屏障產(chǎn)生的全帶隙明顯與柱體的局域共振機(jī)制有關(guān)。

圖6 周期結(jié)構(gòu)頻率范圍內(nèi)的位移場(chǎng)Fig.6 Displacement field distribution in frequency range of special points

1.3 田字形屏障幾何參數(shù)對(duì)帶隙的影響

當(dāng)保持土壤以上立柱高度h及其他參數(shù)不變，改變口字形框體埋入土壤的深度hd，得到了帶隙隨hd的變化曲線如圖7(a)所示。從圖中可以看出，隨著口字形框體埋入深度的增大，帶隙起始頻率逐漸升高。而對(duì)于截止頻率，當(dāng)埋入深度較小時(shí)截止頻率逐漸升高，但是當(dāng)埋入深度超過0.5 m時(shí)，截止頻率保持13.1 Hz不變。產(chǎn)生以上變化的原因是隨著hd的增加，系統(tǒng)剛度增大，導(dǎo)致起始和截止頻率升高；當(dāng)截止頻率上升到聲錐高度時(shí)保持不變，其聲錐高度由晶格常數(shù)決定，晶格常數(shù)a為恒值，因此，當(dāng)hd超過0.5 m時(shí)，截止頻率保持不變。

圖7 (a) 埋入深度hd對(duì)帶隙的影響；(b)柱體高度h對(duì)帶隙的影響Fig.7 (a) Effect of embedded depth hd on band gap; (b) effect of column height h on band gap

當(dāng)埋入深度hd=0.5 m時(shí)，其他幾何參數(shù)保持不變，研究了柱體在土壤以上高度h對(duì)帶隙的影響，如圖7(b)所示。從圖中可以看出，隨著柱體高度的增加，帶隙逐漸向低頻移動(dòng)，帶寬呈增加趨勢(shì)。這是由于當(dāng)柱體的高度增加時(shí)，其質(zhì)量增大，同時(shí)柱體的柔度增大，剛度降低，兩者的變化均導(dǎo)致帶隙向低頻移動(dòng)。因此，通過合理設(shè)計(jì)柱體的高度，可以更好地衰減10 Hz以下的地震波，并且能產(chǎn)生更寬的衰減范圍。

2 田字形填充單元結(jié)構(gòu)與傳輸特性

2.1 田字形全部填充單元結(jié)構(gòu)

根據(jù)上節(jié)分析，帶隙的打開是因?yàn)樘镒中沃w的局域共振。對(duì)于田字形混凝土構(gòu)成的結(jié)構(gòu)單元，將其單元的4個(gè)區(qū)域進(jìn)行土壤填充后，增大了柱體的質(zhì)量，從而可能會(huì)降低帶隙的起始頻率，更有利于對(duì)超低頻范圍內(nèi)的地震波實(shí)現(xiàn)有效衰減。進(jìn)一步，設(shè)計(jì)了田字形全部填充單元結(jié)構(gòu)，即利用土壤對(duì)田字形單元結(jié)構(gòu)的四個(gè)區(qū)域進(jìn)行填充，其結(jié)構(gòu)的尺寸與圖1保持一致。該填充單元結(jié)構(gòu)如圖8(a)所示。同時(shí)，計(jì)算了全部填充單元結(jié)構(gòu)的能帶結(jié)構(gòu)，如圖8(b)所示，從圖中可以看出，存在一條完全帶隙，帶隙范圍為6.8～11 Hz。

圖8 (a)全部填充單胞；(b)能帶結(jié)構(gòu)Fig.8 (a) All filled cells; (b) band structure diagram

進(jìn)一步給出了全部填充單胞能帶結(jié)構(gòu)特殊點(diǎn)A2和B2的模態(tài)振型，如圖9所示。從圖中可以看出，A2點(diǎn)的振型與A1點(diǎn)的振型一致，其局域共振打開了全帶隙。對(duì)于B2點(diǎn)的振型，振動(dòng)大部分集中在田字形柱體上和土壤上表面，其振動(dòng)模式呈縱向振動(dòng)。

