孟旭東

南昌航空大學(xué)科技學(xué)院，江西 共青城 332020

在可行集和目標函數(shù)擾動下關(guān)于最優(yōu)化問題解集的穩(wěn)定性是一項具有重大意義的研究課題。到目前為止，許多作者研究了此類問題[1-10]。當(dāng)目標函數(shù)和可行集被擾動或兩者均被擾動時，得到了有效解映射和多函數(shù)極小點的相關(guān)穩(wěn)定性結(jié)果。在有限維歐氏空間中，Cheng等[11]利用線性標量化方法得到了參數(shù)弱向量變分不等式解集映射的上半連續(xù)性和下半連續(xù)性。據(jù)文獻［11］的思想，Gong[12]分析了參數(shù)弱向量平衡問題解集映射的連續(xù)性。運用標量化技巧，Gong 等[13]討論了廣義參數(shù)系統(tǒng)解集映射的下半連續(xù)性。在沒有一致緊性假設(shè)的實局部凸Hausdorff 拓撲線性空間中，Chen等[14]建立了強向量平衡問題解集映射的連續(xù)性定理。在不具映射單調(diào)性和（近似）解集映射信息的情況下，文獻［15-16］利用線性標量化方法和稠密性結(jié)果分析了（近似）解集映射的半連續(xù)性。

最近，在有限維空間中，Chicco 等[17]引入了改進集E-最優(yōu)點的概念，并討論了E-最優(yōu)點的存在性。隨后，Gutiérrez 等[18]將E-最優(yōu)點的概念推廣到一般序偶線性空間，并通過標量化方法得到了向量優(yōu)化問題E-最優(yōu)解的充要條件。在Wijmann 意義下的集合序列的收斂性下，Zhao 和Yang 在文獻［19-20］中利用改進集得到了擾動下的統(tǒng)一穩(wěn)定性結(jié)果，并給出了向量優(yōu)化問題的E-Benson 真有效解的標量化定理。Oppezzi 和Rossi 在文獻［21-22］中討論了E-最優(yōu)解存在的最優(yōu)條件和穩(wěn)定性。Xu 等[23]利用u-下序映射的半連續(xù)性，得到了參數(shù)集合優(yōu)化問題最小解集映射的連續(xù)性。在目標映射非緊性的基本條件下，借助水平映射的連續(xù)性，Khoshkhabar-amiranloo[24]討論了集合優(yōu)化問題最小解集映射的穩(wěn)定性。在適當(dāng)?shù)臈l件下，Mao 等[25]利用改進集建立了參數(shù)集合優(yōu)化問題解集映射的上半連續(xù)性，Hausdorff 上半連續(xù)性和下半連續(xù)性。孟旭東等［26］在拓撲向量空間中研究了雙參廣義集值優(yōu)化問題解集映射連續(xù)的最優(yōu)性條件。孟旭東等［27］借助向量函數(shù)的凸性和單調(diào)性，應(yīng)用分析方法建立了參數(shù)強向量原始與對偶均衡問題解映射Lipschitz連續(xù)的充分性定理。邵重陽等[28]討論了一類新的參數(shù)廣義向量擬均衡問題解映射的穩(wěn)定性，獲得了解映射Berge 連續(xù)性的充分必要條件。Peng 等[29]建立了具改進集的弱廣義對稱Ky Fan 不等式問題解映射的上半連續(xù)性和下半連續(xù)性的標量化定理。眾所周知，集值映射的C-Hausdorff 連續(xù)性弱于Berge 連續(xù)性。在C-Hausdorff 連續(xù)性條件下，Xu等[30]建立了參數(shù)集值向量優(yōu)化問題最小解集映射的半連續(xù)性定理。

受文獻［23-25，30］研究的啟發(fā)，在C-Hausdorff 連續(xù)性基本假設(shè)下，利用水平映射方法研究具改進集的參數(shù)集值優(yōu)化問題解集映射的穩(wěn)定性。

1 背景知識

本文設(shè)X，Y，Λ，Ω 為實賦范線性空間，C?Y為閉凸點錐且int(C) ≠?. 據(jù)文獻［17］知，非空集合B?Y關(guān)于錐C的上綜合集u-compr(B)定義為u-compr(B) ?B+C. 非空集合E?Y稱為上綜合集，如果u-compr(E) =E. 非空上綜合集E?Y稱為關(guān)于錐C的改進集，如果0 ?E. 非空集合A?Y稱為E-閉集，如果A+E為閉集。

記問題（PSVOP）關(guān)于改進集E的l-最小解的全體為SF，E(λ，μ).

