歐陽(yáng)柏平

（廣州華商學(xué)院數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 511300）

考慮非線性記憶項(xiàng)的弱耦合半線性Moore-Gibson-Thompson（MGT）系統(tǒng)柯西問(wèn)題解的爆破

Moore-Gibson-Thompson（MGT）方程是一類重要的非線性聲學(xué)方程，在醫(yī)學(xué)和工業(yè)中有重要的應(yīng)用［1?3］.物理上描述波在粘性熱松弛流體中的傳播，表示為如下三階雙曲方程

其中，u=u(t，x)為聲速勢(shì)函數(shù)，c表示聲速，b=βc2表示聲擴(kuò)散率，τ為松弛因子，τ∈(0，β].

根據(jù)半群理論，τ=β時(shí)不具有半群指數(shù)穩(wěn)定性.更多有關(guān)半線性MGT方程解的性態(tài)研究，參考文獻(xiàn)［4?10］.

式（1）中，如果β1=β2=0，γ1=γ2，p=q，則變?yōu)?/p>

文獻(xiàn)［11］對(duì)上式進(jìn)行了研究，通過(guò)對(duì)初始數(shù)據(jù)的符號(hào)假設(shè)，運(yùn)用迭代方法和切片化方法，證明了在臨界和次臨界2種情況下全局解的非存在性.同時(shí)，還推出了2種情況下解的生命跨度的上界估計(jì).

文獻(xiàn)［12?18］考慮了下面弱耦合半線性波動(dòng)系統(tǒng)解的爆破問(wèn)題

其中，q，p＞1，n≥1，ε＞0.

上述波動(dòng)系統(tǒng)中，其臨界曲線為

當(dāng)αW＜(n-1)2時(shí)，存在唯一的全局解.當(dāng)αW≥(n-1)2時(shí)，其解爆破.

上述弱耦合半線性波動(dòng)系統(tǒng)柯西問(wèn)題解的爆破研究，不僅是單個(gè)波動(dòng)方程的簡(jiǎn)單推廣，特別是當(dāng)p≠q時(shí).文獻(xiàn)［19?24］研究了單個(gè)波動(dòng)方程柯西問(wèn)題解的情況.與文獻(xiàn)［13?26］相比，考慮具有非線性記憶項(xiàng)的高階弱耦合波動(dòng)系統(tǒng)解的爆破.模型（1）中當(dāng)β1=β2，γ1=γ2，p=q時(shí)，弱耦合問(wèn)題（1）將一定程度退化為單個(gè)非線性記憶項(xiàng)的MGT方程.而p≠q時(shí)，因?yàn)橛叶巳躐詈犀F(xiàn)象的出現(xiàn)，使得研究臨界曲線的非對(duì)稱區(qū)域變得非常復(fù)雜而且困難.另外，與經(jīng)典的弱耦合波動(dòng)方程相比［19?24］，問(wèn)題（1）會(huì)出現(xiàn)關(guān)于時(shí)間的高階導(dǎo)數(shù)，這樣使得無(wú)界乘子產(chǎn)生非常大作用，同時(shí)也使得經(jīng)典的反射法等技巧不適用.

因此，本文非線性記憶項(xiàng)下弱耦合高階MGT方程組中解的爆破問(wèn)題并非已有研究的簡(jiǎn)單推廣.其研究思路是基于近年來(lái)學(xué)者提出的解決某些高階雙曲方程解的爆破問(wèn)題的迭代技巧［25?31］，其目標(biāo)是分析弱耦合半線性MGT系統(tǒng)中非線性記憶項(xiàng)對(duì)解的爆破以及生命跨度的影響.特別是，需要重點(diǎn)解決因?yàn)闊o(wú)界乘子的引入而無(wú)法應(yīng)用Kato引理研究其解的爆破情況.

1 主要結(jié)果

首先定義問(wèn)題（1）的柯西問(wèn)題能量解.

定義1設(shè)(u0，u1，u2，v0，v1，v2)∈(H2(Rn)×H1(Rn)×L2(Rn))×(H2(Rn)×H1(Rn)×L2(Rn)).(u，v)是問(wèn)題（1）在[0，T)上的能量解，若

且滿足

和

應(yīng)用分部積分于式（2）和（3），有

以及

當(dāng)t→T時(shí)，可得(u，v)滿足問(wèn)題（1）的能量解的定義.

