江西省豐城中學(xué) (331100) 裴珊珊江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 (330022) 陳德富

三角形的五心是中學(xué)平面幾何中重要的內(nèi)容，垂心是其中最有趣的存在，充滿著巧合和探究樂趣.本文首先借助基本的幾何知識(shí)，對(duì)垂心的存在性展開多角度探究，路徑豐富，結(jié)論恰都回歸于幾何直觀中的巧合.其次，本文中所涉及的基礎(chǔ)幾何知識(shí)看似分散，卻都可以融洽地聚攏在垂心這一常見幾何知識(shí)點(diǎn)周圍，是一次廣泛利用基礎(chǔ)知識(shí)活學(xué)活用的有趣探究.最后利用本文的思路，我們對(duì)三角形本身關(guān)聯(lián)的廣泛特征點(diǎn)展開了探索.

一般地，平面中兩條不平行直線必然相交于一點(diǎn)，三條直線相交于一點(diǎn)則是偶然事件，當(dāng)這類偶然事件緊密關(guān)聯(lián)于一個(gè)給定的一般三角形時(shí)，我們稱為三角形的特征點(diǎn)[1]，三角形的五心(一般指內(nèi)心、旁心，重心，垂心，外心)，垂心的存在性可以概述為以下垂心定理.

圖1

垂心定理三角形的三條高所在直線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫做三角形的垂心.

圖2

特別地，當(dāng)∠A為直角時(shí)，結(jié)論也成立，且垂心H與頂點(diǎn)A重合.

等差冪線定理，往往可以簡明有效地應(yīng)對(duì)各種垂直關(guān)系的論證.基于此得到如下證法.

圖3

證法二:如圖3，設(shè)BE與CF交于點(diǎn)H,連接AH交BC于D.由HC⊥AB,HB⊥AC及等差冪線定理得,HA2-HB2=CA2-CB2,HA2-HC2=BA2-CB2.所以HB2-HC2=AB2-AC2,從而AH⊥BC.

基于其他常見三角形更基礎(chǔ)的特征點(diǎn)(外心)，可以自然導(dǎo)出了垂心的存在性.

圖4

證法三:如圖4.過A,B,C分別作BC,CA,AB的平行線交于U,V,W,AW∥BC,BW∥AC?BCWA,同理BCAV.又AD⊥BC?AD⊥WV.所以AD垂直平分WV.同理,BE,CF分別垂直平分UW,UV.所以AD,BE,CF共點(diǎn)于△UVW的外心,得證.

在垂心的諸多性質(zhì)中，會(huì)關(guān)聯(lián)出諸多個(gè)四點(diǎn)共圓情形，是否能基于四點(diǎn)共圓的基本判定及性質(zhì)而得到三條高線共點(diǎn)？由此可得如下證法.

圖5

證法四:以銳角三角形情形為例.如圖5，已知AD⊥BC,BE⊥AC.設(shè)AD與BE交于H,CH與AB交于F.則∠AEB=∠ADB=90°.又由A,E,D,B和C,E,H,D四點(diǎn)共圓,所以∠AHF+∠FAH=∠DHC+∠BED=∠DHC+∠HCD=90°，即∠AFH=90°,所以CF⊥AB,得證.

基于以上探究，我們得到三角形高線的一個(gè)有趣性質(zhì).

垂線性質(zhì)點(diǎn)D,E,F分別在△ABC三邊所在直線上,且直線AD,BE,CF交于點(diǎn)P,則AD⊥BC當(dāng)且僅當(dāng)∠PDE=∠PDF.

圖6

最后通過以下兩個(gè)命題實(shí)現(xiàn)對(duì)垂心的等價(jià)刻畫，以豐富其認(rèn)識(shí).

圖7

命題1H為△ABC的垂心時(shí)，有HA·HD=HB·HE=HC·HF.

圖8

cosB·cosC,所以HA·HA=4R2(-cosA)·cosB·cosC,其余情形與銳角情形類似,結(jié)論得證，且此時(shí)h=4R2(-cosA)·cosB·cosC.

命題2 當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，H0為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且H0A·HD=H0B·H0E=H0C·H0F時(shí)，則H0為△ABC的垂心.

圖9

證明:因?yàn)镋FBC,FDCA,DEAB分別四點(diǎn)共圓,所以∠ADB=∠ADF+∠FDB=∠ACF+∠A,∠ADC=∠ABE+∠A=∠ACF+∠A.∠ADB=∠ADC=90°,即AD⊥BC.同理BE⊥AC,CF⊥AB.所以H0為△ABC的垂心.