浙江省嘉興市秀洲區(qū)王店鎮(zhèn)建設(shè)中學(xué) (314011) 洪 安浙江省海寧市丁橋中學(xué) (314400) 陳振鋒

一、試題呈現(xiàn)與評價

(一)原題呈現(xiàn)

圖1

如圖1，在△ABC中， ∠BAC=30°,∠ACB=45°,AB=2,點P從點A出發(fā)沿AB方向運動,到達(dá)點B時停止運動.連接CP，點A關(guān)于直線CP的對稱點為A′，連接A′C，A′P.在運動過程中，點A′到直線AB距離的最大值是；點P到達(dá)點B時，線段A′P掃過的面積為.

(二)試題評價

1.動靜結(jié)合，圖形美觀

本題的三角形是一個內(nèi)角為30度和45度的鈍角三角形，在初中階段，學(xué)生對于這兩個角度非常熟悉，在考場上看到這樣的角度和圖形，學(xué)生會有親切感.當(dāng)我們過點B做AC的垂線后，就分割成了兩個非常熟悉的直角三角形，從而已知一邊，可以快速求出其他線段的長度.平時學(xué)習(xí)過程中，要多關(guān)注特殊的基本圖形，學(xué)會欣賞圖形的美妙之處.

P是線段AB上的一個動點，點A關(guān)于直線CP的對稱點為A′，圖形的軸對稱變換是一種非常美觀的構(gòu)圖方式.題中的構(gòu)圖方式，有動有靜，動靜結(jié)合.學(xué)生能在這個變化中找到動和靜，變與不變，將為解題帶來思路.整個圖形線條簡潔，構(gòu)圖直觀，清晰美觀，讓學(xué)生體會幾何圖形獨特的美感.

2.線面結(jié)合，題目簡潔

本題是2021年浙江省嘉興市初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試填空題的最后一題，兩小問，共4分，問題簡潔，兩小問具有遞進(jìn)關(guān)系，分別求的是點到直線的距離和線段掃過的面積.點動到線動，線動又可以進(jìn)一步求解面積，這是我們平時學(xué)習(xí)的流程，從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，為通過動點來發(fā)展教學(xué)內(nèi)容，提供了教學(xué)材料，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的發(fā)展建構(gòu)過程，這為我們平時的教學(xué)提供了思路.這樣的教學(xué)流程，必然能提升學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng).

二、試題求解

(一)重視審題，獲取思路

審題是解題的第一步，從審題的過程中獲取多少信息，產(chǎn)生多少知識間的聯(lián)想，將直接影響到題目的解決.在△ABC中，∠BAC=30°,∠ACB=45°,AB=2,直接可以得到另外兩邊的長度.點A關(guān)于直線CP的對稱點為A′，可以得到△ACP?△A′CP，P在動的過程中，線段A′C=AC，根據(jù)動點到定點的距離等于定長，可以知道A′的軌跡是一條弧，這為我們后續(xù)的解題提供了方向.第一問要求A′到直線AB距離的最大值，可以聯(lián)想到垂徑定理，即A′C垂直于直線AB時，所求距離最大.第二問要求線段A′P掃過的面積，我們已經(jīng)確定A′的軌跡是一條弧，從而可以確定所求面積是圓心角為90度扇形的一部分，通過對P點特殊位置——起始點和終點的作圖，可以確定圖形，從而求解.

(二)重視畫圖，以靜制動

解決幾何題，特別是動點軌跡問題，作圖是關(guān)鍵，可以幫助思考，輔助計算.在動點問題中，要學(xué)會以靜制動，根據(jù)題目條件的特點，作出符合題意的圖形，通過對圖形的直觀分析、判斷，以此來進(jìn)一步求解.本題中學(xué)生一定要嘗試大膽作圖，現(xiàn)將輔助圖形呈現(xiàn)如下：

第一問輔助圖(見圖2，圖3，圖4)：

圖2 圖3 圖4

第二問輔助圖(見圖5，圖6)：

圖5 圖6

有了圖形就能獲得直觀的感受，從而突破本題帶來的困擾.通過對圖形的分析和計算，就能獲得答案.作圖是一個呈現(xiàn)思維的過程，讓思維可視化，也讓教師進(jìn)一步了解學(xué)生的知識掌握情況和思維發(fā)展情況.精準(zhǔn)作圖，助力輕松解題.

(三)重視計算，獲得答案

三、深度挖掘

(一)再探基本圖形

本題的基本圖形是一個45度和30度的鈍角三角形，對于此圖形課本中涉及較少，能不能基于兩個特殊角，利用該圖形得到一些常用的結(jié)論，成了筆者在解決此題后思考的第一個問題.

基本圖形7，過點B做AC的垂線，分割成兩個特殊的直角三角形，這兩個直角三角形在平時的課堂中研究較多，三邊的關(guān)系比較清楚，故在本文中，不再多加敘述.

