龍少華 周麗娟

(重慶理工大學(xué) 理學(xué)院，重慶 400054)

1 概述

隨著人類社會的進步和現(xiàn)代控制理論不斷深入的發(fā)展，在包括航空航天、化學(xué)工程、網(wǎng)絡(luò)、電力和經(jīng)濟等在內(nèi)的諸多領(lǐng)域中，人們發(fā)現(xiàn)了廣義系統(tǒng)的許多應(yīng)用實例，如動態(tài)投入產(chǎn)出模型、紐曼模型、受限機器人模型以及核反應(yīng)堆模型等。近幾十年來,廣義系統(tǒng)一直是學(xué)術(shù)界研究的熱點領(lǐng)域[1-3]。

另一方面，時滯是自然界中廣泛存在的一種物理現(xiàn)象。從工程技術(shù)、物理、化學(xué)反應(yīng)、生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域中提出的數(shù)學(xué)模型常常帶有明顯的滯后量。例如，在遠程控制系統(tǒng)中，計算機網(wǎng)絡(luò)傳輸誘導(dǎo)的信息延遲使得系統(tǒng)經(jīng)常出現(xiàn)信息滯后現(xiàn)象。在實際工程系統(tǒng)中，由于元器件老化、測量滯后等原因，在其運行過程中也常常存在滯后現(xiàn)象。因此，時滯系統(tǒng)也一直是學(xué)術(shù)界研究的熱點領(lǐng)域[1-4]。

此外，有些實際系統(tǒng)，在描述其數(shù)學(xué)模型時，我們不僅需要考慮狀態(tài)向量的時滯，還需要考慮狀態(tài)向量的導(dǎo)向量的時滯，即時滯不僅存在于狀態(tài)向量中，還存在于狀態(tài)向量的導(dǎo)向量中。我們把這種系統(tǒng)稱為中立型系統(tǒng)。中立型系統(tǒng)是一類非常重要的時滯系統(tǒng)，它有著廣泛的應(yīng)用背景，如部分元等效電路系統(tǒng)、無損耗傳輸系統(tǒng)、熱交換器系統(tǒng)等。近幾十年來，對中立型系統(tǒng)的研究也得到了飛速的發(fā)展[5-9]。

目前，對于帶有多時滯的中立型奇異馬爾科夫跳變系統(tǒng)的隨機穩(wěn)定性的研究還不完善。

本文將對一類帶有多時滯的中立型奇異馬爾科夫跳變系統(tǒng)的隨機穩(wěn)定性進行研究。

2 準(zhǔn)備知識

在本文中，我們考慮一類多時滯的中立型奇異馬爾科夫跳變系統(tǒng)的隨機穩(wěn)定性，系統(tǒng)的模型如下：

其中z(t)是n 維列向量，代表系統(tǒng)的狀態(tài)向量。{r(t),t≥0}是右連續(xù)的馬爾科夫過程，它的狀態(tài)為有限個且假定其取值于集合χ={1,2, ,N}。此外，我們假定從狀態(tài)i 到狀態(tài)j 的轉(zhuǎn)移速率bij滿足下式：

其中bij＞0(i≠j)和bii=-bi1-bi2-...-biN。

在(1)式中，hj＞0(j∈χ)，dj＞0(j∈χ)和vj＞0(j∈χ)表示系統(tǒng)的 時 滯 且 都 是 常 數(shù)，h=max {h1,h2,...,hN}，d=max{d1,d2,...,dN}，v=max{v1,v2,...,vN}。矩陣E、Bj＞0(j∈χ)、Cj＞0(j∈χ)、Dj＞0(j∈χ)和Fj＞0(j∈χ)都是已知的n×n 矩陣。我們假定矩陣E 的秩為m。

在后面，我們將把系統(tǒng)(1)轉(zhuǎn)化成帶有時滯的的奇異馬爾科夫跳變系統(tǒng)。為了方便后面的討論，我們先給出一些有關(guān)奇異馬爾科夫跳變系統(tǒng)的定義。

定義1[3]：稱系統(tǒng)Ez′(t)=Br(t)z(t)+Cr(t)z(t-dr(t))是正則的，如果對于每一個i∈χ，都有det(sE-Bi)不恒等于0。

定義2[3]：稱系統(tǒng)Ez′(t)=Br(t)z(t)+Cr(t)z(t-dr(t))是無脈沖的，如果對于每一個i∈χ，都有deg(det(sE-Bi))=rank(E)。

定義3：稱系統(tǒng)Ez′(t)=Br(t)z(t)+Cr(t)z(t-dr(t))是隨機穩(wěn)定的，如果對于任意的初始條件(r(0),φ(·))，系統(tǒng)的解z(t)滿足

3 主要結(jié)果

在本文中，我們考慮如下情形：對于每一個i∈χ，總存在矩陣Wi和Hi分別滿足

WiE=Di和HiE=Fi。

對于系統(tǒng)(1)，我們可得如下的定理。

定理1. 給定n×n 矩陣K 滿足KE=0 和rank(K)=n-m。稱系統(tǒng)(1)是隨機穩(wěn)定的，如果存在矩陣Q1＞0，M1＞0，Y1＞0，Pi＞0(i∈χ)，U1＞0 和Si(i∈χ)滿足

其中

證明：我們首先證明系統(tǒng)(1)是正則和無脈沖的。

根據(jù)(4)式,我們可得

注意rank(E)=m＜n, 我們可以找到兩個矩陣G1和G2滿足

定義

用G1T和G1分別左乘和右乘(6)式，我們可得

注意到WiE=Di和HiE=Fi，令γ(t)=Ez′(t)，可得系統(tǒng)(1)等價于下面的系統(tǒng)：

可以看出，系統(tǒng)(8)等價于下面的系統(tǒng)：

我們利用下面的李雅普諾夫泛函來幫助我們證明上述系統(tǒng)是隨機穩(wěn)定的。

其中

由上式我們可得

注意KE=0，我們可得2[Ez′(t)]TKTSiz(t)=0，也就是

根據(jù)(10)-(11) ,我們可得

其中

注意τ＜0，由(11)可得

所以，根據(jù)定義3 可得系統(tǒng)(1)是隨機穩(wěn)定的。證畢。

4 算例

考慮系統(tǒng)(1)，假定系統(tǒng)中的參數(shù)如下：

利用Matlab 線性矩陣不等式工具箱,我們可得線性矩陣不等式(3)是可行的。這說明了系統(tǒng)(1)是正則、無脈沖且隨機穩(wěn)定的。