余 潔 黃啟賢

(福建省福州第一中學(xué)，350108) (福建省莆田第十中學(xué)，351100)

《國務(wù)院關(guān)于深化考試招生制度改革的實施意見》指出,要“著重考查學(xué)生獨(dú)立思考和運(yùn)用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力”[1]，強(qiáng)調(diào)獨(dú)立思考與數(shù)學(xué)應(yīng)用這兩個方面的內(nèi)容，而作為考查數(shù)學(xué)實踐應(yīng)用能力的主要方式——數(shù)學(xué)建模，在高中階段重視的程度也得到逐步加強(qiáng).《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》將數(shù)學(xué)建模列為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)并安排了6個課時.同時，在近幾年的高考數(shù)學(xué)試題中，也通過多種形式加強(qiáng)了數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的考查.本文基于高考評價體系的“一核”“四層”“四翼”理論框架[2]，結(jié)合案例剖析新高考關(guān)于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的考查特點(diǎn).

一、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)考查的特點(diǎn)

數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng).高考對數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的考查體現(xiàn)在數(shù)學(xué)建模活動的發(fā)現(xiàn)問題和提出問題、建立和求解模型、檢驗和完善模型、分析和解決問題四個階段[3].

1.發(fā)現(xiàn)問題和提出問題階段

此階段要求學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察試題情境，將文字描述、圖形、表格等轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言和數(shù)學(xué)關(guān)系，是對現(xiàn)實問題作數(shù)學(xué)抽象，是數(shù)學(xué)化的過程，并從不同角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題.考查用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，把現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性的考查要求[2].考查的方向有:對現(xiàn)實生活問題作數(shù)學(xué)抽象、建立相對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型、多角度提出問題的能力等.多選題、結(jié)構(gòu)不良題的試題形式是良好的考查載體.這類試題允許學(xué)生從不同的角度進(jìn)行思考并作答，培養(yǎng)具有批判性、創(chuàng)新性的數(shù)學(xué)高階思維.

例1基于傳染病的傳播規(guī)律與趨勢的研究，可以為防疫部門提供有效的幫助.常用到的傳染病傳播模型有SI模型、SIRS模型、SIR模型、SEIR模型等.這些模型能較好地擬合相關(guān)類型的傳染病的傳播情況.假設(shè)在某一傳染病初始傳播階段，可用指數(shù)模型I(t)=ert(r為常數(shù)，t單位:天)擬合被傳染病例數(shù)I(t)與時間t的相關(guān)關(guān)系.在傳染病傳播的初始階段，防疫部門的決策、醫(yī)療資源和醫(yī)務(wù)人員的調(diào)配等依賴于數(shù)值的統(tǒng)計與估算.那么僅根據(jù)上述指數(shù)模型，可以為決策部門提供的信息為( )

A.被傳染病例數(shù)量翻倍的時間

B.阻止傳染病傳播的途徑

C.預(yù)測是否需要增加醫(yī)護(hù)人員的數(shù)量

D.預(yù)測某一地區(qū)某一時間的累計感染病例數(shù)

例1以傳染病傳播模型作為試題情境，說明數(shù)學(xué)模型源于社會生活實際，既表現(xiàn)出試題的應(yīng)用性與真實性，又體現(xiàn)數(shù)學(xué)源于生活又服務(wù)于生活.實例中以指數(shù)模型擬合累計感染病例數(shù)隨時間的變化規(guī)律，進(jìn)一步說明數(shù)學(xué)的實用性，要求學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度分析四個選項的答案.

2.建立和求解模型階段

此階段是在對現(xiàn)實問題數(shù)學(xué)化的基礎(chǔ)上，探索影響問題的相關(guān)因素，尋找合適的數(shù)學(xué)概念、原理描述相應(yīng)問題的數(shù)學(xué)規(guī)律.需查閱資料，結(jié)合餅圖、雷達(dá)圖、散點(diǎn)圖、條形圖等統(tǒng)計圖表的直觀分析，以及相關(guān)指數(shù)、卡方值等統(tǒng)計數(shù)據(jù)的定量分析，作出模型假設(shè).再利用科學(xué)的有價值的數(shù)據(jù)及統(tǒng)計量，微調(diào)模型中的參數(shù)，規(guī)定模型使用的約束條件，確定出數(shù)學(xué)模型.這一過程綜合考查高考評價體系中所要求的五大關(guān)鍵能力，體現(xiàn)了“四翼”的考查要求.考查方向有:根據(jù)提供的數(shù)據(jù)、統(tǒng)計圖表選擇適當(dāng)?shù)哪Ｐ突蚪⑦m當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型擬合問題中相關(guān)因素的數(shù)學(xué)關(guān)系.試題要求會用數(shù)學(xué)的思維思考世界，培養(yǎng)直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)[3].

