陳伊涵，張譯文，張艷芳，黃 飛

(1. 中國科學院大學 本科部，北京 100049；2. 中國科學院高能物理研究所，北京 100049；3. 中國科學院大學 物理科學學院，北京 101408；4. 中國科學院大學 核科學與技術學院，北京 101408)

趙凱華教授和陳熙謀教授主編的《電磁學(第4版)》[1]中有這樣一道習題(第6章習題6.1-3)：“題圖所示是一根沿軸向均勻磁化的細長永磁棒，磁化強度為M，求圖中標出各點的B和H.”

圖1 6.1-3題圖

這里因為永磁棒“細長”且磁化強度沿軸向，對點1、2、3來說，可以將永磁棒看成無限長的，對點5、6來說，可以將永磁棒看成半無限長的，由無限長通電螺線管的磁場可知

B2=B3=0，

再由磁感應強度法向連續(xù)這一邊界條件知

各點的磁場強度可由H=B/μ0-M計算得到

H1=H2=H3=0，

問題是，如果磁棒不是“細長”的，其軸線上各點的磁場分布如何？如果磁棒不是軸向均勻磁化的，而是橫向均勻磁化的(如圖2所示)，各點的磁場分布會怎樣？進一步，如果磁棒是沿任意方向均勻磁化的，其軸線上的磁場又將如何？如果磁棒是無限長的，在軸向、橫向及其它任意方向均勻磁化的情況下，其全空間的磁場分布又將如何？本文對這些問題逐一給出解答.具體地，我們綜合運用分子電流觀點和磁荷觀點，系統(tǒng)地計算了沿軸向、橫向及其它任意方向均勻磁化的有限長永磁棒在軸線上的磁場以及無限長永磁棒在全空間的磁場.據我們所知，對沿橫向均勻磁化及沿其它任意方向均勻磁化永磁棒的磁場分布這一問題，本文屬首次提及并給出詳細解答.

圖2 橫向均勻磁化永磁棒磁場的示意圖

需要指出的是，本文在永磁棒的不同磁化狀態(tài)下，靈活采用了分子電流觀點和磁荷觀點來計算其磁場分布，但所得結果與采用哪種觀點無關.正如趙凱華教授和陳熙謀教授在《電磁學(第4版)》[1]的6.2章節(jié)中詳細論述的，雖然分子電流觀點和磁荷觀點所假設的微觀模型不同，分子電流觀點更符合物質的微觀結構圖像，磁荷觀點不太符合磁介質的微觀本質，但在這兩種觀點下得到的磁感應強度B和磁場強度H的宏觀規(guī)律的表達式完全相同，因而用兩種觀點計算所得的具體結果也完全一樣.從這個意義上說，這兩種觀點是等效的.在處理實際問題時，不同場合下靈活運用磁荷觀點和分子電流觀點，可以大大簡化計算[2,3]，而所得結果是客觀的，不依賴于采用哪種觀點.

1 有限長永磁棒軸線上的磁場分布

1.1 軸向均勻磁化

永磁棒沿軸向均勻磁化，磁化強度矢量為M，磁化電流分布在永磁棒表面，其面密度為

i′=M×en

(1)

磁化電流等效為如圖3所示的通電螺線管，永磁棒的磁感應強度完全由磁化電流產生.設水平向右為正方向，圖中P點(P點可位于永磁棒內外軸線上)處的磁感應強度的大小為

圖3 磁化電流形成的通電螺線管

將式(1)代入，并考慮方向，得永磁棒軸線上的磁感應強度為

(2)

永磁棒軸線上的磁場強度可由H=B/μ0-M計算得到

(3)

1.2 橫向均勻磁化

設圓柱型永磁棒長度為2L，半徑為R，選圓柱體中點為坐標原點，磁化強度矢量M沿x軸正方向.我們用磁荷觀點來分析該永磁棒軸線上的磁場.永磁棒內的磁極化強度矢量為

J=μ0M=μ0Mex

(4)

永磁棒內磁荷體密度為0，磁荷只分布在圓柱體表面，其面密度為

σm=J·en=Jcosθ

(5)

其中θ為永磁棒表面一點的法向方向與永磁棒磁化強度矢量之間的夾角，即永磁棒表面上一點在xy平面內與x軸的夾角，如圖4所示.式(5)表明，永磁棒表面的磁化電荷面密度σm在z軸方向上是均勻分布的.

圖4 永磁棒表面的磁荷分布圖

如圖5所示，將永磁棒切分為許多個高度為dl的薄圓盤，并繼續(xù)將薄圓盤切分為許多個頂角角度為dθ的三棱柱，其磁化電荷量為

圖5 微分法示意圖

dqm=σmRdθdl=JRcosθdθdl

該三棱柱在軸上距離圓盤l處Q點產生的磁場強度沿x、y、z軸方向的分量分別為：

設軸線上Q點的坐標為(0,0,z)，積分得

進一步考慮式(4)，得

(6)

即永磁棒軸線上的磁場強度方向與永磁棒的磁化強度矢量方向相反.

