張申貴

西北民族大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，甘肅 蘭州 730030

差分方程主要來(lái)源于微分方程的離散化，許多實(shí)際問(wèn)題中都涉及到大量差分方程模型，這些模型廣泛地出現(xiàn)在信息科學(xué)、金融學(xué)和生物遺傳學(xué)等科學(xué)領(lǐng)域。

臨界點(diǎn)理論是非線性泛函分析的重要分支，許多基于臨界點(diǎn)理論的分析方法已成為研究具有變分結(jié)構(gòu)的算子方程可解性的有效工具，如極小極大方法、下降流不變集結(jié)合單調(diào)迭代的方法、移動(dòng)平面法、Nehari 流形方法和指標(biāo)理論等。Guo 等［1］建立了二階差分方程周期解問(wèn)題的變分結(jié)構(gòu)，并利用鞍點(diǎn)型臨界點(diǎn)定理得到了二階差分方程周期解的存在性。隨后，該問(wèn)題引起了學(xué)者的興趣，很多學(xué)者開(kāi)始利用臨界點(diǎn)理論研究離散二階系統(tǒng)對(duì)所有(k，x)∈Z×RN成立。文獻(xiàn)［5-6］中得到了系統(tǒng)（1）周期解和多重周期解的可解性定理。文獻(xiàn)［7］利用指標(biāo)理論得到了非線性二階差分方程邊值問(wèn)題多重解的存在性結(jié)果。文獻(xiàn)［8］應(yīng)用Schaefer 不動(dòng)點(diǎn)定理獲得了一類分?jǐn)?shù)階差分方程解的存在性結(jié)果，同時(shí)得到了方程的解具有Ulam穩(wěn)定性。

本文研究變指數(shù)離散二階系統(tǒng)

本文中，先將系統(tǒng)（3）的周期解轉(zhuǎn)化為定義在離散變指數(shù)Sobolev 空間上一個(gè)泛函的臨界點(diǎn)。對(duì)比已有研究，問(wèn)題（3）對(duì)應(yīng)的能量泛函的形式的選取是不同的。再利用臨界點(diǎn)理論中的極小作用原理和鞍點(diǎn)定理證明變指數(shù)離散二階系統(tǒng)（3）至少一個(gè)T-周期解的存在性定理。

1 準(zhǔn)備知識(shí)

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)條件（M1），（H），（F1）和（F2）成立，則問(wèn)題（3）有一個(gè)T-周期解。

定理2 設(shè)條件（M1），（M2），（H），（F1）和（F3）成立，則問(wèn)題（3）有一個(gè)T-周期解。

類似于式（9）的證明有

由條件（M1）和式（11），有

又由式（6）得

由條件（M2）和式（12）有

綜上所述，泛函φ滿足引理4（鞍點(diǎn)定理）中所有條件。由引理4 知，泛函φ至少有1 個(gè)臨界點(diǎn)，從而問(wèn)題（3）至少有一個(gè)T-周期解。