例2電子精密元器件代工企業(yè)競標(biāo)某種產(chǎn)品的代工.假設(shè)甲企業(yè)生產(chǎn)該產(chǎn)品的厚度誤差為±0.04 mm,該企業(yè)從生產(chǎn)的這類產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了1 000件，檢測并繪制誤差條形統(tǒng)計圖如圖1:

(1)估計甲企業(yè)生產(chǎn)該產(chǎn)品厚度誤差的期望值;

(2)若招標(biāo)方要求生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)取出5件，且至少有4件的產(chǎn)品厚度誤差±0.02 mm以內(nèi)，則該企業(yè)符合競標(biāo)資格.請用樣本估計總體的思想，估計甲企業(yè)符合競標(biāo)資格的概率.

例2以代工企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品精度控制問題為背景，著眼于“企業(yè)是否符合競標(biāo)資格”的決策問題設(shè)計和設(shè)問.因為甲企業(yè)生產(chǎn)的元器件的精度范圍為±0.04 mm,所以應(yīng)該建立統(tǒng)計模型，從概率的角度分析符合競標(biāo)資格的概率.為研究該企業(yè)生產(chǎn)元器件的精度分布情況，即確定元器件厚度誤差的分布列及期望值.第(2)問則用樣本估計總體的思想，招標(biāo)方通過隨機(jī)抽取5件產(chǎn)品，測量其誤差值，當(dāng)至少有4件的產(chǎn)品厚度誤差±0.02 mm以內(nèi)，來判斷此設(shè)備是否符合生產(chǎn)要求.試題的意圖讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實的關(guān)聯(lián).試題的創(chuàng)新之處在于，需要建立隨機(jī)模型，并應(yīng)用統(tǒng)計與概率的知識來解決問題，體現(xiàn)“建立和求解模型”的考查目標(biāo).

3.檢驗和完善模型階段

此階段是對建立的統(tǒng)計模型進(jìn)行顯著性檢驗，以科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)據(jù)為基礎(chǔ)，來確定模型中的參數(shù)，當(dāng)檢測到系數(shù)偏離過大時，則要回歸“建立和求解模型”階段.一般來說，僅通過樣本數(shù)據(jù)確定出參數(shù)，進(jìn)而求出數(shù)學(xué)模型，無法準(zhǔn)確描述問題的規(guī)律.因此，需根據(jù)實際情況進(jìn)行微調(diào)，或?qū)δＰ妥鞒鍪褂梅秶?、約束條件的限制.試題體現(xiàn)綜合性、應(yīng)用性等考查要求.考查的方向有:樣本數(shù)據(jù)的篩選、統(tǒng)計運(yùn)算;引用有效的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，確定模型中的參數(shù)，完善數(shù)學(xué)模型;回歸方程曲線的直觀表達(dá)等.

例3智慧農(nóng)業(yè)是“物聯(lián)網(wǎng)+農(nóng)業(yè)”的一個典型案例.某農(nóng)業(yè)公司擬對農(nóng)場進(jìn)行物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)升級，根據(jù)市場評估，物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)升級投入x(百萬元)與農(nóng)場所獲得的收益y(百萬元)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如表1:

表1

表2

(2)為加快科技在農(nóng)業(yè)的應(yīng)用，當(dāng)物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)升級的投入不少于2 000萬元時，國家給予農(nóng)業(yè)公司補(bǔ)貼收益1 000萬元，根據(jù)回歸模型預(yù)測，比較物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)升級的投入1 700萬元與2 000萬元時農(nóng)業(yè)公司實際收益.

