李 安

(江蘇省常熟中學(xué)，215500)

縱觀近年各地高考,導(dǎo)數(shù)作為考查熱點(diǎn)、難點(diǎn)，頻頻以指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)混合的形式呈現(xiàn)給考生.這類問題主要考查零點(diǎn)問題、不等式恒成立或有解問題.常用的解決方法有三種:一是指數(shù)對(duì)數(shù)分離后轉(zhuǎn)化為易于求最值的函數(shù);二是利用放縮法將指數(shù)函數(shù)或者對(duì)數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式,然后再作處理;三是直接求導(dǎo)研究函數(shù)最值,借助隱形零點(diǎn)消去指數(shù)或?qū)?shù)，化簡運(yùn)算.2020年新高考山東卷21題第(2)問的眾多解法中,運(yùn)用“同構(gòu)”思想將一道復(fù)雜的導(dǎo)數(shù)題精彩地轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)簡潔的單調(diào)性問題,可謂“四兩撥千斤”.這種問題解決的快感,讓老師和學(xué)生們都開始關(guān)注起“同構(gòu)”這把利劍.在去年4月份的蘇州市高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)研討活動(dòng)中,筆者以“同構(gòu)思想在導(dǎo)數(shù)問題中的應(yīng)用”為題開設(shè)一節(jié)公開課,受到聽課教師的一致好評(píng),現(xiàn)將課堂實(shí)錄及教學(xué)反思呈現(xiàn)給大家.

一、課堂實(shí)錄

1.課前思考

(1)求證:函數(shù)f(x)有唯一零點(diǎn);

(2)若?x∈(0,+∞),xex-lnx≥1+ax恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

教師提前一天讓學(xué)生完成上面的題目,并要求遇到問題后請(qǐng)保留原稿,課前整理學(xué)生的解答并投影呈現(xiàn).

問題1請(qǐng)學(xué)生甲來說說解答時(shí)遇到的困難是什么?

追問1:是什么導(dǎo)致化簡失敗?

師生互動(dòng):學(xué)生甲分析原因,指出需轉(zhuǎn)化的式子是指數(shù)對(duì)數(shù)混合式.

追問2:那些你會(huì)轉(zhuǎn)化的式子的結(jié)構(gòu)又如何?

師生互動(dòng)學(xué)生思考,發(fā)現(xiàn)能轉(zhuǎn)化的是簡單的指數(shù)型或?qū)?shù)型式子.學(xué)生在教師引導(dǎo)下嘗試通過多項(xiàng)式這個(gè)橋梁，把指數(shù)對(duì)數(shù)混合式轉(zhuǎn)化到指數(shù)型或?qū)?shù)型.教師提出跨階函數(shù)、跳階函數(shù)的概念.我們不妨把指數(shù)和多項(xiàng)式混合的函數(shù)稱為跨階函數(shù),同樣對(duì)數(shù)和多項(xiàng)式混合的也稱為跨階函數(shù),而既有指數(shù)又有對(duì)數(shù)的稱為跳階函數(shù).目前,我們還沒有能力直接去處理跳階函數(shù),所以需要把跳階函數(shù)轉(zhuǎn)化為低一階的跨階函數(shù).

設(shè)計(jì)意圖通過實(shí)際遇到的問題,引導(dǎo)學(xué)生觀察函數(shù)結(jié)構(gòu),激活學(xué)生已有的知識(shí)儲(chǔ)備,為本節(jié)課研究同構(gòu)式找到探究方向.

2.探究歸納

問題2請(qǐng)寫出你比較熟悉的跨階函數(shù),以一次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)混合為例.

師生互動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生寫出y=xex和y=xlnx積型的跨階函數(shù),y=x+ex和y=x+lnx和型的跨階函數(shù).

追問1:以y=xex和y=xlnx兩個(gè)積型跨階函數(shù)為例,尋找兩者聯(lián)系,是否能互化?

追問2:我們知道和差互為逆運(yùn)算,你能找到y(tǒng)=ex-(x+1)這個(gè)差型跨階函數(shù)的同構(gòu)型函數(shù)嗎?

問題3請(qǐng)學(xué)生甲回答,課前遇到的隱形零點(diǎn)問題能否通過同構(gòu)這個(gè)思想方法降階后化簡呢?

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生獨(dú)立思考、自主探究,回答本課時(shí)兩個(gè)重要問題:同構(gòu)式到底是什么?同構(gòu)式可以解決什么問題?

3.小試身手

師生互動(dòng)學(xué)生審題后,請(qǐng)學(xué)生乙交流思考過程.首先指數(shù)對(duì)數(shù)分放不等式兩側(cè),并使參數(shù)在同一側(cè),原不等式等價(jià)于λeλx≥lnx.再利用一次函數(shù)作橋梁兩邊同乘x形成積型跨階函數(shù),有λxeλx≥xlnx.學(xué)生乙選擇結(jié)構(gòu)同左構(gòu)造函數(shù)f(x)=xex,將不等式等價(jià)于f(λx)≥f(lnx)，最后利用f(x)的單調(diào)性完成此題.

