湖北省襄陽市第一中學(xué) (441099) 李 珍湖北省襄陽市第五中學(xué) (441057) 馬文俊

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》強(qiáng)調(diào)要培養(yǎng)和提升高中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.如何在課堂實(shí)踐中提升高中學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)呢？筆者通過直線與平面垂直的判定的教學(xué)實(shí)踐和思考做了一些探索，以饗讀者.

一、教學(xué)內(nèi)容解析

本節(jié)內(nèi)容是人教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》必修②中直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)第一課時(shí).直線與平面垂直是空間中點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的核心內(nèi)容.直線與平面垂直既是對(duì)直線與直線垂直的深化，也是研究平面與平面垂直的基礎(chǔ).同時(shí)，它也為后續(xù)研究斜線與平面所成的角、二面角、點(diǎn)到平面的距離、直線到平面的距離、兩個(gè)平行平面間的距離等內(nèi)容奠定了基礎(chǔ).

二、學(xué)生情況分析

學(xué)生掌握了直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理，也掌握了直線與直線垂直的判定方法，有“通過觀察、操作，抽象概括出數(shù)學(xué)結(jié)論”的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，具備學(xué)習(xí)本節(jié)知識(shí)的基礎(chǔ).但是，從生活情境中抽象概括出直線與平面垂直的定義對(duì)學(xué)生而言有一定困難.另外，為什么判定直線與平面垂直要且只要“垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線”，理解立體幾何中的“平面化”的思想和“降維”的思想，學(xué)生也會(huì)感到有困難.

三、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

(1)借助生活中直線與平面垂直的實(shí)例，通過直觀感知和抽象概括，形成直線與平面垂直的定義，提升直觀想象和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；

(2)借助折疊三角形紙片，通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，歸納出直線與平面垂直的判定定理，提升直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)；

(3)能夠?qū)χ本€與平面垂直的定義和判定定理進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用，提升邏輯推理素養(yǎng).

四、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：直線與平面垂直的定義、判定定理以及它們的初步應(yīng)用.

教學(xué)難點(diǎn)：理解直線與平面垂直的定義，探究直線與平面垂直的判定定理.

五、教學(xué)情境設(shè)計(jì)與思考

1.直線與平面垂直的定義的建構(gòu)

環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設(shè)情境、感知概念

問題1：直線與平面有哪幾種位置關(guān)系？我們已經(jīng)研究了直線與平面哪些內(nèi)容？運(yùn)用了什么思想方法？

問題2：觀察下面的圖片，請(qǐng)思考：旗桿與地面、大橋的橋柱與水面、豎直的墻角線與地面是什么位置關(guān)系？給我們留下了什么印象？

評(píng)析：讓學(xué)生意識(shí)到直線與平面垂直是直線與平面相交中的一種特殊情況并引出課題.另外，這樣設(shè)計(jì)能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，吸引學(xué)生主動(dòng)參與到學(xué)習(xí)過程中來.

師：什么是直線與平面垂直呢？ 這是本節(jié)課的研究?jī)?nèi)容.請(qǐng)同學(xué)們觀看旗桿和它在地面上的影子的動(dòng)畫，(教師播放動(dòng)畫)，思考旗桿和它的影子的有什么位置關(guān)系.

圖1

問題3：直線l與平面α內(nèi)不經(jīng)過點(diǎn)B的直線B′C′垂直嗎(圖1)？

評(píng)析：在具體生活情境中，讓學(xué)生去感知直線與平面垂直，為抽象概括出直線與平面垂直的概念做準(zhǔn)備.同時(shí)，在感知線面垂直的過程中，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象和數(shù)學(xué)抽象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

環(huán)節(jié)二：抽象概括、形成概念

師：請(qǐng)同學(xué)們歸納直線與平面垂直的概念，并用符號(hào)語言表述.

圖2

直線和平面垂直的定義：如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α.直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面.直線與平面垂直時(shí)，它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足.(圖2)

評(píng)析：讓學(xué)生通過操作、思考(用三角板和筆在桌面上比試)，加深對(duì)概念的理性認(rèn)識(shí).