永磁棒軸線上的磁感應強度可由B=μ0H+J計算得到

(7)

由式(7)知，在永磁棒外部，軸線上的磁感應強度方向相反.在永磁棒內部，軸線上磁感應強度方向與磁化強度方向相同，在永磁棒外則相反.

1.3 一般情況

我們已經得到了軸向均勻磁化和橫向均勻磁化的有限長永磁棒內外軸線上的磁場分布.如果永磁棒的磁化方向既不是軸向，也不是橫向，我們可以將其磁化強度矢量沿軸向和橫向分解，然后將軸向分量和橫向分量各自激發(fā)的磁場疊加起來，即得沿任意方向均勻磁化的永磁棒在軸線上的磁場分布.

將1.1節(jié)里的β1和β2用1.2節(jié)里的物理量L，R和z表示

代入式(2)和(3)，將軸向均勻磁化永磁棒軸線上的磁感應強度及永磁棒內外軸線上的磁場強度表示為

(8)

(9)

其中式(9)的上、下式分別代表永磁棒內、外軸線上的磁場強度.

如圖6所示，設一般情況下永磁棒的磁化方向與其軸的夾角為φ.以永磁棒的軸為z軸，以橫向磁化方向為x軸正方向，可得永磁棒磁化強度矢量的橫向和軸向分量分別為

圖6 永磁棒沿任意方向磁化

Mx=Msinφex

(10)

Mz=Mcosφez

(11)

將其分別代入式(6)、式(7)、式(8)、式(9)，并將得到的磁感應強度或磁場強度重新組合，可得沿任意方向均勻磁化的永磁棒軸線上的磁場為

2 無限長永磁棒在全空間中的磁場分布

2.1 軸向均勻磁化

令式(2)中β2=0，β1=π，并依據磁場的環(huán)路定理，可得無限長永磁棒軸向均勻磁化時軸線上的磁感應強度和磁場強度分別為

H=0 (棒內外)

(12)

(13)

即無限長永磁棒沿軸線均勻磁化時，其內部磁感應強度是均勻的，外部磁感應強度為零，磁場強度在全空間均為零.

2.2 橫向均勻磁化

如圖7所示，假設存在兩根均勻帶等量異號磁荷的永磁棒，圓心間的距離為dx.永磁棒的磁荷體密度各自為±ρm.重疊部分可視為無磁荷，下面求這種組合體的磁荷面密度分布.

圖7 均勻永磁棒磁荷疊加示意圖

取如圖7所示的一塊頂角為dθ的三棱柱，則三棱柱在兩圓柱間的部分可視為底面積為dS，高為dr的四棱柱，其所帶的磁荷為：dqm=ρmdSdr，又由dr=dxcosθ，可得該處磁荷面密度為

與式(5)對比可知，當ρmdx=J時，兩根均勻帶等量異號磁荷的無限長永磁棒疊加后的磁荷分布與橫向均勻磁化的無限長永磁棒的磁荷分布一致，從而這兩種模型產生的磁場也一致.

如圖8所示，P點與帶正、負磁荷的永磁棒的軸線距離分別為r+和r-，則該處的磁勢為

因為r-=r++dr，且dr<

考慮到dr=dxcosθ，r+≈r，ρmdx=J，于是有

由磁勢可求得永磁棒外距軸線r處的磁場強度為

磁感應強度為

圖9 P點在永磁棒內部

磁感應強度為

這表明，橫向均勻磁化的無限長永磁棒內任意一點的H和B都相同，均勻分布，且與棒的半徑無關.在軸線上，直接令式(6)和式(7)中的L→∞會得到相同的結果.

綜上可得，無限長永磁棒沿橫向均勻磁化時，距其軸線距離為r，且與磁化強度M夾角為θ處的磁場強度和磁感應強度分別為

(14)

(15)

2.3 一般情況

無限長永磁棒沿任一方向均勻磁化時，與1.3節(jié)一樣，我們將其磁化強度矢量沿軸向和橫向分解，如圖6所示.軸向磁化分量激發(fā)的磁場由式(12)、式(13)給出，橫向磁化分量激發(fā)的磁場由式(14)、式(15)給出，兩者的合成給出永磁棒內外的總的磁場分布.

將式(10)、式(11)代入式(12)、式(13)、式(14)、式(15)，并將得到的磁場合成，得無限長永磁棒沿任一方向均勻磁化時在全空間的磁場分布為

(16)

(17)

其中：ex=cosθer-sinθeθ.由式(16)和式(17)可知，沿任一方向均勻磁化的永磁棒，其內部磁場強度和磁感應強度都是均勻的，且與永磁棒的半徑無關，外部的磁場強度和磁感應強度均只與磁化強度的橫向分量有關，與軸向分量無關.

3 結語

本文分別計算了沿軸向和橫向均勻磁化的有限長永磁棒軸線上的磁場分布，以及沿軸向和橫向均勻磁化的無限長永磁棒在全空間的磁場分布，并利用疊加原理，給出了沿任意方向均勻磁化的有限長永磁棒在軸線上的磁場以及無限長永磁棒在全空間的磁場.