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        比較對(duì)數(shù)式大小的幾種常用方法

        2022-04-09 16:48:33胡奇云
        關(guān)鍵詞:性質(zhì)

        胡奇云

        比較對(duì)數(shù)式大小問題的難度一般不大,常以選擇、填空題的形式出現(xiàn).此類問題側(cè)重于考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、圖象、定義域、值域、運(yùn)算性質(zhì)以及指對(duì)數(shù)互化的技巧.雖然同學(xué)們已基本掌握了比較同底數(shù)、同真數(shù)的對(duì)數(shù)大小的方法,但是很多問題中通常會(huì)給出若干個(gè)底數(shù)、真數(shù)均不相同的對(duì)數(shù),需靈活運(yùn)用一些方法、技巧,將對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化為同底數(shù)或同真數(shù)的對(duì)數(shù),或者將問題轉(zhuǎn)化為其他形式的問題進(jìn)行求解.下面介紹幾種比較對(duì)數(shù)式大小的常用方法:中間量法、反函數(shù)法、作商法、作差法、取整數(shù)法、構(gòu)造函數(shù)法以及特殊值法.

        一、中間量法

        對(duì)于底數(shù)、真數(shù)均不同的對(duì)數(shù)式,可采用中間量法來比較其大小.首先要找到一個(gè)合適的中間值,使其與要比較的兩個(gè)對(duì)數(shù)式構(gòu)成同底數(shù)或同真數(shù)的對(duì)數(shù)式,然后根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分別比較出兩個(gè)對(duì)數(shù)式與中間值的大小,最后根據(jù)不等式的傳遞性比較出兩個(gè)對(duì)數(shù)式的大小.在選取中間量時(shí),可根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的特殊點(diǎn)進(jìn)行參照和比較,常用的中間量有0、1、等.以求 log54的取值范圍為例,log54對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)函數(shù)為 y =log5x,可將 log51=0、log55= 1和 log5? =? 等作為中間量.根據(jù)函數(shù) y =log5x 的單調(diào)性,得 log54< log55= 1, log54>log51=0 , log54> log5? =? ,可得<log54< 1.運(yùn)用中間量法解題比較簡便且不易出錯(cuò),還可以借助除0 和1 以外的中間量來縮小對(duì)數(shù)式的取值范圍.

        例1.已知 a =log52 , b =log83 , c = ,則(? ).

        A. c <b <a&nbsp;?? B. b <a <c??? C. a <c <b?? D. a <b <c

        解:因?yàn)?a =log52<log5? =? ,

        b =log83>log82 =? ,

        故 a <c <b,所以本題應(yīng)選C.

        給出的三個(gè)數(shù)中有一個(gè)為常數(shù),而其他兩個(gè)數(shù)為底數(shù)與真數(shù)均不相同的對(duì)數(shù),可選取作為中間量,來構(gòu)造同底的對(duì)數(shù) log5? =? 、log82? =? ,再將其與兩個(gè)對(duì)數(shù)進(jìn)行比較,即可快速判斷出兩個(gè)對(duì)數(shù)式的大小.

        例2.設(shè)a =log20.3,b =log10.4,c =0.40.3,則a,b,c的大小關(guān)系為(? ).

        A. c < b <a??? B. b <a <c??? C. a <c < b?? D. a < b <c

        解:因?yàn)?a =log20.3<log21=0,

        根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)可得

        b =log 0.4=log2 >log22=1,

        而0 <c =0.40.3<0.40= 1,

        故 a <c <b,所以本題選C.

        仔細(xì)觀察已知條件可發(fā)現(xiàn)a、 b 為對(duì)數(shù)式、c 為指數(shù)式.對(duì)于這類問題,需借助中間量來確定三個(gè)數(shù)的取值范圍.于是取1、0作為中間量,首先確定c 的取值范圍,然后構(gòu)造同真數(shù)或同底數(shù)的對(duì)數(shù),將 a 與0比較、1與b 比較.在選取中間量時(shí),可參照要比較的對(duì)數(shù)式,再將中間量轉(zhuǎn)化為同真數(shù)或同底數(shù)的對(duì)數(shù),這樣便可直接利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來比較大小.

        二、反函數(shù)法

        我們知道,指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),對(duì)數(shù)式的定義域?yàn)槠浞春瘮?shù)的值域,對(duì)數(shù)式的值域?yàn)槠浞春瘮?shù)的定義域.在比較對(duì)數(shù)式的大小受阻時(shí),可采用反函數(shù)法,將對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式,求其定義域,即可快速確定對(duì)數(shù)式的取值范圍,從而比較出兩個(gè)對(duì)數(shù)式的大小.

        例3.已知log2x =log3y =log5z <0,則(? ).

        A. x < y < z????? B. y < x < z

        C. z < x < y????? D. z < y < x

        解:令log2x =log3y =log5z =m <0,

        則2m =x , 3m =y , 5m =z,

        即2m -1 =? , 3m -1 =? , 5m -1 =? ,

        因?yàn)?m -1 <0,所以<<,

        故 x < y < z ,故本題選A.

        由于 x、 y、 z 為變量,所以很難比較出、、

        三者的大小,于是運(yùn)用反函數(shù)法,將其轉(zhuǎn)化為指數(shù)式,求得 x、 y、 z 的表達(dá)式,然后根據(jù)指數(shù)函數(shù) y =2x、 y =3x、y =5x 的性質(zhì)、圖象,比較出三個(gè)對(duì)數(shù)式的大小.

        三、作商法

        有些對(duì)數(shù)式的取值范圍比較接近,我們很難比較出它們的大小,此時(shí)采用作商法來進(jìn)行比較.首先將兩個(gè)對(duì)數(shù)式作商,然后根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì):logaMn = n logaM,loga(M ·N)=m +n,loga()=logaM -logaN以及換底公式logab = logca來將商式化簡,再把所得的結(jié)果與1進(jìn)行比較,若>1 ,則 a > b;若<1 ,則 a < b;若? =1,則 a = b .