圖9 能帶特殊點(diǎn)處模態(tài)振型圖Fig.9 Mode shape diagram with special points

利用有限元軟件同樣計(jì)算了排列10個(gè)周期單元的田字形全部填充結(jié)構(gòu)的傳輸特性，結(jié)果如圖10所示。可以看出，頻響函數(shù)曲線在Γ-X方向存在三個(gè)衰減域：第一個(gè)衰減域?yàn)?.3～4.4 Hz；第二個(gè)衰減域?yàn)?.8～11 Hz；第三個(gè)衰減域?yàn)?1.6～13.1 Hz?？梢钥闯銮皟蓚€(gè)衰減域的起始頻率均低于無填充田字形結(jié)構(gòu)的衰減域，對(duì)超低頻范圍內(nèi)的表面波有效地實(shí)現(xiàn)了屏蔽。

圖10 填充結(jié)構(gòu)的方向帶隙和頻響函數(shù)曲線Fig.10 Directional band gap and frequency response function curves of filled structures

2.2 填充物對(duì)帶隙的影響

采用土壤填充，分別對(duì)田字形屏障的4個(gè)填充區(qū)域進(jìn)行不同的數(shù)量填充，得到了填充數(shù)量對(duì)帶隙的影響曲線，如圖11所示。從圖中可以看出，隨著填充數(shù)量的增大，帶隙逐漸向低頻移動(dòng)，帶隙寬度基本保持不變。這是因?yàn)樘畛鋽?shù)量的增加，田字形整體柱體的質(zhì)量也相繼增大，導(dǎo)致帶隙向低頻移動(dòng)。從圖中還可以看出，當(dāng)填充數(shù)量等于2時(shí)，分別有相鄰和對(duì)角兩種方式的填充，且這兩種方式產(chǎn)生的帶隙基本一致。因此，增加填充的數(shù)量有利于產(chǎn)生更低頻帶隙。

圖11 填充數(shù)量對(duì)帶隙的影響Fig.11 Influence of filling number on band gap

進(jìn)一步，探究了填充物土壤的材料參數(shù)對(duì)帶隙的影響，當(dāng)田字形結(jié)構(gòu)的4個(gè)填充區(qū)域全部填充時(shí)，圖12(a)、(b)分別給出了填充物土壤的密度和楊氏模量對(duì)帶隙的影響曲線。從圖12(a)中可以看出，隨著填充物密度的增加，帶隙向低頻移動(dòng)。這是因?yàn)?，隨著密度的增加，填充的質(zhì)量增加，導(dǎo)致田字形柱體質(zhì)量的增加，帶隙向低頻移動(dòng)。從圖12(b)中可以看出，隨著填充物楊氏模量的增加，帶隙中心頻率基本保持不變，帶隙上下邊緣也基本保持不變。

圖12 (a)填充物的密度對(duì)帶隙的影響；(b)填充物的楊氏模量對(duì)帶隙的影響Fig.12 (a) Effect of density on band gap; (b) effect of Young’s modulus on band gap

2.3 正、負(fù)梯度填充屏障結(jié)構(gòu)

上文的分析表明，田字形結(jié)構(gòu)隨著填充物數(shù)量的增加，帶隙起始頻率只會(huì)向低頻移動(dòng)，但不能同時(shí)滿足低頻和寬帶隙的要求?？紤]到帶隙的局域共振形成機(jī)理，若對(duì)周期方向的田字形結(jié)構(gòu)的4個(gè)區(qū)域做正梯度或負(fù)梯度填充，即會(huì)改變柱體的質(zhì)量，形成質(zhì)量梯度，則將有可能實(shí)現(xiàn)擴(kuò)寬帶隙的范圍，從而達(dá)到更好的隔震效果。定義在波傳播方向，由未填充到填充4個(gè)的排列方式為正梯度填充，反之則為負(fù)梯度填充。沿X方向分別布置10個(gè)單元屏障，其中兩個(gè)單元屏障為一組，總共為5組。正梯度填充是將5組屏障從0個(gè)填充到4個(gè)填充；負(fù)梯度填充是從4個(gè)填充到0個(gè)填充，正、負(fù)梯度填充單元結(jié)構(gòu)如圖13所示。分別計(jì)算了正、負(fù)梯度填充結(jié)構(gòu)的傳輸特性如圖14所示，圖中虛線為正梯度填充屏障的頻響曲線，實(shí)線為負(fù)梯度填充屏障的頻響曲線?？梢钥闯觯合啾扔跓o填充和全部填充屏障，正、負(fù)梯度填充屏障結(jié)構(gòu)具有更寬的衰減域，且二者的衰減范圍相同，都覆蓋了3.3～13.1 Hz的寬頻范圍。

