黃明煊，陸愛江

(1. 東華大學(xué) 物理1801班，上海 201620；2. 東華大學(xué) 應(yīng)用物理系，上海 201620)

當(dāng)一個旋轉(zhuǎn)球體的角速度矢量與物體質(zhì)心速度矢量不重合時，在與角速度矢量和平動速度矢量組成的平面相垂直的方向上將產(chǎn)生一個橫向力，這個橫向力即為Magnus力.在Magnus力作用下旋轉(zhuǎn)物體的運(yùn)動軌跡發(fā)生偏轉(zhuǎn)的現(xiàn)象稱為Magnus效應(yīng)[1].Magnus效應(yīng)由德國科學(xué)家Heinrich Magnus于1852年提出.但事實(shí)上，早在1672年，牛頓在觀看劍橋?qū)W院網(wǎng)球比賽后便描述和推斷了這種現(xiàn)象的發(fā)生.1742年，英國的槍炮工程師Benjamin Robins解釋了Magnus效應(yīng)引起的步槍彈丸的飛行偏差.但是對該效應(yīng)的細(xì)致深入研究始于Magnus本人.

Magnus力的產(chǎn)生，是旋轉(zhuǎn)體在黏性流體中運(yùn)動的結(jié)果.如圖1所示，球體旋轉(zhuǎn)時表面速度不同,從而造成附近區(qū)域流體流速不同.根據(jù)伯努利原理，流速越大處壓強(qiáng)越小，因此黏性流體對旋轉(zhuǎn)體會產(chǎn)生一個垂直于角速度ω和質(zhì)心速度v的壓力差，即為Magnus力.

圖1 Magnus力示意圖

基礎(chǔ)課程“力學(xué)”中研究的拋射體問題往往忽略空氣阻力也不考慮Magnus力，更多地適用于質(zhì)點(diǎn)模型，而與現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際情況存在巨大差距.尤其是在球類運(yùn)動中，Magnus力往往是形成各種“曲線球”的根源，并且對球的射高和射程有一定影響，因此，研究Magnus力在小球運(yùn)動中的作用尤其具有實(shí)際意義.本文以足球和乒乓球?yàn)槔?，研究Magnus力對球類運(yùn)動軌跡的影響.

1 空中運(yùn)動小球受力情況分析.

如圖2所示，空中的小球斜向上運(yùn)動，受到重力作用的同時也受到與速度方向相反的空氣阻力作用.小球質(zhì)量為m，速度為v.

圖2 小球受力分析圖

情況1：如圖3(a)所示，若ω垂直于Oxy平面(沿z方向)，則Magnus力方向在Oxy平面內(nèi)，可將它分解到x、y方向上，它對球x、y方向的運(yùn)動都會產(chǎn)生一定影響.

情況2：如圖3(b)所示，若ω在Oxy平面內(nèi)，Oxy平面內(nèi)的速度分量產(chǎn)生z方向的Magnus力，記為FMagnus1.此時，z方向速度會產(chǎn)生Oxy平面內(nèi)的Magnus力，記為FMagnus2，總的Magnus力為FMagnus1和FMagnus2的矢量疊加，這種情況下的Magnus力對x、y、z方向的位移都有影響.

情況1

情況3：如圖3(c)所示，ω的方向可分解為在Oxy平面內(nèi)的分量和垂直于Oxy平面(z方向)的分量，因此得到的Magnus力沿x、y、z3個方向的分量均不為零.

2 運(yùn)動方程的建立

首先考慮質(zhì)心的運(yùn)動.小球在Oxy平面內(nèi)飛行(與重力加速度g確定的平面)，在直角坐標(biāo)系中表示小球質(zhì)心運(yùn)動的方程如下：

(1)

t為時間坐標(biāo).相應(yīng)數(shù)值求解的遞推關(guān)系式為

(2)

Δt為所選時間步長.

考慮Magnus力，針對以上3種不同方向的Magnus力，分別建立其運(yùn)動方程如下：

針對情況1，列出小球運(yùn)動方程為

(3)

針對情況2，小球運(yùn)動方程應(yīng)為

(4)

對于情況3，則可以通過給定任意方向的角速度ω加以研究，其作用效果可等效為情況1、2的疊加.

3 運(yùn)動方程的求解

通過數(shù)值求解運(yùn)動方程，我們系統(tǒng)研究了Magnus力對球類運(yùn)動軌跡的影響.課程中我們選取同學(xué)們比較感興趣的內(nèi)容——足球作為我們的研究對象.取時間步長Δt=0.25s，總時長t=5 s，即20個時間間隔.取足球平均球速為40 m/s，直徑為0.22 m，質(zhì)量為0.4 kg，射出角θ設(shè)為60°,分別作：ω=0時，ω=4 rad/s且沿z方向時，ω=4 rad/s且在Oxy平面內(nèi)與x軸正向夾角120°時的運(yùn)動曲線如圖4(a)所示.坐標(biāo)軸如圖3中所示.

