張 旭，張 超，李華孝楊，路 輝，2

(1.信息工程大學(xué)，鄭州 450001;2.96766部隊，河南 信陽 464000)

天文測量是通過觀測天體來確定地面點的天文坐標(biāo)或兩點間天文方位角的觀測方法，是一種可靠性高、實用性強、隱蔽性好的定位定向方法，在所有定向測量中精度最高[1]。短時間內(nèi)實現(xiàn)快速天文定向，確定地面目標(biāo)天文方位角技術(shù)在航海、野外盲測、無路徑導(dǎo)航等領(lǐng)域有諸多的應(yīng)用[2]。

天文測量正在朝智能化、快速化的方向發(fā)展。傳統(tǒng)天文觀測通過人眼獲得目標(biāo)，人儀差不可避免，使天文測量的精度和效率下降[3]。20世紀(jì)80年代CMOS(Complementary Metal-Oxide-Semiconductor)傳感器誕生之后，CMOS成像技術(shù)得到快速發(fā)展。CMOS技術(shù)引入到天文測量儀器，可實現(xiàn)自動化、智能化觀測，消除人儀差的影響，真正在短時間內(nèi)實現(xiàn)快速天文觀測。對于無窮遠處的恒星來說，短時間內(nèi)在地球上觀測到的相對角運動平均速度為15″/s，搭載CMOS傳感器的圖像全站儀具有1.5°視場角，研究短時間內(nèi)星點軌跡，預(yù)測星點下一時刻在視場中的大致位置，實現(xiàn)星圖的快速處理。

短時間內(nèi)星點軌跡的研究對快速天文測量具有重要作用。最常用的三角形星識別算法，需要對多顆星連續(xù)觀測，外推同一時刻下各恒星的方位信息，研究短時間內(nèi)星點運動可以合理把握觀測時間，建立正確外推模型[4]；此外，研究星點軌跡可預(yù)判星點在視場中的大致位置，不僅可實現(xiàn)不轉(zhuǎn)動儀器的前提下連續(xù)觀測亮星，還便于縮小星圖處理區(qū)域，快速提取星點質(zhì)心像素坐標(biāo)[5-6]。文中從幾何模型理論推導(dǎo)和實測數(shù)據(jù)最小二乘擬合兩個方面，分析短時間內(nèi)連續(xù)觀測亮星的軌跡，并給出符合最佳擬合效果的時間范圍，為精密天文測量中單顆星觀測時長提供參考。

1 圖像全站儀快速天文測量

1.1 基于CMOS圖像全站儀的天文測量

基于CMOS傳感器的圖像全站儀促進了天文測量的發(fā)展。互補金屬氧化物半導(dǎo)體(CMOS)是制造大規(guī)模集成電路芯片用的一種技術(shù)，這種技術(shù)制造出來的芯片，也被用于制作數(shù)碼影像器材的感光元件，又被稱為CMOS光電影像傳感器。相較于CCD傳感器，CMOS傳感器具有低功耗、抗輻射能力強、動態(tài)范圍大、讀出速度快、成本低、成品率高等優(yōu)點[7]。因此，提高工作效率的同時降低數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)移的風(fēng)險和工作成本，數(shù)據(jù)也可永久保存，這些優(yōu)點用于全站儀恰好能改進傳統(tǒng)天文測量儀器方面的不足[8]。

目前，CMOS傳感器在圖像全站儀精密天文測量中廣泛使用。將CMOS傳感器引入全站儀進行天文觀測，可建立相對穩(wěn)定、準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)換關(guān)系，計算時只需準(zhǔn)確客觀的轉(zhuǎn)換公式就可替代人眼觀測，避免校準(zhǔn)計算[9]；相較于傳統(tǒng)天文測量儀器，圖像全站儀有穩(wěn)定的自動轉(zhuǎn)臺，在計算機控制下，利用CMOS傳感器拍攝亮星可使兩星之間只需間隔在5 s以內(nèi)，大大提高觀測速度；另外，將CMOS傳感器引入到測量儀器中，可以短時間內(nèi)獲取恒星的圖像信息，所獲得的圖像無需打印處理可以直接在計算機上自動處理、分析、計算；基于CMOS傳感器成像方法，獲取拍照時延更加精確，可提高天文觀測的精度。發(fā)揮CMOS圖像全站儀的優(yōu)勢，可實現(xiàn)自動定位恒星和快速天文定位定向。

1.2 CMOS相機坐標(biāo)與全站儀坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換

CMOS相機內(nèi)置于全站儀，兩者固定成統(tǒng)一的剛體，但兩者之間并不完全重合，CMOS相機坐標(biāo)系(o-xcyczc)與全站儀坐標(biāo)系(O-ZYX)之間存在差異(見圖1)，在測量之前要先確定兩個坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換參數(shù)。其中包括:相機投影中心在全站儀坐標(biāo)系中的3個位置偏移量(Δx,Δy,Δz),像空間坐標(biāo)系和全站儀坐標(biāo)系的3個旋轉(zhuǎn)角(φ,ω,κ),以及坐標(biāo)系比例尺轉(zhuǎn)換系數(shù)m。這7個參數(shù)也被稱為相機相對于全站儀的姿態(tài)偏移參數(shù)OFFSET。

圖1 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換圖

(1)