學(xué)生丙在學(xué)生乙的基礎(chǔ)上選擇結(jié)構(gòu)同右構(gòu)造函數(shù)f(x)=xlnx,將不等式等價(jià)于f(eλx)≥f(x).此時(shí),教師引導(dǎo)學(xué)生,能否構(gòu)造和差型跨階函數(shù).討論發(fā)現(xiàn),通過兩邊同取對(duì)數(shù)將不等式化為λx+ln(λx)≥lnx+ln(lnx),可構(gòu)造函數(shù)f(x)=x+lnx,于是不等式等價(jià)于f(λx)≥f(lnx).

例2已知函數(shù)f(x)=ex-aln(ax-a)+a,a>0若f(x)>0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

師生互動(dòng)學(xué)生獨(dú)立做題,教師巡視答疑,指導(dǎo)學(xué)生探索調(diào)整不等式結(jié)構(gòu).首先參數(shù)a與lnx分開,通過真數(shù)x-1,聯(lián)想到若構(gòu)造的跨階函數(shù)是外層函數(shù),則x-1為內(nèi)層函數(shù),從而可把不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為ex-ln a+x-lna>ln(x-1)+x-1.構(gòu)造函數(shù)g(x)=ex+x,則不等式等價(jià)于g(x-lna)>g(ln(x-1)),利用g(x)的單調(diào)性完成本題解答.

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生初步掌握同構(gòu)式怎么構(gòu)造,如何選取函數(shù).同時(shí)進(jìn)一步了解同構(gòu)思想可以運(yùn)用于零點(diǎn)問題,也可解答不等式恒成立問題.

例3(2020年高考山東卷21題)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)略;

(2)若f(x)≥1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

師生互動(dòng)學(xué)生獨(dú)立解答,通過上一環(huán)節(jié),學(xué)生基本可以順利構(gòu)造函數(shù).教師利用多媒體呈現(xiàn)解答.

解不等式f(x)≥1即aex-1-lnx+lna≥1?ex+ln a-1+lna-1≥lnx?ex+ln a-1+x+lna-1≥x+lnx,所以構(gòu)造函數(shù)g(x)=ex+x,則g(x+lna-1)=ex+ln a-1+x+lna-1,g(lnx)=x+lnx,所以原不等式等價(jià)于g(x+lna-1)≥g(lnx)．因?yàn)間(x)=ex+x在R上遞增,所以不等式等價(jià)于x+lna-1≥lnx恒成立,故lna≥(lnx-x+1)max=0,從而a≥1.

設(shè)計(jì)意圖通過走近高考題,讓學(xué)生進(jìn)一步深刻理解同構(gòu)是什么？同構(gòu)解決什么問題？怎么同構(gòu)？同時(shí)規(guī)范學(xué)生利用“同構(gòu)”思想解答問題時(shí)的書寫.

4.再探課前思考題

師生互動(dòng)整理課前思考題時(shí)發(fā)現(xiàn)，有一部分學(xué)生解答第(2)小題并未借助第(1)小題中的隱形零點(diǎn),請(qǐng)學(xué)生丁用多媒體展示他的解答：將?x∈(0,+∞),xex-lnx≥1+ax恒成立整理成?x∈(0,+∞),ex+ln x-(x+lnx)-1≥(a-1)x恒成立.令t=x+lnx,不等式左側(cè)換元構(gòu)造g(t)=et-t-1,由已有知識(shí)可知g(t)≥0恒成立所以當(dāng)a≤1時(shí),左側(cè)(a-1)x≤0恒成立,此時(shí)不等式恒成立，所以a≤1滿足題意，然后引導(dǎo)學(xué)生找到a>1時(shí)的矛盾點(diǎn)，當(dāng)a>1時(shí),左側(cè)t=0時(shí)，有g(shù)(0)=0,用零點(diǎn)的存在性定理可證明t=x+lnx存在唯一正零點(diǎn)x0,此時(shí)(a-1)x0>0與不等式恒成立矛盾.綜上a≤1.

問題4這個(gè)解法并沒有把不等式化到左右同構(gòu)函數(shù),但左側(cè)的函數(shù)構(gòu)造上與本節(jié)課的同構(gòu)思想是否是相通的?

師生互動(dòng)學(xué)生獨(dú)立思考,學(xué)生戊回答兩者都是把指數(shù)對(duì)數(shù)跳階函數(shù)降階變?yōu)榭珉A函數(shù),化到我們比較熟悉的那些函數(shù),便于化簡運(yùn)算.兩者都是通過換元,構(gòu)造形式更為簡單的外層函數(shù)和內(nèi)層函數(shù),是把復(fù)合函數(shù)像剝洋蔥那樣一層一層分解開來，教師肯定學(xué)生的思考發(fā)現(xiàn),總結(jié)本節(jié)課同構(gòu)思想的本質(zhì).同構(gòu)從某種意義上不是表面上構(gòu)造左右相同結(jié)構(gòu)的函數(shù),借助單調(diào)性來解決不等式恒成立問題,方程有解問題那么淺顯,同構(gòu)思想的本質(zhì)是換元降階.