環(huán)節(jié)三：嘗試練習(xí)——深化概念

練習(xí)：判斷下列說法是否正確：

(1)若一條直線垂直于一個(gè)平面，則這條直線就與這個(gè)平面內(nèi)任意一條直線都垂直；

(2)若一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則這條直線就與這個(gè)平面垂直；

(3)過一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有且只有一條.

答案：(1)對(duì)；(2)錯(cuò)；(3)對(duì).

證明：(3)如圖3，假設(shè)過點(diǎn)P有兩條直線PA、PB與面α垂直，設(shè)面PAB∩面α=l，則PA⊥l，PB⊥l，因?yàn)橹本€PA、PB、l共面，所以過點(diǎn)P有兩條直線PA、PB與直線l垂直，顯然不可能.因此，過一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有且只有一條.

圖3

教師引導(dǎo)學(xué)生得到：

結(jié)論：過一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有且只有一條.

點(diǎn)到平面的距離：過一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線，則該點(diǎn)與垂足間的線段，叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段，垂線段的長(zhǎng)度叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離.

評(píng)析：通過嘗試練習(xí)，讓學(xué)生更深刻的理解直線和平面垂直的概念，為后面探究并運(yùn)用直線與平面垂直的判定定理奠定基礎(chǔ).

2.直線與平面垂直的判定定理的探究

環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設(shè)情境——提出問題

問題4：請(qǐng)觀察教室里豎直的墻角線所在的直線與地面所在的平面垂直嗎，為什么？

師：我們可以幾何直觀的角度感知得出，豎直的墻角線所在的直線與地面所在的平面垂直.我們根據(jù)直線與平面垂直的定義，只需要判斷豎直的墻角線與地面內(nèi)任何一條直線都垂直.那么如何判斷呢？

評(píng)析：從研究墻角線和地面垂直的入手，感知判定直線與平面垂直的方法，為研究直線與平面垂直的判定定理做準(zhǔn)備.

環(huán)節(jié)二：動(dòng)手試驗(yàn)——猜想定理

演示試驗(yàn)過程：過△ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD，再將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD、DC與桌面接觸).

圖4

問題5：圖4中折痕AD與桌面垂直嗎？為什么？如何翻折才能讓折痕AD與桌面所在平面α垂直呢？﹙學(xué)生分組試驗(yàn)﹚

引導(dǎo)學(xué)生得到：如圖5，折痕AD與桌面所在平面α垂直的充要條件是折痕AD是BC邊上的高.由于翻折前后垂直關(guān)系保持不變，折痕AD與平面α內(nèi)的直線BD、CD均垂直.

圖5

評(píng)析：讓學(xué)生通過折紙實(shí)驗(yàn)和相互交流，從正反兩個(gè)方面理解直線與平面垂直的問題，可以從正反兩方面理解直線與平面垂直的判定條件，為猜想出直線與平面垂直的判定定理做好準(zhǔn)備.

問題6：通過試驗(yàn)，你能得到什么結(jié)論？

問題7：請(qǐng)學(xué)生觀察，直線AD還經(jīng)過BD、CD的交點(diǎn).在增加了這個(gè)條件后，應(yīng)該如何更準(zhǔn)確地表述試驗(yàn)的結(jié)論？

問題8：如果直線l與平面α內(nèi)的兩條相交直線m、n都垂直，但不經(jīng)過它們的交點(diǎn)，那么直線l還與平面α垂直嗎？

評(píng)析：通過讓學(xué)生自主操作，思考系列問題，激發(fā)學(xué)生的求知欲，讓學(xué)生在動(dòng)手實(shí)驗(yàn)過程中，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)立體幾何的直觀感知，提升空間想象能力，同時(shí)，還能夠培養(yǎng)學(xué)生的相互合作意識(shí)和交流表達(dá)能力.

環(huán)節(jié)三：抽象概括、確認(rèn)定理

師：請(qǐng)同學(xué)給出線面垂直的判定定理，并用符號(hào)語言把這個(gè)定理表述.

直線和平面垂直的判定定理：

文字語言：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直.

圖6

符號(hào)語言：l⊥m，l⊥n，m?α，n?α，m∩n=A?l⊥α(圖6).

師：判定定理的實(shí)質(zhì)就是通過線線垂直來證明線面垂直，它體現(xiàn)了立體幾何中降維的重要的數(shù)學(xué)思想.

