楊興剛

(江蘇省淮安市北京師范大學(xué)淮安學(xué)校,223001)

美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯(P.P.Halmos)說過:“數(shù)學(xué)的真正組成部分應(yīng)該是問題和解,解題才是數(shù)學(xué)的心臟”.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開解題,為了促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識(shí)的深度理解、對解題方法的靈活應(yīng)用、對數(shù)學(xué)思想的深刻領(lǐng)悟、對解題活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的持續(xù)積累,適度地解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必不可少的環(huán)節(jié).應(yīng)基于數(shù)學(xué)素養(yǎng)選擇具有啟發(fā)性的好題,注重通性通法訓(xùn)練，探索解題方法創(chuàng)新，激活學(xué)生數(shù)學(xué)思維，反思總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn),通過解題提升數(shù)學(xué)思維能力與解決問題的能力,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí),起到觸類旁通的效果.本文以選題、解題、反思談?wù)劸唧w做法.

一、素養(yǎng)選題,注重思維

數(shù)學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的重要學(xué)科,數(shù)學(xué)試題是數(shù)學(xué)思維的重要載體,數(shù)學(xué)素養(yǎng)是每個(gè)學(xué)生都應(yīng)該具有的基本素養(yǎng).數(shù)學(xué)習(xí)題課教學(xué)應(yīng)著眼于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)選題、注重學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng).這樣，不僅可以有效考查學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)、基本技能方法的掌握情況,而且更能體現(xiàn)學(xué)生思考問題的角度和深度，知識(shí)的遷移和創(chuàng)新應(yīng)用能力，科學(xué)的思維習(xí)慣和態(tài)度.學(xué)生在真實(shí)的情境中整合試題的復(fù)合要素，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的思維過程，探究創(chuàng)新的學(xué)習(xí)意識(shí)，構(gòu)建適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型,形成創(chuàng)新性的思維方式和批判質(zhì)疑的思維習(xí)慣.

1.選取教材習(xí)題，培養(yǎng)發(fā)散思維

案例1(蘇教版選修2-2,第56頁第8題)如圖1,已知海島A到海岸公路BC的距離AB為50 km,B,C間的距離為100 km,從A到C,先乘船,船速為25 km/h,再乘汽車,車速為50 km/h,登陸點(diǎn)選在何處,所用時(shí)間最少?

選題意圖本題對接2008年江蘇高考數(shù)學(xué)試卷第17題,具有一定的開放性和探究性,基于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)選題,注重考查學(xué)生分析問題的角度、思考問題的深度、解題方法批判性選擇、創(chuàng)新思維意識(shí)和構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的能力.本題一般有以下不同的解法:幾何方法等價(jià)轉(zhuǎn)換為將軍飲馬問題、代數(shù)方法用登陸點(diǎn)到B點(diǎn)的距離或者航行方向與AB的夾角表示所用時(shí)間、學(xué)科融合運(yùn)用最小光程原理解決問題.選用此題可充分激發(fā)學(xué)生的參與熱情、激活學(xué)生的思維,讓數(shù)學(xué)素養(yǎng)落地生根.

2.選取典型試題，培養(yǎng)逆向思維

選題意圖本題基于培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng),試題解法多樣,融合數(shù)列、組合數(shù)公式、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、數(shù)學(xué)歸納法等多個(gè)知識(shí)點(diǎn),鼓勵(lì)學(xué)生聯(lián)想知識(shí)、串聯(lián)方法、解決問題,培養(yǎng)學(xué)生逆向思維習(xí)慣.

3.選取文化試題，提升綜合能力

選題意圖本題基于培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力、理解能力、數(shù)學(xué)直覺和創(chuàng)造能力,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng),將數(shù)列知識(shí)融入中國傳統(tǒng)折紙文化,引導(dǎo)學(xué)生通過閱讀提取數(shù)學(xué)信息、通過歸納猜想構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、通過數(shù)列求和知識(shí)解決問題.本題充分發(fā)揮數(shù)學(xué)文化，試題不僅承載數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法,而且能使學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)文化的價(jià)值所在.不僅可以讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的歷史、現(xiàn)狀和未來,體悟數(shù)學(xué)的思想方法,而且可以開闊學(xué)生的視野,感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值,還能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、文化素養(yǎng)和理性精神.