圖13 正、負(fù)梯度填充周期結(jié)構(gòu)Fig.13 Positive and negative gradient filled periodic structures

圖14 正、負(fù)梯度填充屏障頻率響應(yīng)曲線Fig.14 Positive and negative gradient filled barrier frequency response curve

進(jìn)一步，分別給出了正、負(fù)梯度填充屏障所不同頻率下的位移場(chǎng)分布，分別如圖15、16所示。圖15(a)、(b)分別為正梯度填充屏障在頻率為3.8 Hz和9.8 Hz下的位移場(chǎng)分布；圖16(a)、(b)給出了負(fù)梯度填充屏障在頻率為3.8 Hz和9.8 Hz下的位移場(chǎng)分布。從圖中可以看出，當(dāng)Rayleigh波經(jīng)過正、負(fù)梯度填充屏障時(shí)，兩屏障都可以有效地保護(hù)建筑物免受地震波破壞。

當(dāng)Rayleigh波到達(dá)正梯度填充屏障時(shí)，帶隙內(nèi)頻率較低的Rayleigh波能量主要集中在屏障立柱上，形成類似于“彩虹捕獲”的現(xiàn)象[23]。這是因?yàn)?，不同?shù)量填充的屏障會(huì)產(chǎn)生不同的較低諧振頻率(3.3～4.5 Hz)，因此，當(dāng)位于諧振頻率范圍內(nèi)的Rayleigh波通過柱體會(huì)使得不同頻率的波被捕獲在不同的位置，從而使波不能向前傳播。當(dāng)頻率為3.8 Hz的波從左向右傳播時(shí)，Rayleigh波會(huì)越傳越慢，最終會(huì)在2個(gè)填充屏障(對(duì)應(yīng)起始頻率為3.801 Hz)附近停止向前傳播，并且波的能量被局域在該位置，如圖15(a)所示。當(dāng)高于諧振頻率(大于4.5 Hz)的Rayleigh波傳播時(shí)，發(fā)生了偏轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)化成無害的體波耗散在土壤中。

圖15 正梯度填充屏障位移場(chǎng)分布Fig.15 Displacement field distribution of positive gradient filled barrier

負(fù)梯度填充屏障時(shí)，當(dāng)帶隙范圍內(nèi)的Rayleigh波到達(dá)屏障，土壤和前幾周期屏障均產(chǎn)生較大的位移，并且Rayleigh波發(fā)生了偏轉(zhuǎn)，將Rayleigh波轉(zhuǎn)化體波耗散在土壤中，從而起到減震隔震的目的。

梯度填充屏障結(jié)構(gòu)之所以產(chǎn)生甚低頻寬帶隙是因?yàn)樘荻忍畛淦琳现械娜刻畛淦琳暇哂猩醯皖l的帶隙特性，并且由于梯度填充屏障是由不同的結(jié)構(gòu)單元組成，每個(gè)單元都具有特定的頻率范圍，而梯度填充屏障具備了所有單元的帶隙特性，因此，梯度填充屏障具有甚低頻寬帶帶隙特性。

圖16 負(fù)梯度填充屏障位移場(chǎng)分布Fig.16 Displacement field distribution of negative gradient filled barrier

為了探究梯度填充屏障對(duì)于不同方向地震波的衰減效果，計(jì)算了正梯度填充屏障在ΓX和ΓM方向的透射譜，結(jié)果如圖17所示。從圖中可以看出，在這兩個(gè)個(gè)方向都存在衰減域，并且其衰減范圍基本一致，說明了正梯度填充屏障可以衰減多方向的Rayleigh波。