我們發(fā)現(xiàn)，旋轉(zhuǎn)的小球其射高和射程都發(fā)生了改變.當(dāng)ω沿z方向，其射高減小，射程增加；而當(dāng)ω在Oxy平面內(nèi)時，小球沿z方向發(fā)生明顯位移，同時z方向的速度也會使x、y方向有偏移.這一結(jié)果與我們平時看到球賽中的弧線球等情況完全一致.所以我們有理由相信，足球技術(shù)動作中控制足球的轉(zhuǎn)速是一個非常重要的方面.

研究過程中有同學(xué)提出：乒乓球因其自身質(zhì)量很小，Magnus力的效應(yīng)是不是比足球更為顯著？真是一個好問題.那么我們就來看看乒乓球的情況吧！取時間步長Δt=0.025s，模擬總運(yùn)動時長t=0.5 s，乒乓球球速為5 m/s，直徑為4 cm，質(zhì)量為2.7 g，射出角θ為30°,分別作：ω=0時，ω=4 rad/s且沿z方向時，ω=4 rad/s且在Oxy平面內(nèi)與x軸正向夾角120°時的運(yùn)動曲線如圖4(b)所示.同樣地，旋轉(zhuǎn)的乒乓球其射高和射程都發(fā)生了改變.當(dāng)ω沿z方向，其射高減小，射程增加，即所謂的“下旋”；而當(dāng)ω在Oxy平面內(nèi)時，小球沿z方向發(fā)生明顯位移，即所謂“削球”,造成乒乓球運(yùn)動路線的偏移.

足球運(yùn)動軌跡

為了方便比較Magnus力對小球射程、射高、偏移量的影響，我們將計算出的足球和乒乓球射程、射高、偏移量列于表1.由表1可知，ω在Oxy平面內(nèi)時所產(chǎn)生的z方向的Magnus力會使球在z方向偏移，這是造成球類弧線運(yùn)動的主要原因.

表1 足球和乒乓球沿3個方向的最大射程

ω沿z方向時會產(chǎn)生Oxy平面內(nèi)的Magnus力，可將其分解到x、y軸上，對x、y方向位移產(chǎn)生影響.且若Magnus力使x方向位移增大，則y方向位移一定減小，反之亦然.由圖3可看出，此時質(zhì)心速度在一、三象限，由于Magnus力垂直于質(zhì)心速度，Oxy平面內(nèi)的Magnus力只可能處于二、四象限，因此Magnus力對x、y位移的改變趨勢相反.但實(shí)際過程中，由于地面和球臺高度有限，盡管Oxy平面內(nèi)的Magnus力理論上在減小y方向位移的同時會增大x方向位移，但y方向最大高度的減小會使運(yùn)動時間變短，反而會導(dǎo)致x方向位移減小，如圖4(b)所示，曲線y<0的部分往往是不能實(shí)現(xiàn)的.

4 結(jié)論

實(shí)際過程中球類的運(yùn)動是很復(fù)雜的，除了我們考慮到的速度、角速度、球的直徑和質(zhì)量之外，還受球表面粗糙度、空氣流速、環(huán)境溫濕度等多個因素影響,想要準(zhǔn)確的描述球類的運(yùn)動軌跡是很困難的.本文旨在模擬影響球類軌跡，尤其是弧線軌跡的一個很主要的因素——Magnus效應(yīng).通過對Magnus力的可能情況分析，可以解釋球類比賽中很多奇特的“曲線球”現(xiàn)象.

足球中的“香蕉球”和“枯葉球”就是對Magnus效應(yīng)很好的應(yīng)用.香蕉球是指球在向前飛行的同時還會向一側(cè)偏轉(zhuǎn)的現(xiàn)象.這是水平方向Magnus力作用的結(jié)果.給球一個在Oxy平面內(nèi)的角速度，會使得球在z方向發(fā)生偏轉(zhuǎn)，出現(xiàn)斜向的弧線.枯葉球是指踢出的球當(dāng)靠近球門時會突然下沉，就如一片枯葉從樹上落下.其原理是給球一個在水平方向的角速度(即：使球向前旋進(jìn))，會使前進(jìn)方向位移發(fā)生變化，在初速度很大的情況下可能發(fā)生急墜現(xiàn)象.

在乒乓球運(yùn)動中，擊球時球拍與球發(fā)生摩擦，造成“旋球”，其旋轉(zhuǎn)種類分為：上旋、下旋、左側(cè)旋、右側(cè)旋、順旋、逆旋六種，實(shí)際就是ω分別沿x、y、z三個軸正或負(fù)方向旋轉(zhuǎn)的情況，同時不同軸間角速度還可以任意組合，形成多樣的小球運(yùn)動方式.