評(píng)析：通過理性分析，概括出折紙實(shí)驗(yàn)的數(shù)學(xué)本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，提高學(xué)生抽象概括的能力，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).

辨析：判斷下列說法是否正確：

圖7

(1)若一條直線垂直于一個(gè)梯形的兩條邊垂直，則這條直線就與梯形所在的平面垂直(圖7)；

(2)若一條直線垂直于一個(gè)平面的無數(shù)條直線，則這條直線就與這個(gè)平面垂直.

評(píng)析：通過概念辨析，強(qiáng)化定理中“兩條相交直線”這一條件，深化學(xué)生對(duì)直線和平面垂直的判定定理的內(nèi)涵的理解.

3.直線與平面垂直的初步應(yīng)用

例1 已知a∥b，a⊥α.求證：b⊥α.

評(píng)析：通過例1讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用定義和判定定理解決相關(guān)問題.讓學(xué)生體會(huì)解決此類問題的方法和步驟，領(lǐng)悟“降維”的思想、化歸與轉(zhuǎn)化的思想.培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

圖8

例2 如圖8，在直四棱柱A′B′C′D′-ABCD中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足什么條件時(shí)，A′C⊥B′D′？

問題9：證明線面垂直有哪些方法？運(yùn)用了什么樣的數(shù)學(xué)思想方法？

評(píng)析：通過例2培養(yǎng)學(xué)生熟練地將線線垂直和線面垂直進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，從而使他們能夠靈活應(yīng)用定義和判定定理進(jìn)行邏輯推理論證.進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

課堂練習(xí)：課本第152頁練習(xí)第2、4題.

評(píng)析：課堂內(nèi)完成教科書中練習(xí)題，能有效地檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)直線與平面垂直的了解、理解和掌握情況.

4.總結(jié)提升、建構(gòu)體系

問題10：本節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了哪些判斷線面垂直的方法？運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想方法？我們是如何研究這些知識(shí)和方法的？

評(píng)析：師生一起回顧整節(jié)課的學(xué)習(xí)與探究歷程，體會(huì)立體幾何學(xué)習(xí)的“直觀感知、抽象概括”、“直觀感知、操作確認(rèn)”的認(rèn)識(shí)過程，感受線線垂直、線面垂直的轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法，以及邏輯推理的思維過程.

5.布置作業(yè)、課后探究

課本第162頁習(xí)題第4題，第163頁習(xí)題第5、14題，第164頁習(xí)題第15題.

評(píng)析：課后完成適量的練習(xí)題，能有效地鞏固學(xué)生課堂內(nèi)學(xué)習(xí)的知識(shí)、方法、數(shù)學(xué)思想等，有利于幫助學(xué)生熟練掌握所學(xué)的基本知識(shí)、思想方法等.

六、教學(xué)反思

本課力圖嘗試在直線與平面垂直的問題的過程中，讓學(xué)生在直觀感知、抽象概括、形成概念的過程中自然生成并建構(gòu)直線與平面垂直的概念，在直觀感知、操作確認(rèn)、合作探究的過程中主動(dòng)生成并建構(gòu)直線與平面垂直的判定定理，整個(gè)教學(xué)過程中，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，用數(shù)學(xué)的方式理性思考、分析問題，用數(shù)學(xué)的方法準(zhǔn)確地表達(dá)、解決問題.通過教學(xué)實(shí)踐，體會(huì)到可以通過教師設(shè)計(jì)顯性的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，在學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生發(fā)展的過程中，提升學(xué)生的隱性的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

可取之處：整個(gè)過程中，教師積極為學(xué)生創(chuàng)設(shè)問題情境，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，并啟發(fā)誘導(dǎo)，激發(fā)學(xué)生的求知欲，提升學(xué)生思考的積極性，讓學(xué)生在迫切要求之下學(xué)習(xí).對(duì)達(dá)成教學(xué)目標(biāo)和促進(jìn)學(xué)生發(fā)展起到了重要的作用.

改進(jìn)之處：本課在形成概念和建構(gòu)判定定理方面設(shè)計(jì)了系列數(shù)學(xué)活動(dòng)，起到了很好的教學(xué)效果，但如何真正引導(dǎo)學(xué)生自覺感知、自主生成，如何提升學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)，還有待于進(jìn)一步探索.