李雷軍 張碧川 高宇翔 韓 沁 陳潤霖

（①陜西陜煤曹家灘礦業(yè)有限公司，陜西 榆林 719000；②西安理工大學機械與精密儀器工程學院，陜西 西安 710048；③維諦技術(西安)有限公司，陜西 西安 710075）

滾動軸承作為旋轉機械的重要連接和支承部件，是整個系統中承受磨損最密集的元件之一[1-3]，其使用性能制約著機械設備的生產效率和使用壽命[4]。在惡劣工況條件下軸承的滾道和滾動體易產生局部缺陷，缺陷經過一段時間的發(fā)展形成點蝕失效[5-7]，引起大型設備停機或事故，常常帶來很大的經濟損失，因此需要分析滾動軸承存在缺陷時的性能，特別是與轉子系統安全運行相關的剛度特性。McFadden P D 等[8]建立了缺陷軸承的振動模型，分析了缺陷對軸承振動特性變化規(guī)律的影響。Feng N S 等[9]分析了內外圈缺陷對軸承動力學特性的影響規(guī)律。Jiang Y N 等[10]分析了滾動體通過不同缺陷時接觸力的變化情況。Nakhaeinejad M 等[11]指出缺陷的加深會加劇軸承的沖擊響應。涂文兵等[12-13]分析了變速工況下游隙等因素對軸承動態(tài)載荷特性的影響，并且分析了缺陷大小不相同時對軸承接觸變形和內部接觸動態(tài)特性的影響規(guī)律。陳潤霖等[14]建立了軸承存在游隙的剛度模型，分析了不同游隙對軸承剛度的影響規(guī)律。Petersen D 等[15-16]建立了考慮外滾道缺陷的時變剛度模型，分析了缺陷對剛度的影響。徐永智等[17]分析了內滾道損傷直徑對軸承振動性能的影響規(guī)律。王凱等[18]分析了不同工況下復合故障對軸承振動響應的影響規(guī)律。文獻[19-20]根據缺陷產生的機理，建立了缺陷軸承的動力學模型。

國內外針對帶有滾道缺陷的滾動軸承性能研究較多，但是對于時變剛度的研究不多。當存在缺陷時，滾動軸承的剛度時變特性會更加明顯，也是軸承轉子系統產生振動沖擊的機理之一。本文根據赫茲接觸理論分析缺陷軸承內部的載荷分布，建立軸承內滾道存在局部缺陷的時變剛度模型，分析內滾道旋轉時，缺陷長度和深度對軸承剛度特性的影響規(guī)律。相關研究結果和計算數據可用于故障軸承轉子系統的動力學計算，并為軸承早期故障的判別提供數據支持。

1 內滾道存在缺陷的滾動軸承剛度模型

1.1 建立內圈滾道缺陷模型

本文針對軸承內滾道存在局部缺陷的情況進行分析，由于滾動軸承內圈與主軸連接并隨主軸轉動而旋轉，因此滾動軸承缺陷位于軸承內滾道時，其位置角隨內圈轉動呈周期變化。當內滾道存在較小缺陷，即缺陷深度Hb大于缺陷引起的最大附加位移Hmax，滾動體不與內圈缺陷底部接觸，為便于對軸承性能進行分析，忽略滾動體的轉動慣量，建立如圖1 所示的缺陷模型。

圖1 滾動體通過較小缺陷點時的位移分析

當缺陷深度Hb小于缺陷引起的最大附加位移Hmax，或缺陷長度Lb大于滾動體直徑Dw，滾動體通過缺陷區(qū)時與缺陷的底部接觸旋轉，附加位移Hf在一段時間內不再改變，均等于最大附加位移Hmax，此時最大附加位移Hmax的大小等于軸承的缺陷深度Hb，滾動體公轉進入缺陷區(qū)和離開缺陷區(qū)，僅與缺陷區(qū)域的兩端接觸。為了簡化分析過程，不考慮缺陷表面粗糙度對軸承接觸剛度的影響，假設缺陷表面為光滑表面，建立如圖2 所示的缺陷模型。

圖2 滾動體通過較大缺陷點時的位移分析

圖1～2 中，Hf為滾動體進入缺陷區(qū)到離開缺陷區(qū)期間產生的附加位移，θb為軸承的缺陷角，θin為進入缺陷區(qū)到產生最大附加位移點之間的夾角，da為內圈滾道直徑，Dw為滾動體直徑。