本文總假設(shè)對每個(λ，μ) ∈Λ × Ω，SF，E(λ，μ) ≠?，討論SF，E在Λ × Ω上的穩(wěn)定性。

定義5[12-14,31]設(shè)T1，T2為拓撲空間，M：T1→2T2{?}為非空集值映射，給定x0∈T1，則

（i）M在x0處Berge 上半連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)對M(x0)的任何鄰域W?T2，存在x0的鄰域U?T1，使得對任意x∈U，有M(x) ?W.

（ii）M在x0處Berge 下半連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)對任何開集W?T2，滿足M(x0)∩W≠?，存在x0的鄰域U?T1，使得對任意x∈U，有M(x) ∩W≠?.

（iii）M在T1上Berge 上（下）半連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)M在T1上的每一點處皆為Berge 上（下）半連續(xù)。此時，M在T1上Berge連續(xù)，如果M在T1上既Berge上半連續(xù)又Berge下半連續(xù)。

（iv）M在x0處Hausdorff 上半連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)對0 ∈T1的任何鄰域W?T2，存在x0的鄰域U?T1，使得對任意x∈U，有M(x) ?M(x0)+W.

（v）M在x0處Hausdorff 下半連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)對0 ∈T1的任何鄰域W?T2，存在x0的鄰域U?T1，使得對任意x∈U，有M(x0)?M(x) +W.

（vi）M在T1上Hausdorff上（下）半連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)M在T1上的每一點處皆為Hausdorff上（下）半連續(xù)。此時，M在T1上為Hausdorff連續(xù)，如果M在T1上既Hausdorff上半連續(xù)又Hausdorff下半連續(xù)。

（vii）M在x0處C-Hausdorff上半連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)對0 ∈T1的任何鄰域W?T2，存在x0的鄰域U?T1，使得對任意x∈U，有M(x) ?M(x0)+W+C.

（viii）M在x0處C-Hausdorff 下半連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)對0 ∈T1的任何鄰域W?T2，存在x0的鄰域U?T1，使得對任意x∈U，有M(x0)?M(x) +W+C.

（ix）M在T1上C-Hausdorff 上（下）半連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)M在T1上的每一點處皆為C-Hausdorff 上（下）半連續(xù)。此時，M在T1上為C-Hausdorff連續(xù)，如果M在T1上既C-Hausdorff上半連續(xù)又C-Hausdorff下半連續(xù)。注1 在定義5中，M在T1上具有Berge上（下）半連續(xù)性，通常簡稱為M在T1上具有上（下）半連續(xù)性。注2 據(jù)定義5易知，若M在T1上Hausdorff連續(xù)，則M在T1上C-Hausdorff連續(xù)，由文獻［31］知，反之不然。

引理4[30]設(shè)T1，T2為拓撲空間，M：T1→2T2{?}為非空集值映射，若M在T1上連續(xù)，則M在T1上C-Hausdorff連續(xù)。

注3 若M在T1上C-Hausdorff連續(xù)，但M在T1上不一定連續(xù)，反例見文獻［30］中的例2.1和例2.2。引理5[1,28]設(shè)T1，T2為拓撲空間，M：T1→2T2{?}為非空集值映射，給定x0∈T1，則

（i）M在x0處下半連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)對任何序列{xn}?T1，xn→x0，及任意y0∈M(x0)，存在yn∈M(xn)，使得yn→y0.

（ii）對任意x0∈T1，M(x0)為緊集，則M在x0處上半連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)對任何序列{xn}?T1，xn→x0，及任何序列yn∈M(xn)，存在y0∈M(x0)，及子列{ynk}?{yn}，使得ynk→y0.

