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        一維非定常流體力學(xué)數(shù)值模擬

        2022-04-08 06:17:16付智豪
        大學(xué)物理 2022年4期
        關(guān)鍵詞:物理量激波流體

        付智豪,余 聰

        (中山大學(xué) 物理與天文學(xué)院,廣東 珠海 519082)

        數(shù)值模擬在天體流體力學(xué)中具有重要意義,傳統(tǒng)的計(jì)算流體力學(xué)(Computational Fluid Dynamics,CFD)包括有限差分法和有限體積法等,而后又發(fā)展了諸如格子玻耳茲曼 (lattice Boltzmann method,LBM)和離散玻耳茲曼(discrete Boltzmann method,DBM)等計(jì)算方法[1-10].Riemann問題是CFD中的基本問題,即解決初始間斷下物理量的演化過程.此類方法除了可以有效的處理間斷解,也能自洽的求解待求區(qū)域內(nèi)光滑變化的物理量,十分適合研究具有復(fù)雜空間結(jié)構(gòu)和時(shí)間結(jié)構(gòu)的流場(chǎng).對(duì)于激波管內(nèi)的Riemann問題,可求解出其理論解,但缺點(diǎn)是在復(fù)雜的初始條件下,模擬常常需要耗費(fèi)大量的時(shí)間.在實(shí)際研究中,人們常常無法求得理論解析解,這時(shí)可以采用近似解的方法代替理論解.Roe通量差分裂格式作為CFD中最廣泛使用的格式[2],適用性較廣,且精度較高,可以此研究不同初始條件下問題解的情況.本文僅考慮理想情況下的流體,從一維Euler方程出發(fā),推導(dǎo)了Riemann問題下速度、密度及壓力的理論解,然后介紹了Roe通量差分裂格式及算法,以Sod、Lax及Shu-Osher激波管為算例檢驗(yàn)算法的有效性,并在最后介紹了拓展至高維流體運(yùn)動(dòng)的方法.

        1 理論解

        1.1 控制方程

        流體的運(yùn)動(dòng)十分復(fù)雜,但此處僅考慮無黏性的理想流體運(yùn)動(dòng),且為了簡(jiǎn)化問題只考慮一維情況,于是可采用守恒型的一維Euler方程進(jìn)行描述[1]:

        (1)

        1.2 Riemann問題的解

        在求解方程組(1)時(shí),如果設(shè)置密度、速度和壓強(qiáng)的初值為間斷型條件,那么流體物理量的演化會(huì)出現(xiàn)激波、稀疏波和接觸間斷的現(xiàn)象,此類問題便稱為Riemann問題.如圓柱管內(nèi)有一薄膜,當(dāng)兩側(cè)壓強(qiáng)差大到使其破裂,會(huì)形成沖向一側(cè)的激波,同時(shí)在另一側(cè)形成膨脹的稀疏波,二者間存在一個(gè)接觸間斷區(qū).激波即密度、壓強(qiáng)和速度在波陣面上發(fā)生突變的壓縮波.

        Riemann問題是CFD中的核心問題之一,求出其精確解對(duì)解決流體運(yùn)動(dòng)具有重大意義.有限體積法便是將計(jì)算區(qū)域劃分為若干個(gè)區(qū)域,將每個(gè)小塊的邊界當(dāng)作間斷面,進(jìn)行Riemann問題近似求解,最終合并區(qū)域得到整個(gè)流場(chǎng)的運(yùn)動(dòng).對(duì)于不同的初始條件,其解可分為5種情況[4]:1) 左激波+接觸間斷+右激波;2) 左稀疏波+接觸間斷+右激波;3) 左激波+接觸間斷+右稀疏波;4) 左稀疏波+接觸間斷+右稀疏波;5) 左稀疏波+真空區(qū)域+右稀疏波.

        以情況2為例,對(duì)應(yīng)于管內(nèi)薄膜破裂,圖1給出解的x~t圖.Ⅰ和Ⅱ區(qū)為未受擾動(dòng)區(qū)域,分別對(duì)應(yīng)稀疏波波前區(qū)域和激波波前區(qū)域,滿足初始條件.Ⅲ區(qū)對(duì)應(yīng)于稀疏波過后的波后區(qū)域,Ⅳ區(qū)對(duì)應(yīng)于激波過后的波后區(qū)域,3條實(shí)線間的Ⅴ區(qū)對(duì)應(yīng)于稀疏波區(qū)域.其中在Ⅲ區(qū)和Ⅳ間的虛線表示接觸間斷,Ⅳ區(qū)和Ⅱ間的實(shí)線表示激波間斷.

