陳靜穎 陸新生

(上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院,200233)

數(shù)學(xué)知識(shí)有其自身的由來與歷史,通過追溯數(shù)學(xué)的歷史脈絡(luò),學(xué)生能更深刻地理解數(shù)學(xué)概念、感受數(shù)學(xué)的文化魅力．本文以“拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例,基于HPM視角進(jìn)行探究．

一、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1.回顧歷史,復(fù)習(xí)舊知

公元前4世紀(jì)古希臘柏拉圖學(xué)派數(shù)學(xué)家梅內(nèi)克繆斯為了解決倍立方問題,發(fā)明了圓錐曲線(如圖1-3),他利用垂直于一條母線的平面去截頂角分別為銳角、直角、鈍角的三種圓錐,得到三種曲線,并分別稱之為銳角、直角和鈍角圓錐曲線.

互動(dòng)1教師使用GeoGebra演示平面與二次錐面不同角度下的截面(圖4-6)．

師:古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯曾說:用一個(gè)平面去截一個(gè)二次錐面,得到的交線就稱為圓錐曲線．例如當(dāng)平面只與一個(gè)二次錐面相交,且不過圓錐頂點(diǎn),所得曲線稱為橢圓．用相同的方法,你還能得到什么結(jié)論?

生1:當(dāng)平面與一對(duì)二次錐面都相交,且不過圓錐頂點(diǎn),所得曲線稱為雙曲線．

師:非常好,那么當(dāng)平面與二次錐面的母線平行,且不過圓錐頂點(diǎn),是什么圓錐曲線?這就是我們今天將要學(xué)習(xí)的圓錐曲線．

設(shè)計(jì)意圖一方面復(fù)習(xí)之前學(xué)習(xí)過的圓錐曲線橢圓和雙曲線,另一方面從歷史的角度引導(dǎo)學(xué)生探究圓錐曲線的共同點(diǎn)與不同點(diǎn)．

2.善用教具,探究新知

用具準(zhǔn)備透明圓錐、形狀為拋物面的硬紙片.

互動(dòng)2用透明圓錐與一平面紙片演示一平面截圓錐得到的截面,請(qǐng)學(xué)生觀察該截面與圓錐的截線.

師:現(xiàn)在我手里有一個(gè)圓錐和一個(gè)平面,用這個(gè)平面去截圓錐．當(dāng)平面與圓錐母線平行時(shí),可以得到一個(gè)奇特的截面,請(qǐng)大家觀察這個(gè)截面,思考它所得到的截面曲線又是什么呢?

用具準(zhǔn)備7-8張形狀為拋物線的紙片,一張圓形紙片,組合為圓錐截面.

互動(dòng)3教師用折紙得到的教具演示圓錐與母線平行的不同截面都是相同的形狀(圖7).

師:剛剛已經(jīng)把圓錐和平面相截所得的截面給大家演示出來,重復(fù)無數(shù)次這樣的操作,取和圓錐母線平行的截面,就能得到這樣一個(gè)模型,大家仔細(xì)觀察,所得截面的模型和什么很像?

生2:圓錐．

師:這說明這個(gè)截線也是一種圓錐曲線,那么應(yīng)該如何研究圓錐曲線的方程呢?

生3:① 建立坐標(biāo)系;② 作圖并取點(diǎn);③ 確定坐標(biāo);④ 判斷是什么曲線．

師:太棒了,請(qǐng)你們以四人為一小組討論,得到圓錐曲線的方程．

用具準(zhǔn)備有平面直角坐標(biāo)系的紙片,一把可以彎曲的尺(拋物線尺).

小組分享研究曲線的四個(gè)步驟,一是建系,二是作圖和描點(diǎn),三是確定坐標(biāo),四是判斷曲線．用可以彎曲的尺對(duì)照當(dāng)平面與圓錐母線平行時(shí)的截面曲線,用尺照著這條曲線將它刻畫出來,取到這條曲線后,在平面直角坐標(biāo)系中將它描出來,得到了一條經(jīng)過原點(diǎn)的曲線．

師:用幾何畫板也可畫出這個(gè)曲線(圖8),大家一起來觀察一下,這個(gè)曲線有哪幾個(gè)特殊點(diǎn)?

生4:它經(jīng)過原點(diǎn)、(2,1)、(4,4)以及它們的對(duì)稱點(diǎn)．

師:說得很好,所以它的方程是什么?形狀是什么?

師:為什么二次函數(shù)是一條拋物線呢?

設(shè)計(jì)意圖運(yùn)用兩個(gè)教具,從正向與逆向兩個(gè)方面讓學(xué)生感受截面與截線的關(guān)系,第一個(gè)教具讓學(xué)生知道圓錐的截面與截線,第二個(gè)教具讓學(xué)生知道無數(shù)個(gè)截面與截線可以還原成圓錐.

3.巧用軟件,講解定義

師:歐幾里得發(fā)現(xiàn),橢圓的定比小于1,雙曲線的定比大于1,那么拋物線的定比與1又是什么關(guān)系呢?

互動(dòng)4演示幾何畫板軟件,取拋物線上一動(dòng)點(diǎn)M,到x軸上定點(diǎn)F的距離為FM,到定直線的距離為HM．

師:通過幾何畫板的演示(圖9),FM與HM有什么關(guān)系?

