耿麗靜

在解答數(shù)列問題時，我們經(jīng)常會遇到一些非常規(guī)的數(shù)列通項公式問題，此時很難直接運用等差、等比數(shù)列的通項公式進行求解，需仔細研究數(shù)列的遞推關(guān)系式，選擇與之相應(yīng)的方法求解.數(shù)列的遞推關(guān)系式有很多種不同的形式，由每種形式的遞推關(guān)系式求數(shù)列通項公式的方法各不相同.下面筆者重點談一談如何由下列三種類型的遞推關(guān)系式求得數(shù)列的通項公式.

類型一： an -an -1 =f n型

對于形如 an -an -1 =f n的遞推關(guān)系式，通常采用累加法來求其通項公式.首先令n =1，2，3，…，n，然后將各式累加，通過化簡求得an 的表達式.有時需令 n =n +1或n -1，以便在化簡的過程中順利求得an 的表達式，得到數(shù)列的通項公式.

例1.已知數(shù)列an中，an+1 =an +n，a61= 1999，求該數(shù)列的通項公式.

解：

將遞推關(guān)系式變形可得 an -an -1 =n，該式形如 an -an -1 =f n，可采用累加法求解.由于遞推關(guān)系式中含有 an+1，所以只需令 n =1，2，3，…，n -1，再將其累加即可.

類型二： an+1 =pan（m）型

對于 an + 1 = pamn （ p ≠ 0，m ∈ N*，m > 1） 型遞推關(guān)系式，需在遞推關(guān)系式的左右兩邊取對數(shù)，以便將遞推關(guān)系式中的積、商、冪轉(zhuǎn)化為和、差、倍，從而將遞推關(guān)系式構(gòu)造成等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項公式，最后根據(jù)等差、等比數(shù)列通項公式求得數(shù)列的通項公式.

例2.若數(shù)列an的首項為2，an+1 =a ，求數(shù)列的通項公式.

解：由題意可知 a1= 2，而 an+1 =a >0，

將 an+1 =a 的兩邊取對數(shù)，得lgan +1 =2lgan ，

因此lgan?? = 2，lga1= lg 2，

因此數(shù)列l(wèi)gan是首項為 lg2，公比為2 的等比數(shù)列，即lgan=lg 2?2n -1，

所以數(shù)列的通項公式為an = 22n -1 .

通過取對數(shù)，便可將遞推關(guān)系式簡化，這樣便可構(gòu)造出首項為lg2，公比為2 的等比數(shù)列l(wèi)gan，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式即可求得數(shù)列的通項公式.

類型三： an +1an =can +1 +dan 型

對于形如 an +1an =can +1 +danc、 d ≠0的遞推關(guān)系式，需采用取倒數(shù)的方式來求數(shù)列的通項公式.可在 an+1an =can+1 +dan? 的兩邊同時除以 an+1an ，得到 +? =1，令 bn =? ，將遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為 bn+1 = mbn +qm ≠0的形式，然后引入待定系數(shù)得 bn+1 +A=m（bn +A），從而構(gòu)造出新數(shù)列，再根據(jù)等差、等比數(shù)列的通項公式或利用累加法求解.

例3.已知數(shù)列an中， an+1 =? ，a1=2，求數(shù)列的通項公式.

解：

解答本題，需先在遞推關(guān)系式的左右同時除以 an+1?an，然后運用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，以便根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求得數(shù)列的通項公式.

由于數(shù)列遞推關(guān)系式的形式各種各樣，所以同學(xué)們需對各種類型的遞推關(guān)系式及求通項公式的方法進行歸納，熟練掌握求數(shù)列通項公式的方法，以積累解題經(jīng)驗，提升解題的效率.

（作者單位：山東省泰安第二中學(xué)）