        圖1 左稀疏波+接觸間斷+右激波

        1.3 數(shù)學(xué)解釋

        若將式(1)改寫為擬線性形式[4]:

        (2)

        A(U)=L-1ΛL

        (3)

        (4)

        1.4 等熵流動(dòng)

        (5)

        若流體運(yùn)動(dòng)無黏性且滿足絕熱條件,即等熵流動(dòng)[4],能量方程可用

        (6)

        代替.γ為絕熱指數(shù),于是由式(5)得

        (7)

        其中u為流體的運(yùn)動(dòng)速度,c為聲速.第1式為描述特征線的方程,第2式為特征線上的不變量,又稱Riemann不變量,上下標(biāo)分別對(duì)應(yīng)向右傳播和向左傳播.

        1.5 激波間斷

        實(shí)際上的激波具有厚度,但數(shù)值僅是氣體分子自由程的數(shù)倍,故數(shù)學(xué)上可近似處理成為間斷.考慮流體積分形式的守恒型方程,設(shè)激波從左往右運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)速度為Z,左側(cè)物理量為(u1,p1,ρ1),右側(cè)物理量為(u2,p2,ρ2),則間斷處滿足Rankine-Hugoniot(激波)跳躍關(guān)系式,簡(jiǎn)稱R-H關(guān)系式[4].

        (8)

        1.6 具體求解

        (9)

        (10)

        于是激波、稀疏波前后速度-壓力關(guān)系可寫成統(tǒng)一形式:

        (11)

        其中下標(biāo)i對(duì)應(yīng)波前區(qū)域的物理量.式(9)、式(10)相加得

        u1-u2=f(p0,p1,ρ1)+f(p0,p2,ρ2)=F(p0)

        (12)

        若p1>p2,當(dāng)p0>p1時(shí),中間區(qū)域壓力大于兩側(cè),說明兩側(cè)均為激波,對(duì)應(yīng)情況1;當(dāng)p1>p0>p2,中間壓力比右側(cè)大比左側(cè)小,說明右側(cè)形成激波,左側(cè)形成稀疏波,對(duì)應(yīng)情況2;當(dāng)p2>p0,中間壓力比兩側(cè)都小,說明兩側(cè)均為稀疏波,對(duì)應(yīng)情況4;當(dāng)p0≤0,由于實(shí)際上壓力不能小于零,故為真空區(qū),對(duì)應(yīng)情況5.若p1

        圖2畫出了F(p)隨p的變化關(guān)系,可見其為單調(diào)遞增函數(shù),于是p之間的大小關(guān)系等價(jià)于F(p)之間的大小關(guān)系.故流體的演化情況,也可先求出F(p1)、F(p2),再與F(p0)=u1-u2比較進(jìn)行判斷.

        圖2 (1,0,1)和(0.125,0,0.1)初始條件下F(p)與p的關(guān)系

        由式(12)求解出中心區(qū)壓力p0后,代回式(9)或式(10)可求解出中心區(qū)速度u0.于是激波后區(qū)域內(nèi)的密度為

        (13)

        激波間斷的速度為

        (14)

        稀疏波后區(qū)域內(nèi)的密度,由絕熱過程公式可得

        (15)

        波頭速度及波尾速度為

        (16)

        (17)

        (18)

        (19)

        (20)

        2 Roe通量差分裂格式

        Riemann問題雖然具有解析解,但實(shí)際運(yùn)用中計(jì)算量較大,處理問題效果不是很好.若采取近似解的方法,不僅能夠精確描述流體運(yùn)動(dòng),編程效率也能大大提高,下文便介紹近似解的Roe方法.

        2.1 方程差分化

        編程算法上采用有限體積法,對(duì)式(1)空間導(dǎo)數(shù)部分采取一階差分[8]:

        (21)

        (22)

        (23)

        2.2 基本原理

        2.3 Roe格式

        Roe給出了常矩陣構(gòu)造方法[2],先由左右點(diǎn)值求得平均值:

        (24)

        (25)

        (26)

        (27)

        (28)

        2.4 熵修正

        (29)

        ε為設(shè)置參數(shù),在此取為10-7.

        3 數(shù)值算例

        為了檢驗(yàn)Roe算法的有效性,對(duì)以下經(jīng)典算例進(jìn)行了數(shù)值模擬,計(jì)算與畫圖均采用Matlab語言[8].