設(shè)(u0，u1，u2，v0，v1，v2)∈(H2(Rn)×H1(Rn)×L2(Rn))2是非負(fù)緊致函數(shù)，其包含在半徑為R的球BR中，使得ui，vi(i=0，1，2)不恒為0.若(u，v)是（1）的解，其生命跨度T(ε)滿足

則存在正常數(shù)ε0=ε0(u0，u1，u2，v0，v1，v2，n，p，q，R，β1，β2)，使得當(dāng)ε∈(0，ε0]時(shí)，(u，v)在有限時(shí)間爆破，進(jìn)一步求得其生命跨度的上界估計(jì)是

2 定理的證明

定義2個(gè)泛函

對(duì)式（10）和（11）關(guān)于t求導(dǎo)，有

其中，c1=c1(n，p)＞0.

結(jié)合式（12）和（14），有

式（15）積分2次，整理，得到

對(duì)式（16）兩邊進(jìn)一步積分，整理，有

類似的推導(dǎo)，有

需要進(jìn)一步研究U(t)和V(t)的下界序列及第一下界估計(jì).因此，引入如下正光滑函數(shù)［32］

Φ(x)有以下性質(zhì)

當(dāng)|x|→∞時(shí).

設(shè)函數(shù)Ψ=Ψ(t，x)=exp(-t)Φ(x).由Ψ定義，有

定義2個(gè)泛函U1(t)，V1(t)

式（2）和（3）中令Ψ=φ，Ψ=φ，分別得到

以及

將分部積分和Ψ的性質(zhì)應(yīng)用到式（20）和（21），可推得

和

將式（19）代入到式（22），得到

其中，

式（24）中，令G(t)=U1′(t)+2U1(t)，于是有

對(duì)式（25）兩邊求積分，可得

式（26）進(jìn)一步積分，得到

其中，C1為正常數(shù).

同樣地，有

其中，

由Ψ的漸近性［33］，易得

其中，k＞0.

運(yùn)用定理?xiàng)l件和H?lder不等式，有

因此，可以推得

聯(lián)立式（12）和（31），得到

對(duì)上式積分，可推得

其中，m1=β1U′(0)+U(0)，m2=β1U″(0)+U′(0).

積分式（33），可推出

類似的推導(dǎo)，可得

為了完成定理1的證明，需要構(gòu)造U(t)和V(t)的迭代序列.為此，設(shè)

其中，{Dj}j≥1，{Qj}j≥1，{αj}j≥1，{aj}j≥1，{σj}j≥1，{r j}j≥1均為非負(fù)實(shí)序列，{Lj}j≥1為無(wú)限積收斂的部分積序列，其中，

由定義易知，j=1時(shí)，式（34）蘊(yùn)含式（36），式（35）蘊(yùn)含式（37）.假如式（36）和（37）對(duì)任意的j≥1均成立，下證對(duì)j+1也滿足.

將式（37）代入到式（17），有

其中，t≥Lj+1.

同樣，將式（36）代入到式（18），可得

其中，t≥Lj+1.

式（38）和（39）中，令

于是，有

由式（42）和（43）易知，式（36）和（37）對(duì)j+1成立.

設(shè)j為奇數(shù)，結(jié)合式（40）和（41），利用遞推關(guān)系，可推出

結(jié)合式（40）和（41），可推出

由遞推關(guān)系，對(duì)式（49）和（50）進(jìn)一步化簡(jiǎn)，得到

j為奇數(shù)時(shí)，式（51）兩邊取對(duì)數(shù)，由遞推關(guān)系，有

設(shè)j0為滿足下式的正整數(shù)

類似地，對(duì)于式（52），由遞推關(guān)系，可推出

結(jié)合式（36）和（37），得到

其中，j≥max{j0，j1}，t≥L.

其中，j≥max{j0，j1}，t≥L.

取t≥max{R，3L}，此時(shí)有

式（60）和（61）右邊指數(shù)函數(shù)中t的指數(shù)是

式（62）和（63）中，min{γ1(n，p，q，γ1，γ2)，γ2(n，p，q，γ1，γ2)}＞0時(shí)，t的指數(shù)是正的.

同理，γ2(n，p，q)＞0時(shí)，對(duì)于上述恰當(dāng)?shù)摩?，有

綜上，問(wèn)題（1）的全局解不存在.進(jìn)一步可得(u，v)的生命跨度估計(jì)為

定理1得證.