劉東林王解先

1同濟大學測繪與地理信息學院，上海，200092

與傳統(tǒng)的全站儀測量相比，三維激光掃描技術的高效、快捷、精確、方便等優(yōu)點，使其在城市三維建模、礦山地質測繪、變形監(jiān)測和古跡測量等領域具有廣泛的應用［1］。在工業(yè)測量中，需要根據(jù)實際情況擬合各種圓柱形物體，進行圓柱擬合的目的就是計算得到圓柱的圓心坐標、方向和半徑［2］。

目前，常用的圓柱擬合方法中：高斯圖法、遺傳算法和特征值法這3種方法的理論模型較為復雜，不易理解和實現(xiàn)，由于參數(shù)之間的相關性，需要選取較為準確的初值且不具備抗差性；幾何特性法、圓度判別法和坐標轉換法這3種方法較容易理解和實現(xiàn)，但是對初值也有較強的依賴性，同時也不具備抗差性［3-5］。文獻［6］通過變換基于坐標轉換的誤差方程來降低參數(shù)之間的相關性。文獻［7］主要利用三倍中誤差探測法剔除粗差后實現(xiàn)了坐標轉換法擬合圓柱。文獻［8］主要介紹了再生權最小二乘法（selfborn weighted least squares，SBWLS）和其他穩(wěn)健估計方法的對比分析。本文將介紹一種有效可行的圓柱擬合方法，該方法基于坐標轉換擬合法和再生權最小二乘穩(wěn)健估計法，在降低參數(shù)對初值選取的要求的同時，也不用對觀測值進行粗差剔除處理，還可以擬合任意傾斜角度的圓柱。

1 擬合模型與參數(shù)估計方法

1.1 坐標轉換擬合法獲取初值

為了便于求解圓柱的幾何參數(shù)，以圓柱中心軸線與測量坐標系XOY平面的交點為坐標原點，圓柱中軸線為Z軸，建立圓柱標準坐標系，將測量坐標系X通過坐標轉換到標準坐標系Y［4］：

式中，X0=(x0y0z0)T為平移量；R=R1(α)R2(β)R3(γ)為旋轉矩陣；α、β、γ分別是繞3個坐標軸進行旋轉的角度。由標準坐標系的定義可知，標準坐標系與測量坐標系的z軸平行，因此有γ=0且z0可以任意選取，本文取z0=0。這樣，只需要求取x0、y0、α、β和圓柱半徑r這5個參數(shù)，就可以唯一確定圓柱的姿態(tài)和大小。

標準坐標系中圓柱面可表示為：

得到以測量點到圓柱表面的距離為殘差的誤差方程：

式中，x和y是標準坐標系中的點坐標；r為圓柱半徑。

將誤差方程轉換為矩陣的形式：

式中，Λ=diag(1 1 0)。且其中z0=0，γ=0為已知值，不參與參數(shù)求解。

將誤差方程線性化，由于存在根式，導致各參數(shù)之間的相關性很強，所以線性化過程中所舍棄的二次項不可忽略，因此需要較為準確的初值，若參數(shù)初值與真值偏差較大，在參數(shù)求解時很難拿收斂到正確的值，從而得不到正確的結果［3］。

為了降低各參數(shù)之間相關性，對誤差方程進行變換。令誤差方程為：

將誤差方程轉換為矩陣的形式：

與誤差方程式（4）相比，方程式（6）中沒有根式，故參數(shù)之間的相關性大大降低，這樣線性化過程中的二次項就可以舍去，降低了對參數(shù)初值選取的要求，避免參數(shù)求解錯誤。

根據(jù)間接平差迭代求取參數(shù)估值，但是該方法不是以圓度平方和最小為準則［7］，得到的結果并不是參數(shù)的最佳估值。但此時參數(shù)估值已經(jīng)較為準確，可以將其作為參數(shù)初值按式（5）的誤差方程再次迭代求解，從而得到參數(shù)的最佳估值?？捎墒剑?）得到圓柱面方程，由式（5）得到的殘差值即為圓柱的圓度值。

1.2 再生權最小二乘穩(wěn)健估計法

統(tǒng)計學家指出，觀測值中出現(xiàn)粗差的概率大概為1%～10%，這些粗差會降低參數(shù)估計的精度，因此，在參數(shù)估計的過程中，需要消除或減弱粗差對參數(shù)估計的影響。目前，對含粗差觀測值的處理方法主要有兩種，第一種是將含粗差觀測值視為期望異常，用統(tǒng)計檢驗法剔除含粗差的觀測值之后再進行參數(shù)估計；第二種是將含粗差觀測值視為方差異常，采用穩(wěn)健估計方法對其進行處理［8］。通過三維激光掃描獲取的點云數(shù)據(jù)中，包含了很多異常數(shù)據(jù)，根據(jù)點云數(shù)據(jù)對圓柱進行擬合時，在不進行粗差剔除的情況下擬合得到較為精確的圓柱參數(shù)。本文采用了穩(wěn)健估計方法中的SBWLS來解決這個問題。