        3.1 Sod激波管

        Sod激波管,由兩個(gè)不連續(xù)分隔的恒定狀態(tài)組成,屬于經(jīng)典的Riemann問題[3,9].圖3展示了Roe格式下的數(shù)值解,并以理論解檢驗(yàn)算法精度.發(fā)現(xiàn)其數(shù)值解與理論解值相符,但在間斷區(qū)域內(nèi)過渡平滑,這是由于算法精度不夠高導(dǎo)致的.

        圖3 Sod激波管

        如圖3所示,位于x=0.18的物理量均存在著一個(gè)突變,這對(duì)應(yīng)于一個(gè)向右傳播的激波.在與激波運(yùn)動(dòng)相反的方向,由于右側(cè)分子的減少,流體向外膨脹,形成了一個(gè)向左傳播的稀疏波.-0.12

        3.2 Lax激波管

        同Sod激波管一樣,也是由兩個(gè)不連續(xù)分隔的恒定狀態(tài)組成,但初始條件不同.圖4展示了Roe格式下的數(shù)值解,并以理論解檢驗(yàn)算法精度.其數(shù)值解與理論解相符,間斷處的過渡是由于算法精度所限.

        圖4 Lax激波管

        3.3 Shu-Osher激波管

        該問題能夠很好地測(cè)試算法捕捉平滑流動(dòng)下激波相互作用的能力.初始條件是一個(gè)強(qiáng)激波,初始位置在x=-0.4,傳播到密度呈正弦變化的背景介質(zhì)中.圖5展示了用Roe格式求解出的密度、速度和壓強(qiáng)的位置分布,其中密度的位置分布與文獻(xiàn)[9]中求解出的趨勢(shì)一致,說明Roe格式算法具有較強(qiáng)的適用范圍.

        圖5 Shu-Osher激波管

        4 高維拓展

        對(duì)于高維情況,只需對(duì)Euler方程進(jìn)行改寫,然后采用相應(yīng)的Roe通量差分裂格式[9]及差分化方程,便可進(jìn)行高維流體模擬計(jì)算.如3維Euler方程可寫為

        (30)

        則擬線性形式為

        (31)

        對(duì)于x方向,有

        (32)

        當(dāng)w=0時(shí),方程對(duì)應(yīng)于2維流體模擬;當(dāng)v=w=0時(shí),方程對(duì)應(yīng)于1維流體模擬.

        5 結(jié)束語

        非線性的流體偏微分方程中間斷解是物理中十分具有挑戰(zhàn)的問題,能夠?qū)げň?xì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行有效追蹤和捕捉的算法是當(dāng)前流體力學(xué)的熱點(diǎn)之一.本文從一維Euler方程推導(dǎo)出其Riemann理論解,揭示了流體內(nèi)的激波、稀疏波和接觸間斷等現(xiàn)象物理本質(zhì).為了進(jìn)一步描述不同情況下的流體運(yùn)動(dòng),文章采用了Roe格式,再次對(duì)Riemann問題求解,以檢驗(yàn)其有效性.通過比較,發(fā)現(xiàn)一維下Roe格式與理論解符合度較高,能很好地描述激波管內(nèi)物理量的演化過程.由此認(rèn)為Roe格式是很好的近似解,繼而將該格式拓展至2維和3維形式.而且Roe格式的簡(jiǎn)單形式使得其不僅能解決非定常的Euler方程,在考慮磁場(chǎng)效應(yīng)后,通過對(duì)方程的改寫,也能輕易的拓展到磁流體動(dòng)力學(xué)的計(jì)算[9].而且采用更高精度的激波捕捉格式,如TVD、MUSCL和WENO等[3,4],Roe格式求解與理論解幾乎無異.正是因?yàn)镽oe格式在求解流體動(dòng)力學(xué)性質(zhì)上的優(yōu)越性,使得其成為當(dāng)前天體物理應(yīng)用數(shù)值方法的主流方法.

        本文僅考慮了理想狀態(tài)下的流體運(yùn)動(dòng),但實(shí)際中,由于微觀粒子的復(fù)雜相互作用,在宏觀上存在著不同相與組分的離子界面,比熱、黏性系數(shù)、熱傳導(dǎo)率等不再保持為常量,基本平衡方程不再滿足,出現(xiàn)了非平衡的動(dòng)力學(xué)及熱力學(xué)效應(yīng).采用NS和Euler建模在解決上述問題時(shí)存在一定的局限性,但近來發(fā)展的DBM方法從多尺度建模,不僅提高了對(duì)激波精細(xì)結(jié)構(gòu)的描述,而且在深度和廣度上都超越了原有建模[11].

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