引理6[31]設(shè)T1，T2為拓撲空間，M：T1→2T2{?}為非空集值映射，給定x0∈T1，則

（i）若M在x0處上半連續(xù)，則M在x0處Hausdorff 上半連續(xù)。反之，若M在x0處Hausdorff 上半連續(xù)且M(x0)為緊集，則M在x0處上半連續(xù)。

（ii）若M在x0處Hausdorff 下半連續(xù)，則M在x0處下半連續(xù)。反之，若M在x0處下半連續(xù)且M(x0)為緊集，則M在x0處Hausdorff下半連續(xù)。

2 問題（PSVOP）解集的連續(xù)性

首先給出問題（PSVOP）的水平集值映射LF，E的上半連續(xù)性和下半連續(xù)性。

定理1 設(shè)F：X× Λ × Ω →2Y{?}，K：Ω →2X{?}為給定非空集值映射，給定(λ0，μ0)∈Λ × Ω，對任意y∈K(μ0)，LF，E(y，λ0，μ0)≠?，如果以下條件成立：

（i）K在μ0處上半連續(xù)且K(μ0)為緊集；

（ii）F在K(μ0)×{λ0}×{μ0}上C-Hausdorff連續(xù)；

（iii）F在K(Ω) × Λ × Ω上為E-閉的；

則LF，E在K(μ0)×{λ0}×{μ0}上為上半連續(xù)的。

證明 用反證法。假設(shè)LF，E在K(μ0)×{λ0}×{μ0}上不是上半連續(xù)的，則存在y0∈K(μ0)，使得LF，E在(y0，λ0，μ0)處不是上半連續(xù)的。從而存在LF，E(y0，λ0，μ0)的鄰域V0?X，對(y0，λ0，μ0)的任何鄰域Vy0×Vλ0×Vμ0?X× Λ × Ω，存在(y，λ，μ) ∈Vy0×Vλ0×Vμ0∩DL F，E，使得

由式（1）知，存在{(yn，λn，μn)}?DL F，E滿足(yn，λn，μn) →(y0，λ0，μ0)，使得LF，E(yn，λn，μn) ?V0，故存在xn∈LF，E(yn，λn，μn)，使得

由xn∈LF，E(yn，λn，μn)知，xn∈K(μn)，且

由K(μ0)為緊集且K在μ0處具有上半連續(xù)性，據(jù)引理5的（ii）知，存在x0∈K(μ0)，及子列{xnk}?{xn}，使得xnk→x0，則必有x0∈LF，E(y0，λ0，μ0).

事實上，對任意ε＞0，e∈int(C)，int(C) -ε?e作為0 ∈Y的鄰域，由F在(x0，λ0，μ0)處是C-Hausdorff上半連續(xù)的知，當(dāng)n充分大時，有

故x0∈LF，E(y0，λ0，μ0). 再由xnk→x0及以上的鄰域V0知，存在K0∈N，當(dāng)k≥K0時，有xnk∈V0，這與式（2）矛盾。所以，LF，E在M(μ0)×{λ0}×{μ0}上是上半連續(xù)的。

定理2 設(shè)F：X× Λ × Ω →2Y{?}，K：Ω →2X{?}為給定非空集值映射，給定(λ0，μ0)∈Λ × Ω，對任意y∈K(μ0)，LF，E(y，λ0，μ0)≠?，如果以下條件成立

（i）K在μ0處連續(xù)且K(μ0)為緊凸集；

（ii）F在K(μ0)×{λ0}×{μ0}上C-Hausdorff連續(xù)；

（iii）F在K(Ω) × Λ × Ω上為E-閉的；

（iv）F(?，λ0，μ0)在K(μ0)上為嚴格E-擬凸的；則LF，E在K(μ0)×{λ0}×{μ0}上為下半連續(xù)的。

證明 用反證法。假設(shè)LF，E在K(μ0)×{λ0}×{μ0}上不是下半連續(xù)的，則存在y0∈K(μ0)，使得LF，E在(y0，λ0，μ0)處不是下半連續(xù)的。據(jù)已知條件，LF，E(y0，λ0，μ0)≠?，不失一般性，存在x1∈LF，E(y0，λ0，μ0)，0 ∈X的鄰域V0?X，及{(yn，λn，μn)}?DLF，E，滿足(yn，λn，μn)→(y0，λ0，μ0)，使得

這與式（8）矛盾。

情形2 若LF，E(y0，λ0，μ0)為不是單點集。

不失一般性， 假設(shè)x1，x2∈LF，E(y0，λ0，μ0) 且x1≠x2， 有F(y0，λ0，μ0)?F(x1，λ0，μ0)+E且F(y0，λ0，μ0)?F(x2，λ0，μ0)+E. 由F(?，λ0，μ0)在K(μ0)上為嚴格E-擬凸的且K(μ0)為凸集，則對任意t∈(0，1)，有