        例4.已知55< 84 , 134< 85.設(shè) a = log53 , b = log85 , c = log138,則(? ).

        A. a < b <c

        B. b < a < c

        C. b <c <a

        D. c <a <b

        解:因?yàn)? =? = log53? log58<(? 2?? )2=( 2 )2<( 2 )2= 1,

        故 log85< 1,即 b >a .

        由b =log85 , c =log138,得8b=5 , 13c = 8,因?yàn)?5b = 55< 84 , 135c = 85> 134,

        所以5b <4 , 5c >4,即 b <? , c >,故 c >b .綜上可得a <b<c,所以本題選A.

        本題中對(duì)數(shù)式的底數(shù)與真數(shù)均不相同,但底數(shù)與真數(shù)之間有一定的聯(lián)系,于是采用作商法進(jìn)行比較.通過作商將底數(shù)、真數(shù)關(guān)聯(lián)起來,利用基本不等式和換底公式判斷出比值與1 的大小關(guān)系.

        四、作差法

        對(duì)于取值范圍比較接近的對(duì)數(shù)式,我們也可采用作差法來進(jìn)行比較,其思路與作商法較為相似.首先將兩個(gè)對(duì)數(shù)式作差,然后根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及換底公式來化簡差式,再把所得的結(jié)果與0進(jìn)行比較,若 a -b >0 ,則 a >b;若 a -b <0 ,則 a <b;若 a -b =0 ,則 a = b .

        例5.設(shè) x , y , z 為正數(shù),且2x =3y =5z,則(? ).

        A.2x <3y <5z????? B.5z <2x <3y

        C.3y <5z <2x????? D.3y <2x <5z

        解:

        所以本題選A.

        將兩對(duì)數(shù)式作差后,便可根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)將不同底數(shù)的對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)的對(duì)數(shù)式,再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù) y =logmx的單調(diào)性即可比較出三個(gè)式子的大小.

        五、取整數(shù)法

        若對(duì)數(shù)的真數(shù)大于底數(shù),則可采用取整數(shù)法來比較對(duì)數(shù)式的大小.根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),將對(duì)數(shù)式整合為“整數(shù)+ 新對(duì)數(shù)”的形式.這樣便能將對(duì)數(shù)式簡化,比較新對(duì)數(shù)的大小即可解題.

        例6.已知a =log36 , b =log510 , c =log714,則(? ).

        A. c >b >a????? B. b >c >a

        C. a >c >b????? D. a <b <c

        解:因?yàn)?a =log36= 1+log32 , b =log510= 1+log52 , c =log714= 1+log72,

        而log32>log52>log72,

        故 log36>log510>log714,即 a >c >b,

        所以本題選C.

        在提取整數(shù)后,對(duì)數(shù)的真數(shù)值發(fā)生改變,若出現(xiàn)同真數(shù)的對(duì)數(shù)式,則比較容易比較兩式的大小;若沒有,可通過構(gòu)造中間量,根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來進(jìn)行比較.

        六、構(gòu)造函數(shù)法

        有些對(duì)數(shù)式的結(jié)構(gòu)類似,如底數(shù)相同、真數(shù)相同,此時(shí)可根據(jù)對(duì)數(shù)式構(gòu)造出相應(yīng)的函數(shù)模型,將問題轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)函數(shù)問題,利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性等性質(zhì)來比較兩式的大小.

        例7.若2a +log2a =4b +2log4b,則(? ).

        A. a >2b?? B. a <2b?? C. a >b2?? D. a <b2

        解:將2a +log2a =4b + 2log4b 變形得2a +log2a =22b +log2b,

        設(shè) f(x)=2x +log2x,

        因?yàn)?f(a)-f(2b)=2a +log2a -(22b +log22b)=22b +log2b -(22b +log22b)=log2b -log22b =log2 =-1<0,

        且 f(x)在(0 , +∞)上為單調(diào)增函數(shù),

        所以 f(a)<f(2b),故 a <2b,所以本題選B.

        已知關(guān)系式左右兩邊式子的結(jié)構(gòu)類似,于是構(gòu)造函數(shù) f(x)=2x +log2x,利用函數(shù)的單調(diào)性來比較兩個(gè)對(duì)數(shù)式的大小.

        七、特殊值法

        對(duì)于含有較多變量或參數(shù)的對(duì)數(shù)式,我們可選取適當(dāng)?shù)奶厥庵?,將其代入?duì)數(shù)式中進(jìn)行計(jì)算,再比較所得的結(jié)果,即可比較出對(duì)數(shù)式的大小.

        例8.若 a >b>1, 0<c<1,則(? ).

        A. ac <bc

        B. abc<bac

        C. a logbc<b logac

        D. logac<logbc

        解:不妨取 a =4 , b =2 , c =? .因?yàn)?a logbc =4?? log2 =-4,b logac =2 ? log4 =-1,所以 a logbc< b logac,故 C選項(xiàng)正確.

        本題的各個(gè)式子中都含字母,采用常規(guī)方法很難比較出它們的大小,于是采用特殊值法,取 a =4 , b =2 , c = ,將其代入選項(xiàng)中進(jìn)行驗(yàn)證,即可得出正確的答案.

        本文歸納了七種比較對(duì)數(shù)式大小的方法.相比較而言,取中間量法、特殊值法最為便捷,運(yùn)用反函數(shù)法、作商法、作差法、取整數(shù)法、構(gòu)造函數(shù)法則都需靈活運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、圖象、單調(diào)性.

        (作者單位:西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院)

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