二、 嘗試解題,滲透思想

嘗試解題是對所選試題的思維暴露和交流表達(dá)過程,是學(xué)生思維碰撞、批判質(zhì)疑的思考過程,應(yīng)有效發(fā)揮數(shù)學(xué)素養(yǎng)的宏觀指導(dǎo)性、數(shù)學(xué)思想方法的微觀引領(lǐng)性和數(shù)學(xué)知識(shí)的靈活應(yīng)用性.學(xué)生在解題的過程中收獲的不應(yīng)該局限于試題的答案是什么，試題的解答過程是怎樣的,而應(yīng)該充分展現(xiàn)學(xué)生思考問題的角度，批判質(zhì)疑的分析、修正錯(cuò)誤的過程,挖掘出試題蘊(yùn)含的思想方法和考查的數(shù)學(xué)素養(yǎng),讓學(xué)生站在更高的角度理解試題的價(jià)值.

1.基于直觀想象，滲透數(shù)形結(jié)合

案例4(2021年新高考Ⅰ卷第11題)已知點(diǎn)P在圓(x-5)2+(y-5)2=16上,點(diǎn)A(4,0),B(0,2),則( )

(A)點(diǎn)P到直線AB的距離小于10

(B)點(diǎn)P到直線AB的距離大于2

評析圖形不僅是幾何題目的對象,而且對任何一開始跟幾何沒什么關(guān)系的題目,圖形也是一個(gè)重要的幫手[2].本題的入手點(diǎn)是將題目所給代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為幾何圖形,根據(jù)直觀圖形考查直線和圓的位置關(guān)系.選項(xiàng)A,B的判斷依據(jù)是將動(dòng)態(tài)問題(點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng))轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問題(圓心(5,5)到直線AB的距離);選項(xiàng)C,D基于極端原理將∠PBA的大小問題轉(zhuǎn)化為過點(diǎn)P的切線問題,進(jìn)而利用切點(diǎn)、圓心、點(diǎn)P構(gòu)成的直角三角形解決問題.

2.基于數(shù)學(xué)抽象，滲透歸納推理

案例5若集合A1,A2滿足A1∪A2=A,則稱(A1,A2)為集合A的一種分拆,并規(guī)定:當(dāng)且僅當(dāng)A1=A2時(shí),(A1,A2)與(A2,A1)是集合A的同一種分拆.若集合A有三個(gè)元素,則集合A的不同分拆數(shù)是______.

評析本題涉及集合的新定義問題.解決問題的首要任務(wù)是審題,基于數(shù)學(xué)抽象,將集合A中的元素特殊化,挖掘出題目蘊(yùn)藏的關(guān)鍵信息,然后采用枚舉法一一列舉出所有的可能情況得到問題的解答;引導(dǎo)學(xué)生深入思考,改變集合A中元素的個(gè)數(shù)、考慮集合A的三個(gè)集合的分拆形式等等,引導(dǎo)學(xué)生在邏輯推理的過程中發(fā)現(xiàn)問題蘊(yùn)藏的規(guī)律性和一般性,培養(yǎng)學(xué)生由特殊到一般思考問題的方法,并嘗試用排列組合、構(gòu)造模型的策略深入解答問題,充分發(fā)揮試題提升學(xué)生思維能力的最大功效.