生6:FM始終等于HM.

師：那么拋物線的定比與1又是什么關(guān)系呢？

生7：拋物線的定比等于1.

師:說得非常棒,可以發(fā)現(xiàn),拋物線是平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線距離相等的點(diǎn)的軌跡,這就是拋物線的定義．

4.前后呼應(yīng),突出重點(diǎn)

洛必達(dá)得出軌跡的定義:(1)凡在軌跡上的點(diǎn)都符合條件;(2)符合條件的點(diǎn)都在軌跡上．拋物線的定義:平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過F)距離相等的點(diǎn)的軌跡．

互動(dòng)5通過建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn)、檢驗(yàn)五個(gè)步驟來得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

(1)建系

師:如何設(shè)置x軸、y軸使我們的方程更易求解呢?

生8:過點(diǎn)F作準(zhǔn)線l的垂線,垂足為K,以直線FK為x軸,線段KF的中垂線為y軸,建立直角坐標(biāo)系xOy．

(2)設(shè)點(diǎn)

(3)列式

(4)化簡(jiǎn)

(5)檢驗(yàn)

經(jīng)檢驗(yàn)y2=2px(p>0)是拋物線的方程.

互動(dòng)6運(yùn)用幾何畫板探究初中學(xué)習(xí)過的二次函數(shù)為什么是拋物線？

設(shè)計(jì)意圖通過建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn)、檢驗(yàn)五個(gè)步驟，回顧求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,并且將初中學(xué)習(xí)的二次函數(shù)與高中學(xué)習(xí)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程貫穿起來,形成連續(xù)概念．

5.折紙融合,引起興趣

互動(dòng)7帶領(lǐng)學(xué)生折紙(折出拋物線)．

用具準(zhǔn)備一張A4紙.

第1步:取一張矩形紙,以矩形的一邊a為拋物線準(zhǔn)線,在矩形內(nèi)部取一點(diǎn)F為拋物線焦點(diǎn).

第2步:開始折紙片,使得a邊正好通過點(diǎn)F，可以知道,這種折法是有很多種,一種一種來(圖11、12).

第3步:每折一種,就有一條折痕,用筆將這條折痕畫出來，然后繼續(xù)畫其余的折痕,如上圖右邊繼續(xù)折,繼續(xù)畫,就會(huì)得到若干條折痕.折完以后,就會(huì)看到,這些所有的折痕圍成一條拋物線輪廓)(圖13、14).

證明首先,直線a和點(diǎn)F可以確定一條拋物線,不妨設(shè)為C.如圖14所示,因?yàn)槭钦奂?所以可以在直線a上作一個(gè)點(diǎn)F關(guān)于折痕對(duì)稱的點(diǎn)M,并過M作MP垂直于直線a,交折痕于P,根據(jù)對(duì)稱原理知道,,PF=PM，即點(diǎn)P到定直線a與到定點(diǎn)F的距離相等,所以P點(diǎn)在拋物線C上.另一方面,取折痕上異于P的一點(diǎn)Q,很容易知道,FQ≠Q(mào)N,所以Q點(diǎn)不在拋物線C上.也就是說,折痕與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn),故折痕是拋物線的一條切線.所以折紙法里得到的每一條折痕都是拋物線的切線,若干條切線包圍住了這條拋物線,拋物線的輪廓也就顯示出來了.

設(shè)計(jì)意圖利用折紙折出拋物線,引起學(xué)生的興趣,并且通過證明,再一次讓學(xué)生對(duì)拋物線的定義記憶深刻．

二、教學(xué)反思

1.善用數(shù)學(xué)史,了解數(shù)學(xué)文化

數(shù)學(xué)史能夠幫助學(xué)生理清數(shù)學(xué)概念的生成由來與知識(shí)脈絡(luò).本課從拋物線的發(fā)現(xiàn)、發(fā)展、幾何性質(zhì)、方程和作圖,見證拋物線的五個(gè)發(fā)展歷程,學(xué)生對(duì)每一步的歷史故事都感到新奇,每一步也與拋物線的概念息息相關(guān),巧妙融合數(shù)學(xué)與歷史．

2.巧用教具與動(dòng)態(tài)軟件,理解數(shù)學(xué)原理

本課時(shí)共采用了三個(gè)教具與GeoGebra、幾何畫板兩個(gè)幾何動(dòng)態(tài)軟件,通過自制教具引入平面與圓錐的關(guān)系,達(dá)到學(xué)生體會(huì)圓錐曲線的發(fā)展歷程的目標(biāo);通過GeoGebra、幾何畫板、折紙操作,達(dá)到學(xué)生發(fā)現(xiàn)拋物線的幾何性質(zhì)、研究為什么二次函數(shù)是拋物線的目的.

3.重視知識(shí)遷移,促進(jìn)知識(shí)內(nèi)化

在本節(jié)課之前,學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了橢圓、雙曲線,對(duì)圓錐曲線的研究過程和研究方法有了一定的了解和認(rèn)識(shí),這對(duì)于圓錐曲線的后續(xù)學(xué)習(xí)有借鑒、遷移的作用.拋物線是圓錐曲線中的一種,也是日常生活中常見的一種曲線,在初中時(shí)學(xué)習(xí)過二次函數(shù),將二次函數(shù)與拋物線貫穿．