通過較小缺陷時，滾動體與缺陷兩端接觸的最大附加位移Hmax為：

缺陷角θb的大小與缺陷的長度Lb和內圈滾道直徑da有關，可根據三角函數關系推導得出：

滾動體公轉時進入和離開缺陷區(qū)期間產生的附加位移Hf可表示為：

式中：γ是以滾動軸承中心為軸心，滾動體與缺陷起點間的夾角， γ=mod(ψi，2π)-ψb0。

通過較大缺陷時，可由式（2）推導得到軸承內圈的缺陷進入角：

根據式（3）可以得到滾動體公轉進入和離開較大缺陷區(qū)期間產生的附加位移Hf：

1.2 內滾道存在缺陷的軸承力學分析

建立軸承內滾道存在缺陷的力學模型如圖3 所示，圖3 中ψb0為軸承缺陷起始點與豎直方向的夾角，即缺陷位置角；θ為滾動體公轉角度；ψi為第i個滾動體與軸承軸心在豎直方向上的夾角；ω為軸承內圈的轉動角速度；Fr為徑向載荷，Fψli和Fψri分別為左右兩側滾動體的法向載荷。

圖3 滾道有缺陷的軸承力學模型

當滾動體經過缺陷處且軸承存在游隙Gr時，軸承缺陷處的彈性形變?yōu)椋?/p>

軸承缺陷處的滾動體承載為：

徑向載荷作用下，承載區(qū)各滾動體所受載荷的豎直分量之和與徑向載荷保持平衡：

迭代求解最大滾動體載荷Fmax,當第n次迭代-Fmax≤ε 時，迭代結束。將此時的代入式（9）可得到各滾動體上承載Fψi。

式中：T為載荷分布參數，T=(1-Gr/(2δmax+Gr))/2。

為了更直觀地對模型進行求解，繪制如圖4 所示流程圖。

圖4 迭代求解最大滾動體載荷

1.3 剛度模型

缺陷軸承在徑向載荷作用下的剛度為：

式中：δψli和δψri分別為左右兩側滾動體的法向彈性變形。

平均剛度的計算參考文獻[14]中的公式：

式中：Kt表示滾動體每個公轉角度的剛度；n表示滾動體公轉角度的數據總數。

2 滾道缺陷對軸承剛度時變的影響

2.1 軸承參數

本文以深溝球軸承6008 為案例軸承，其結構參數如表1 所示。

表1 深溝球軸承6 008 具體參數

案例軸承的最大承載角應滿足(-ψmax，ψmax)，可根據式（12）計算：

2.2 內滾道缺陷對剛度的時變特性分析

2.2.1 缺陷長度

徑向載荷1 000 N 作用下，當徑向游隙為10 μm，軸承缺陷深度為10 μm，缺陷長度分別為2 mm，6 mm，9 mm 時[21]，軸承剛度時變特性的影響規(guī)律如圖5 所示。從圖5 可以看出，當滾動體經過內滾道缺陷區(qū)域，軸承剛度減小，且軸承剛度減小的區(qū)域隨著軸承內滾道缺陷長度的增大逐漸增大。

圖5 軸承內滾道缺陷長度對時變剛度的影響

內滾道缺陷長度對軸承平均剛度的影響規(guī)律如圖6 所示。隨著軸承內滾道缺陷長度的不斷增大，缺陷軸承的平均剛度整體呈減小趨勢。當缺陷位于承載區(qū)時，隨著軸承內圈的轉動，軸承的平均剛度先減小后增大；缺陷位于非承載區(qū)時，缺陷對軸承平均剛度無影響。

圖6 軸承內滾道缺陷長度對平均剛度的影響

2.2.2 缺陷深度

徑向載荷1 000 N 作用下，當徑向游隙為10 μm，軸承內滾道缺陷長度為5 mm，缺陷深度分別為5 μm、10 μm和15 μm 時，對軸承剛度時變特性的影響規(guī)律如圖7 所示。隨著軸承內滾道上缺陷深度增大，缺陷處的軸承時變剛度減小幅度逐漸增大。

圖7 軸承內滾道缺陷深度對時變剛度的影響

內滾道缺陷深度對軸承平均剛度的影響規(guī)律如圖8 所示。隨著軸承內滾道上缺陷深度的增大，軸承的平均剛度整體呈減小趨勢，且平均剛度最小值所對應的缺陷位置角越來越靠近載荷方向的位置。

圖8 軸承內滾道缺陷深度對平均剛度的影響

3 結語

（1）將內滾道缺陷所產生的附加位移加到缺陷軸承的彈性形變中，并根據力學平衡方程，分析了各滾動體的載荷分布，建立了內滾道存在缺陷的深溝球軸承的時變剛度模型。

（2）分析了內滾道缺陷對軸承剛度的影響規(guī)律，當缺陷由承載區(qū)向非承載區(qū)移動時，缺陷軸承的平均剛度先減小后增大。隨著缺陷長度和深度的增大，平均剛度總體逐漸減小，且最小值對應的缺陷位置角逐漸靠近載荷方向。