3.基于數(shù)學(xué)建模，滲透模型思想

(1)求橋AB的長度;

評析數(shù)學(xué)建模是架設(shè)在數(shù)學(xué)與應(yīng)用之間的一座橋梁.本題基于數(shù)學(xué)建模,通過學(xué)生的閱讀理解與文字信息提取,構(gòu)建幾何直觀,用數(shù)學(xué)的眼光觀察實(shí)際問題,構(gòu)建數(shù)學(xué)模型.解答本題的關(guān)鍵是通過平面幾何知識(shí)建立平面直角坐標(biāo)系,用解析的方法建立函數(shù)模型、通過導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值,靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題,培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

三、解題反思,形成經(jīng)驗(yàn)

孔子指出:“學(xué)而不思則罔,思而不學(xué)則殆”.美國心理學(xué)家波斯納提出的成長公式“經(jīng)驗(yàn)+反思=成長”同樣適用于解題能力的獲得與提升[2].解題為學(xué)生數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)和深度思考提供了媒介,解后反思是學(xué)生對數(shù)學(xué)知識(shí)的理解與感悟，是對解題思維的概括與提升，是對解題經(jīng)驗(yàn)的積累與優(yōu)化.

數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)形成的根基,數(shù)學(xué)知識(shí)的理解與感悟需要通過解題進(jìn)一步深化,解題反思是將知識(shí)轉(zhuǎn)化為經(jīng)驗(yàn)、將經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為能力、將能力形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)的必備過程.比如通過案例1的解題反思,可以讓學(xué)生感受學(xué)科之間的有效融合,物理為數(shù)學(xué)提供豐富的學(xué)習(xí)背景材料,數(shù)學(xué)又為物理的蓬勃發(fā)展提供深刻的理論和精確的運(yùn)算;還可以讓學(xué)生體驗(yàn)實(shí)際問題可以通過數(shù)學(xué)抽象表達(dá)為數(shù)學(xué)模型,進(jìn)而通過引入變量轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,借助導(dǎo)數(shù)求解問題的最值和優(yōu)化問題.

解題思維是數(shù)學(xué)思維的完美展現(xiàn).解題過程中要及時(shí)概括思維的起點(diǎn)、思考的角度、深入的途徑,將各種思維模式內(nèi)化為觀察問題、分析問題和解決問題的能力,提升自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng).比如通過對案例2的解題反思,可以讓學(xué)生體會(huì)逆向思維是解決問題的關(guān)鍵,導(dǎo)數(shù)和積分運(yùn)算是可以互相轉(zhuǎn)化的形式;通過對案例5的解題反思,可以讓學(xué)生感悟問題的本質(zhì)是集合A可以劃分為A1-A2,A1∩A2,A2-A1互不相交的三部分,集合A中的每一個(gè)元素都只屬于三部分中的一個(gè),共有33=27種可能,因此問題可以得到進(jìn)一步推廣.

解題經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的重要組成部分,解題經(jīng)驗(yàn)的積累與優(yōu)化可以有效提升學(xué)生對問題的多元表征能力,比如案例1學(xué)生有如下不同的表征方式:

表征3過點(diǎn)C作射線CE,使得∠BCE=30°,過點(diǎn)D作CE的垂線DF交CE于點(diǎn)F,則DC=2DF.所以,質(zhì)點(diǎn)以50 km/h的速度從點(diǎn)D到點(diǎn)C所用的時(shí)間等于以25 km/h的速度從點(diǎn)D到點(diǎn)F所用的時(shí)間,因此從點(diǎn)A到點(diǎn)D再到點(diǎn)C所用的時(shí)間等于從點(diǎn)A到點(diǎn)D再到點(diǎn)F的時(shí)間.

基于數(shù)學(xué)素養(yǎng)選題,讓學(xué)生在解題的過程中最大限度地激活數(shù)學(xué)思維,感悟數(shù)學(xué)的思想方法,不斷積累解題經(jīng)驗(yàn)、提高解題能力、提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).所以,解題教學(xué)要精心選題,讓試題指向數(shù)學(xué)本質(zhì)、激發(fā)學(xué)生深度思考;解題教學(xué)要激活學(xué)生思維,體現(xiàn)試題考查關(guān)鍵能力、聚焦數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的功能;解題教學(xué)要關(guān)注解題反思,讓試題有利于學(xué)生解題經(jīng)驗(yàn)獲得，有利于學(xué)生深度學(xué)習(xí).