圖17 正梯度在不同方向的頻響曲線Fig.17 Frequency response curves of positive gradient in different directions

為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的屏障結(jié)構(gòu)在真實(shí)地震波作用下的隔震減震效果，選取具有代表性的EI-Centro地震波[24]對(duì)如圖13(a)所示的10周期正梯度填充屏障進(jìn)行時(shí)程分析。在圖13(a)所示的激勵(lì)A(yù)點(diǎn)處沿Z方向輸入EI-Centro地震波，在拾取B點(diǎn)處分別拾取X、Z方向加速度響應(yīng)。圖18(a)為地震波的加速度時(shí)程圖，圖18(b)為地震波的頻譜曲線圖，可以看出，EI-Centro地震波的主頻集中在10 Hz以下，基本上覆蓋了正梯度填充屏障結(jié)構(gòu)所產(chǎn)生的衰減域。

圖18 (a)EI-Centro地震波時(shí)程圖；(b)EI-Centro地震波頻譜曲線Fig.18 (a) EI-Centro seismic wave time history diagram; (b) EI-Centro seismic wave spectrum curve

圖19(a)、(b)分別給出了正梯度填充屏障在X和Z方向的加速度響應(yīng)。由于正梯度填充屏障產(chǎn)生的衰減域基本上覆蓋了EI-Centro地震波的主頻，因此可以看出，當(dāng)?shù)卣鸩ń?jīng)過周期屏障后，在X和Z兩個(gè)方向的加速度響應(yīng)都有明顯的衰減，在X方向加速最大值衰減超過70%；在Z方向加速度最大值衰減超過80%。進(jìn)一步驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)的正梯度填充屏障具有良好的隔震效果，可以保護(hù)建筑結(jié)構(gòu)免受地震波的危害。

圖19 (a)X方向加速度響應(yīng)；(b)Z方向加速度響應(yīng)Fig.19 (a) X direction acceleration response; (b) Z direction acceleration response

3 結(jié) 論

在減震隔震的研究基礎(chǔ)上，本文提出了一種田字形地震超材料屏障結(jié)構(gòu)，采用有限元法計(jì)算了能帶結(jié)構(gòu)和頻率響應(yīng)曲線，分析了其產(chǎn)生帶隙的機(jī)理，討論了填充物材料參數(shù)對(duì)帶隙的影響曲線，最后進(jìn)行了真實(shí)地震波時(shí)程驗(yàn)證，得出以下結(jié)論：

(1)由部分埋入的口字形柱體與未埋入的十字形柱體連接組成的田字形地震超材料結(jié)構(gòu)，具有強(qiáng)度高、穩(wěn)定性強(qiáng)及調(diào)節(jié)帶隙靈活性強(qiáng)的特點(diǎn)。

(2)田字形地震超材料屏障結(jié)構(gòu)對(duì)于20 Hz以下的Rayleigh波具有良好的衰減效果，衰減總范圍可達(dá)7.5 Hz，其帶隙的打開是因?yàn)橹w的局域共振。將田字形柱體進(jìn)行填充，可對(duì)帶隙的位置進(jìn)行調(diào)節(jié)，形成甚低頻帶隙；通過設(shè)計(jì)正、負(fù)梯度填充方式，可實(shí)現(xiàn)拓寬帶隙的范圍。

(3)正、負(fù)梯度填充屏障結(jié)構(gòu)兩者的衰減范圍一致，并且其隔震機(jī)理都是基于屏障的局域共振，但二者在低頻的隔震減震方式不同。正梯度填充屏障是通過周期屏障的局域共振將諧振頻率范圍內(nèi)的表面Rayleigh波能量局域在柱體中，形成一種類似于“彩虹捕獲”的作用，將高于諧振頻率的Rayleigh波通過偏轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為體波，從而抑制Rayleigh波向前傳播實(shí)現(xiàn)隔震的目的；負(fù)梯度填充屏障是經(jīng)過周期屏障的局域共振將表面Rayleigh波轉(zhuǎn)化為體波耗散在土壤中起到隔震的作用。