取n0= max{N0，N2}，當(dāng)n≥n0時，由式（12）、式（13）和式（16）知

這與式（8）矛盾，故LF，E在K(μ0)×{λ0}×{μ0}上為下半連續(xù)的。

定理3 設(shè)F：X× Λ × Ω →2Y{?}，K：Ω →2X{?}為給定非空集值映射，給定(λ0，μ0)∈Λ × Ω，對任意y∈K(μ0)，LF，E(y，λ0，μ0)≠?，如果以下條件成立：

（i）K在μ0處連續(xù)且K(μ0)為緊凸集；

（ii）F在K(μ0)×{λ0}×{μ0}上為C-Hausdorff連續(xù)的；

（iii）F在K(Ω) × Λ × Ω上為E-閉的；

（iv）F(?，λ0，μ0)在K(μ0)上為嚴格E-擬凸的；則SF，E在(λ0，μ0)處連續(xù)，且SF，E(λ0，μ0)為緊閉集。

證明

第1步 證明SF，E在(λ0，μ0)處上半連續(xù)。

第2步 證明SF，E(λ0，μ0)為緊閉集。

任取xn∈SF，E(λn，μn)，xn→x0. 由xn∈K(μn)及條件（i）知，x0∈K(μ0). 類似于第1步的論證過程可知x0∈SF，E(λ0，μ0)，故SF，E(λ0，μ0)為閉集。注意到條件（i）易知SF，E(λ0，μ0)為緊集，且SF，E(λ0，μ0)?K(μ0).

第3步 證明SF，E在(λ0，μ0)處下半連續(xù)。

由(xn，λn，μn) →(x，λ0，μ0) 知，存在N∈N，當(dāng)n≥N時，有(xn，λn，μn)∈Wx0×Wλ0×Wμ0. 再由F(xn，λn，μn)?F(xn，λn，μn)+E知，xn∈LF，E(xn，λn，μn)， 則LF，E(xn，λn，μn)≠?. 由式（19）知，W0∩LF，E(xn，λn，μn)≠?. 設(shè)xˉn∈W0∩LF，E(xn，λn，μn)，則xˉn∈W0，xˉn∈K(μn)，且

這與xn∈SF，E(λn，μn)矛盾，故xˉn∈SF，E(λn，μn). 又由xˉn∈W0∩LF，E(xn，λn，μn)，則xˉn∈W0∩SF，E(λn，μn)，這與式（20）矛盾，故SF，E在(λ0，μ0)處是下半連續(xù)的。

據(jù)定理3及引理6得

定理4 設(shè)F：X× Λ × Ω →2Y{?}，K：Ω →2X{?}為給定非空集值映射，給定(λ0，μ0)∈Λ × Ω，對任意y∈K(μ0)，LF，E(y，λ0，μ0)≠?，若以下條件成立

（i）K在μ0處連續(xù)且K(μ0)為緊凸集；

（ii）F在K(μ0)×{λ0}×{μ0}上為C-Hausdorff連續(xù)的；

（iii）F在K(Ω) × Λ × Ω上為E-閉的；

（iv）F(?，λ0，μ0)在K(μ0)上為嚴格E-擬凸的；

則SF，E在(λ0，μ0)處Hausdorff連續(xù)，且SF，E(λ0，μ0)為緊閉集。

據(jù)定理3及引理4得

定理5 設(shè)F：X× Λ × Ω →2Y{?}，K：Ω →2X{?}為給定非空集值映射，給定(λ0，μ0)∈Λ × Ω，對任意y∈K(μ0)，LF，E(y，λ0，μ0)≠?，若以下條件成立：

（i）K在μ0處連續(xù)且K(μ0)為緊凸集；

（ii）F在K(μ0)×{λ0}×{μ0}上為C-Hausdorff連續(xù)的；

（iii）F在K(Ω) × Λ × Ω上為E-閉的；

（iv）F(?，λ0，μ0)在K(μ0)上為嚴格E-擬凸的；則SF，E在(λ0，μ0)處C-Hausdorff連續(xù)，且SF，E(λ0，μ0)為緊閉集。