其中，(X,Y,Z)表示物點在全站儀坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，Rφωκ表示xc,yc,zc3個方向的旋轉(zhuǎn)矩陣，(x,y,z)表示物點在CMOS相機坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。通過提前獲得參數(shù)，對星點拍照時每張圖像的OFFSET是一樣的，只需標(biāo)定坐標(biāo)轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)模型，發(fā)揮CMOS芯片的優(yōu)勢，達到圖像實時處理和快速獲取數(shù)據(jù)的目的[10]。

2 短時間星點軌跡分析

2.1 幾何模型法

亮星在夜空中運動，短時間內(nèi)在地球上觀測到的平均相對角運動為15″/s，其運動軌跡模型如圖2所示。

圖2 星點軌跡模型

其中，M,N為亮星軌跡上的兩個點，Q為MN間的角距，Q點為地球上的測站，由于地球距離亮星的距離為無窮遠，設(shè)距離為R=1。由圓弧計算式和三角形計算關(guān)系可知:

(2)

(3)

其中，Rn(x)為拉格朗日余項，ξ為0與x之間的不確定值。由于θ的值較小，取n=2，有:

(4)

令cosξ=-1使得Δθ取最大，則:

(5)

2.2 最小二乘曲線擬合法

數(shù)學(xué)原理擬合星點軌跡。CMOS圖像全站儀連續(xù)獲取星點的圖像信息，若每顆恒星拍攝n次，經(jīng)圖像處理和星點提取，獲得n組亮星在地平坐標(biāo)系下的水平角和高度角，令觀測時間x和水平角或者高度角組成坐標(biāo)(x1,y1),(x2,y2),……，(xn,yn)，之后對坐標(biāo)進行k階多項式最小二乘擬合。

(6)

這些多項式對應(yīng)的曲線不一定可以擬合所有點。因此，需計算出滿足式(7)的一組系數(shù)。

(7)

由式(8)對a0,a1,a2,…,ak求偏導(dǎo)，并令其為0求解所有系數(shù)的值。

(8)

對此范德蒙矩陣?yán)^續(xù)分解，令:

則式(8)可以分解為:XTXa=XTY,可得到a=(XTX)-1XTY，求出各參數(shù)的系數(shù)。由實驗數(shù)據(jù)，利用最小二乘方法擬合不同階次的曲線，計算系數(shù)。比較不同階曲線的擬合效果和殘差平方和，得出最為符合星點軌跡的曲線擬合方式。

3 實驗設(shè)計與數(shù)據(jù)分析

3.1 實驗設(shè)計

2020年8月10日晚20時，在我國華北地區(qū)某固定測站采集天文數(shù)據(jù)。采用測角精度為±0.5"的徠卡TS60圖像全站儀，粗瞄范圍廣，精瞄準(zhǔn)確度高；搭配Y/JGT-01天文測量系統(tǒng)，具體觀測條件如表1所示。

表1 觀測條件

3.2 數(shù)據(jù)分析

星點觀測數(shù)據(jù)經(jīng)過處理，可以更好展現(xiàn)星點運行軌跡。圖3是從所有觀測亮星中任取1顆，將其8次圖像像素疊加，從圖中可看出星點軌跡大致呈直線型。

圖3 星點軌跡像素疊加圖

從觀測數(shù)據(jù)分析，任選其中4顆亮星，每顆星的8張圖像經(jīng)圖像處理后獲得一組水平角、高度角的時間序列，分別將兩個方位角的時間序列與觀測時間進行不同階最小二乘擬合，計算各擬合方式的均方根誤差，如表2所示。由表中的數(shù)據(jù)可知，顯然一次擬合的精度更高，且計算復(fù)雜度更低，也說明短時間星點軌跡線性擬合為最佳擬合的準(zhǔn)確性。

表2 任意亮星多種擬合殘差平方和 (″)

另外，為研究擬合時間跨度對擬合精度的影響，將16個時段中所觀測的192顆星的方位角時序隨機選取時間范圍完成一次最小二乘擬合，并計算擬合的均方根誤差，如圖4所示，由于其他因素的影響，包括儀器觀測誤差、人儀差、星、溫度等外界觀測條件的變化，使得相同擬合時間的均方根相互之間存在差異，但絕大多數(shù)分布在一定精度范圍內(nèi)[11]。

圖4 192顆星方位角時序隨機擬合均方根誤差

另外，從圖4中發(fā)現(xiàn)相同擬合時間存在幾個互差較大的孤點，人工剔除孤點后，計算相同擬合時間均方根的平均值，如圖5，隨著擬合時間跨度的增加，均方根呈現(xiàn)上升的趨勢，且擬合時間不超過60 s時，均方根誤差不超過1″，驗證短時間星點軌跡線性擬合的可靠性，為天文測量中快速星點處理提供有價值的參考。

圖5 不同時間跨度的方位角時序擬合均方根平均值

4 結(jié)束語

從幾何模型中推導(dǎo)短時星點運動軌跡特征，之后建立數(shù)學(xué)模型并結(jié)合實測數(shù)據(jù)，將星點的方位角時序與觀測時間多階擬合，驗證短時星點軌跡時序線性擬合的準(zhǔn)確性。在此基礎(chǔ)上，對觀測亮星隨機劃分時間跨度擬合方位角時序，極大清晰地說明該結(jié)論的可靠性，且擬合時間跨度小于60 s時，均方根誤差不超過1″。文中的研究不僅對圖像全站儀應(yīng)用于天文測量具有重要意義，且根據(jù)該理論可預(yù)測亮星下一時刻的位置，以縮小星圖處理的范圍，從而加速星點質(zhì)心的提取速度。另外，觀測者可控制合理的觀測時間，以滿足高精度的天文測量。