例3以物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)應(yīng)用于現(xiàn)代農(nóng)業(yè)領(lǐng)域為背景.首先通過物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)改造投入與科技改造收益的數(shù)據(jù)統(tǒng)計，考查數(shù)據(jù)分析的能力.再比較兩個模型相關(guān)指數(shù)的大小關(guān)系，選擇適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計模型來擬合兩個變量間的相關(guān)關(guān)系.與一般題型的差別在于，試題著重考查回歸模型的選擇，在此基礎(chǔ)上，預(yù)測對農(nóng)場進(jìn)行物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)升級的投入資金不同時的收益情況.試題的設(shè)計培養(yǎng)數(shù)學(xué)在實際生活中的應(yīng)用意識.

4.分析和解決問題階段

此階段與數(shù)學(xué)建模第一階段形成呼應(yīng)，要求學(xué)生借助數(shù)學(xué)模型的估值解決問題情境所需的數(shù)據(jù)，再根據(jù)實際情況整理數(shù)據(jù)，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)數(shù)學(xué)建模的過程和結(jié)果.試題考查用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界[3].

例4因疫情防控需求，需對某市全員核酸檢測.考慮到時間與經(jīng)濟(jì)成本，將n個樣本混為一組檢測，常稱“混檢”.若混合樣本為陽性，則對這組的n個人再逐一檢測.若混合樣本為陰性，則表明該組個體均為陰性.假設(shè)該市各地區(qū)感染情況是均勻分布的，已知某社區(qū)共有100人需要檢測.假設(shè)個體檢測為陽性的概率為p，記該社區(qū)檢測總次數(shù)為X.

(1)若n=20,求一個混合樣本為陽性的概率q(用p表示)及X的分布列和期望(用q表示);

(2)若p=0.005時，當(dāng)n為多少時，該社區(qū)檢測總次數(shù)的期望值最小?

例4以新冠病毒核酸檢測為情境，分層次提出“一個混合樣本為陽性的概率”、“X的分布列和期望”、“檢測總次數(shù)的期望值最小”等問題.先求出一組混合樣本檢測為陰性或陽性的概率，進(jìn)一步可以求得X的分布列和期望.接著引用第(1)步的結(jié)論，求出n的取值.以上結(jié)果只是理論上的期望值，實際檢測過程應(yīng)考慮各方面的制約和干擾.如在病毒感染率較高區(qū)域可以采取逐一檢測或混合檢測的方法，以此降低經(jīng)濟(jì)成本和時間成本.試題設(shè)計以最新的防疫形勢為背景，突出數(shù)學(xué)在社會生活的應(yīng)用性與真實性，培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，體現(xiàn)“分析和解決問題”的考查目標(biāo).

二、教學(xué)思考和建議

1.關(guān)注情境教學(xué)，滲透建模思想

高考評價體系在應(yīng)用性的考查要求上，著重強(qiáng)調(diào)“真懂會用”[4]，讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)源于生活，并應(yīng)用于生活.因此，情境教學(xué)不僅體現(xiàn)在課堂上創(chuàng)設(shè)各種情境，將數(shù)學(xué)研究對象與生活中的情境相結(jié)合，也要在日常生活中引導(dǎo)學(xué)生觀察現(xiàn)實問題，并嘗試轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題加以解決，讓學(xué)生從中體會數(shù)學(xué)建模的過程，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的真實性與實用性，提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

2.經(jīng)歷建模過程，培養(yǎng)建模思維

通過操作建模范例，讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)建?；顒拥恼麄€過程(包括確定課題、撰寫開題報告、構(gòu)建模型解決問題、撰寫研究報告、研究報告的交流與評價等)，逐步培養(yǎng)學(xué)生親自實踐、積極探究、團(tuán)隊合作、大膽創(chuàng)新的優(yōu)良品質(zhì)，形成數(shù)學(xué)建模思維.

3.鼓勵團(tuán)隊協(xié)作，建立過程性評價

數(shù)學(xué)建?；顒拥闹黧w是學(xué)生.教師在活動中只作協(xié)調(diào)與導(dǎo)向.通過合理的引導(dǎo)，學(xué)生通過主動探究、團(tuán)隊協(xié)作來挖掘新知、形成素養(yǎng).鼓勵學(xué)生借助團(tuán)隊成員優(yōu)勢互補(bǔ)的特點(diǎn)，在團(tuán)隊中合作探究，最終獲得成果，并從多角度給予評價.