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        求數(shù)列和的三個(gè)技巧

        2022-04-09 16:48:33陸鈺
        關(guān)鍵詞:技巧

        陸鈺

        在解答數(shù)列問(wèn)題時(shí),經(jīng)常會(huì)遇到求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和問(wèn)題,此類(lèi)問(wèn)題常以解答題的形式出現(xiàn),難度系數(shù)較大.下面結(jié)合實(shí)例來(lái)探討一下求數(shù)列和的三個(gè)技巧,以幫助同學(xué)們破解此類(lèi)難題.

        一、分組求和

        分組求和是指將數(shù)列中的各項(xiàng)合理拆分為易于求和的幾組,然后分組求和,最后綜合所得的結(jié)果.在運(yùn)用分組求和的技巧解題時(shí),要先仔細(xì)觀察數(shù)列的通項(xiàng)公式或數(shù)列中的各項(xiàng),尋找其中的規(guī)律,將通項(xiàng)公式相同的等差、等比、常數(shù)列分別放在一起,然后根據(jù)等差、等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式分組進(jìn)行求和.

        例 1.已知數(shù)列:1 + 1 ,1a + 4 ,a12 + 7,…,1an - 1 + 3n - 2 ,試求該數(shù)列的和.

        解:

        仔細(xì)觀察數(shù)列中的各項(xiàng),可發(fā)現(xiàn)該數(shù)列中的每一項(xiàng)都由等差數(shù)列 {3n - 2} 和等比數(shù)列 { } an1- 1 構(gòu)成,于是將數(shù)列拆分為兩組:一組為等差數(shù)列,一組為等比數(shù)列,然后根據(jù)等差、等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式求和本題中 a 的值不確定,要運(yùn)用等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公. 式,需分 a = 1和 a ≠ 1兩種情況進(jìn)行討論.

        二、裂項(xiàng)相消

        若數(shù)列的通項(xiàng)公式或各項(xiàng)為分式,可通過(guò)裂項(xiàng)相消來(lái)求得數(shù)列的和.首先將各項(xiàng)裂為兩項(xiàng)之差的形式,并使數(shù)列的前后項(xiàng)能夠相互抵消,如 1 n(n + k)=1k ??è?? 1n - 1 n + k 、 n +1 n + 1 = n + 1 - n ,再將各項(xiàng)相加,那么中間的部分項(xiàng)便會(huì)抵消,化簡(jiǎn)所得的結(jié)果即可求得數(shù)列的和.

        例2.設(shè)數(shù)列 { } an 的前 n 項(xiàng)和 Sn = -3n2 ,{ } bn 為單調(diào)遞增的等比數(shù)列,b1b2b3 = 512 ,a1 + b1 = a3 + b3 .(1)求數(shù)列{ } an ,{ } bn 的通項(xiàng)公式;(2)若cn = bn ( ) bn - 2 (bn - 1) ,求數(shù)列{ } cn的前 n 項(xiàng)和 Tn .

        解:(1)略;(2)由(1)可得:cn = 2n + 1 (2n + 1 - 2)( ) 2n + 1 - 1 = 2n ( ) 2n - 1 ( ) 2n + 1 - 1 = 1 ( ) 2n - 1 - 1 ( ) 2n + 1 - 1 ,則 Tn = c1 +…+ cn = ?è???÷ 211- 1 - 221- 1 + ?è???÷ 221- 1 - 231- 1 +…+ ?è???÷ 2n1- 1 - 2n +11 - 1 = 1 21 - 1 - 2n +11 - 1 = 1 - 1 2n + 1 - 1 .

        經(jīng)觀察可發(fā)現(xiàn) { } cn的通項(xiàng)公式的分母 ( ) 2n - 1 ? ( ) 2n + 1 - 1 為兩項(xiàng)乘積,于是將其裂項(xiàng): 2n (2n - 1)( ) 2n + 1 - 1 = ( 1 ) 2n - 1 - ( 1 ) 2n + 1 - 1 ,直接采用裂項(xiàng)相消法求和.將各項(xiàng)相加,那么中間的前后項(xiàng)便會(huì)抵消,剩下的項(xiàng)之和即為所求的前 n 項(xiàng)和.

        三、錯(cuò)位相減

        若一個(gè)數(shù)列中的各項(xiàng)由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積構(gòu)成,則可采用錯(cuò)位相減法來(lái)求和.將數(shù)列的前 n 項(xiàng)和左右同乘以等比數(shù)列的公比q ,得到qSn,再將兩式錯(cuò)開(kāi)一位,使 q 的次數(shù)相同的項(xiàng)相減,通過(guò)運(yùn)算求得 Sn 的表達(dá)式,即可求得數(shù)列的前 n 項(xiàng)和.

        例 3. 若 x ≠ 1 ,求 Sn = 1 + 3x + 5x2 + 7x3 +…+(2n -1)xn - 1 .

        解:Sn = 1 + 3x + 5x2 + 7x3 +…+ (2n - 1)xn - 1 ①,xSn = 1x + 3x2 + 5x3 + 7x4 +…+ (2n - 1)xn②,將① - ②可得:(1 - x)Sn = 1 + 2x + 2x2 + 2x3 + 2x4 +…+ 2xn - 1 - ( ) 2n - 1 xn,化簡(jiǎn)可得 Sn = 2( ) 1 - xn - 1 ( ) 1 - x 2 + 1 - ( ) 2n - 1 xn 1 - x .

        該數(shù)列的通項(xiàng)公式為 ( ) 2n - 1 xn - 1 ,是由等差數(shù)列與等比數(shù)列 { } xn - 1 的乘積構(gòu)成,可采用錯(cuò)位相減法來(lái)求和.在數(shù)列的和式左右同時(shí)乘以公比,再將其與數(shù)列的和式錯(cuò)位相減,即可求得數(shù)列的和.

        在求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和時(shí),要學(xué)會(huì)將數(shù)列的通公式或和式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?,可將?shù)列中的各項(xiàng)分為幾組,也可將數(shù)列的通項(xiàng)裂為兩項(xiàng)之差,還可將數(shù)列的和式左右同乘以等比數(shù)列的公比,這樣便能采用分組求和、裂項(xiàng)相消、錯(cuò)位相減的技巧順利求得數(shù)列的和.

        (作者單位:江蘇省興化市第一中學(xué))

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