圖7 圖8

圖形8，作AN=AB，將△ABC分割成一個頂角為30度的等腰三角形，則另一個三角形與它本身相似，此處，我們可以進(jìn)一步探究頂角為30度角等腰三角形模型的三邊關(guān)系.

圖9

圖形9，在一個頂角為120度的等腰三角形中，作FD=FQ，得到一個頂角為30度的等腰三角形和一個內(nèi)角為30度和45度的三角形，即△ABC～△EQD,從等腰三角形DEF的邊角關(guān)系可以進(jìn)一步探究分割出的三角形邊的關(guān)系.

(二)再作圖形變換

本題的圖形變化是軸對稱變換，還可以研究圖形的平移和旋轉(zhuǎn)，在此將進(jìn)一步通過圖形旋轉(zhuǎn)，探索在這個過程中，得到的一些結(jié)論，也啟發(fā)學(xué)生在平時的學(xué)習(xí)中，學(xué)會多角度的看待問題，探究問題，總結(jié)問題.

圖10

變式1 如圖10，在△ABC中，∠BAC=30°,∠ACB=45°,AB=2,點P從點A出發(fā)沿AB方向運動,到達(dá)點B時停止運動.連接CP, 將△ACP繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)30°得到△AC′P′.設(shè)AP的長度為t，求：(1)PP′的長度(用t表示)；(2)求△PC′P′面積的最大值.

圖11

變式2 如圖11，在△ABC中，∠BAC=30°, ∠ACB=45°,AB=2,點P從點A出發(fā)沿AB方向運動,到達(dá)點B時停止運動.連接CP，將△ACP繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)和逆時針都旋轉(zhuǎn)30°得到△AC′P′和△AC″P″.設(shè)AP的長度為t，求：

(1)∠P′PP″的度數(shù)是否為定值，若為定值，求出其度數(shù)；

(2)求△P′PP″的面積(用t表示)；

(三)再求變式結(jié)論

在有了兩個變式之后，可以嘗試去計算結(jié)果，培養(yǎng)空間觀念、運算能力和模型思想.

在求解的過程中，學(xué)生綜合運用了各種知識，對題目有了更深刻的認(rèn)識，提高了個人的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)了探究精神.

四、教學(xué)思考

(一)關(guān)注課標(biāo)，挖掘教材

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》指出：“教師教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗為基礎(chǔ)，面向全體學(xué)生.”本題的背景源于課本，但是又高于課本.教材中對于特殊的直角三角形都有所涉及，但是組合型的三角形又沒有直接呈現(xiàn)，啟發(fā)我們在教學(xué)過程中多探索新的特殊圖形.《課標(biāo)》中對圖形的軸對稱提出了明確的要求，而本題是在動態(tài)中的軸對稱，相比于以往的題目，難度有所增加，但是考查的知識點又都是我們所熟悉的.如何利用課本，又能讓學(xué)生挖掘出高于課本的素材，需要教師不斷的引導(dǎo)，師生共同的探索.

(二)關(guān)注方法，抽象模型

數(shù)學(xué)的練習(xí)，要做一題，會一類，這就需要在每道題后及時反思和總結(jié)方法.如對于本題來說，首先如何解決軌跡問題值得反思，初中階段，軌跡一般分為兩類，線段和弧.本題中確定軌跡為弧后，考慮利用割補法解決問題.其次遇到點到直線的距離問題如何思考，結(jié)合A′的軌跡為弧，轉(zhuǎn)化到了垂徑定理，從而解決問題.我們也可以把上述的兩種思考，提煉出兩種模型，遇到相似的問題時，就往這樣的角度去思考.在平時的教學(xué)過程中，我們要多引導(dǎo)學(xué)生對圖形進(jìn)行探究，通過歸納反思，提煉模型，培養(yǎng)模型意識.

(三)關(guān)注思想，提升素養(yǎng)

數(shù)學(xué)思想蘊含在數(shù)學(xué)知識形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是數(shù)學(xué)知識和方法在更高層次上的抽象與概括.而數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累是提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的手段，這是師生積極參與、交往互動、共同發(fā)展的過程.在本題的解決過程中，學(xué)生的數(shù)感、空間觀念、幾何直觀、推理能力、運算能力與模型能力等得到進(jìn)一步的提升.學(xué)生需要通過分析題意，利用幾何直觀構(gòu)建圖形，在此過程中學(xué)生的作圖能力得到進(jìn)一步發(fā)展.通過題意，利用所學(xué)，充分利用已知的模型，將復(fù)雜的問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化.這一過程中，學(xué)生也充分體會到了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想對于解題的幫助.在平時的教學(xué)過程中，教師要強調(diào)幾何直觀和模型思想的重要性，要善于引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)模型，聯(lián)想模型，應(yīng)用模型.教師只有在平時的課堂中不斷的滲透數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)生才能在學(xué)習(xí)活動中感知核心素養(yǎng)，從而提升個人的數(shù)學(xué)素養(yǎng).