設(shè)計(jì)意圖通過再探課前思考題,挖掘提升對(duì)同構(gòu)思想本質(zhì)的理解.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),學(xué)生能意識(shí)到同構(gòu)式需要構(gòu)造一個(gè)母函數(shù),即外層函數(shù)，通常為f(x)=xex，f(x)=x+ex，f(x)=ex-x-1這三個(gè)母函數(shù).在這里,跳階函數(shù)需要先變形轉(zhuǎn)化才能同構(gòu),如何變形,又能變形成哪些常用形式,未作深究,等學(xué)生基本結(jié)構(gòu)比較熟練后再加深研究本節(jié)課，旨在讓學(xué)生看到同構(gòu)思想的本質(zhì).學(xué)生只有真正回答了一開始提出的三個(gè)問題,才能把同構(gòu)思想運(yùn)用得心應(yīng)手.

二、教學(xué)反思

蘇步青說過:“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要先知其然,然后知其所以然”.要想真正學(xué)通學(xué)透“同構(gòu)”,就必須認(rèn)真回答好三個(gè)問題:同構(gòu)式到底是什么?同構(gòu)式能解決什么問題?同構(gòu)式怎么構(gòu)造,如何選取函數(shù)?本節(jié)課的教學(xué),正是圍繞著這三個(gè)問題的探究解決而展開的.教學(xué)過程可概括為兩句話:“三問題孜孜以求作探究,四層次步步為營明同構(gòu)”.

具體這節(jié)課的結(jié)構(gòu)與設(shè)計(jì)如圖1所示.為解決上述三個(gè)問題,本課選取多個(gè)典型題目,分成四個(gè)片段“課前思考、探究歸納、小試身手、再探課前思考”展開教學(xué),這四個(gè)片段依次可概括為:“探”同構(gòu)、“出”同構(gòu)、“用”同構(gòu)、“擴(kuò)”同構(gòu),步步為營,通過這節(jié)課的教學(xué)最終讓學(xué)生達(dá)到“明”同構(gòu).

在教學(xué)中,注意放手讓學(xué)生進(jìn)行探究,適時(shí)啟發(fā),將思維逐步引向深入,直至本質(zhì).在“課前思考”教學(xué)片段中,首先問“解答時(shí)遇到的問題是什么”,再追問“是什么導(dǎo)致你化簡失敗”,“那些你會(huì)轉(zhuǎn)化的式子的結(jié)構(gòu)又如何”.以此三個(gè)問題來“探”同構(gòu),以教學(xué)中學(xué)生碰到的真實(shí)問題為研究對(duì)象,引出解決此類問題的有效方法,并對(duì)函數(shù)模型進(jìn)行概括,這是對(duì)同構(gòu)的初探.緊接著在“探究歸納”教學(xué)片段中,讓學(xué)生列舉以一次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)混合的跨階函數(shù),并歸納成和差積商四種模型,這是從抽象到具體的過程,是“出”同構(gòu)的過程.通過這兩個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué),讓學(xué)生明白了“同構(gòu)式到底是什么？”“同構(gòu)式能解決什么問題?”第三個(gè)環(huán)節(jié)“小試身手”是“用”同構(gòu)的過程,以三個(gè)例題作為同構(gòu)方法的應(yīng)用體驗(yàn),將問題解決的機(jī)會(huì)均留給學(xué)生,對(duì)如何變形趨同，如何構(gòu)造函數(shù)？由學(xué)生交流討論,完成問題三“同構(gòu)式怎么構(gòu)造,如何選取函數(shù)?”同時(shí)也使學(xué)生對(duì)“同構(gòu)式能解決什么問題”的理解更為深刻,讓學(xué)生積累了較為有用的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).至此,似乎教學(xué)任務(wù)已完成,但本節(jié)課的教學(xué)并未止步于此.第四個(gè)環(huán)節(jié)“再探課前思考”將我們進(jìn)一步引向深入,是“擴(kuò)”同構(gòu)的過程,揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì).同構(gòu)從某種意義上說不像我們理解的僅僅是構(gòu)造左右相同結(jié)構(gòu)的函數(shù),借助單調(diào)性來解決不等式恒成立問題和方程有解問題那么淺顯,同構(gòu)思想的本質(zhì)是換元降階,做到畫龍點(diǎn)睛.

同構(gòu)思想總結(jié)起來為“同在前,構(gòu)在后;同是難點(diǎn),構(gòu)是落點(diǎn);同是形式,構(gòu)是內(nèi)涵;同構(gòu)是方法,降階是本質(zhì)”.