SBWLS是一種有效可行的穩(wěn)健估計方法。它充分利用觀測值的改正數(shù)（殘差）條件方程提供的有效信息，用觀測值改正數(shù)的多個估值來構造觀測值的權，而不是直接用最小二乘法（least squares，LS）得到的觀測值改正數(shù)來計算觀測值的權。實驗證明，與其他常用的穩(wěn)健估計方法相比，SBWLS法能更有效地消除或減弱粗差對參數(shù)估計的影響［8］。

列出誤差方程：

式中，l=-(d+BX0-L)。

將式（8）中的系數(shù)矩陣B進行行變換，將其分為兩部分，其中Bt為t×t階的滿秩方陣，對V和l進行同步變換，得到Vt和lt：

由式（9）可得

用同一個觀測值改正數(shù)（殘差）的多個估值，由多個估值計算觀測值的再生方差，根據(jù)再生方差計算得到觀測值的再生權［9-11］。其計算公式為：

將計算得到的再生權作為觀測值的權，按LS法迭代求解參數(shù)估值的方法稱為SBWLS9］。

2 圓柱擬合計算實例

2.1 數(shù)據(jù)準備

掃描了某圓柱形物體，得到如表1所示的點云數(shù)據(jù)（人為的加入了一些粗差點）。點云三維散點圖如圖1所示，圖1中散布于集中點云周圍的點，即為粗差點。

表1 點云坐標數(shù)據(jù)Tab.1 Point Cloud Data

圖1 點云數(shù)據(jù)散點圖Fig.1 Coordinate 3D Scatter Images

2.2 圓柱擬合

基于上述方法擬合此點云柱面參數(shù)，將五參數(shù)初值設置為x0=0，y0=0，α=0，β=0，r=1。首先，使用初值任意選取的方法迭代求取參數(shù)，將此作為初值，分別使用LS（不抗差）和SBWLS（抗差）進行參數(shù)估計，比較分析兩種方法的平差結果。

從表2（表中參數(shù)含義見§1.1）可以得出，LS和SBWLS-1兩種方法平差參數(shù)結果接近，SBWLS-1法平差的單位權中誤差小于LS法，證明了SBWLS法的抗差性。圖2為圓柱擬合結果圖。

圖2 圓柱三維擬合圖Fig.2 Cylinder 3D Fitting Images

為了驗證該方法的通用性，將表1中的點云數(shù)據(jù)進行一定數(shù)值的坐標平移和旋轉變換，然后按照SBWLS法求解圓柱面參數(shù)，由表2中的SBWLS-2可得出，擬合結果中圓柱的半徑r不變，說明該方法能成功擬合各種情況下的圓柱。

為了進一步驗證該方法的正確性，本文采用文獻［6］中的實例數(shù)據(jù)（不含粗差），用SBWLS法的擬合結果與文獻［6］的擬合結果進行比較。如表3所示（表中參數(shù)含義見§1.1），可得出兩種方法的擬合結果基本一致，擬合精度也相當。

表3 兩種方法結果對比Tab.3 Comparison of Results of Two Methods

2.3 擬合結果評定

一般可以用中誤差、殘差、殘差分布特性等來評定圓柱面擬合結果［6］。SBWLS法計算得到的單位權中誤差為0.524 mm，與采集點云數(shù)據(jù)儀器的精度相吻合，說明此方法的擬合結果良好。另外，通過對計算結果進行統(tǒng)計分析，繪制殘差的折線圖和分布圖，如圖3（a）和圖4（a）所示，發(fā)現(xiàn)粗差點的殘差非常大。對非粗差點的殘差進行局部放大，如圖3（b）和圖4（b）所示，發(fā)現(xiàn)其分布呈現(xiàn)隨機性和正態(tài)性，符合偶然誤差的幾大特性。由此可以得出SBWLS法的擬合結果具有較高可靠性。

圖3 殘差（圓度）折線圖Fig.3 Residual Line Images

圖4 殘差（圓度）分布圖Fig.4 Residual Plot Images

3 結束語

在圓柱擬合的實際工程應用中，很多情況下無法知道圓柱參數(shù)的近似值，導致誤差方程結構不夠理想，同時觀測值中不可避免的存在一些粗差，因此僅僅依靠最小二乘法求解出正確的圓柱參數(shù)就比較困難。本文方法無需顧及初值選取、粗差探測。通過對含有粗差的不同方向的點云數(shù)據(jù)進行擬合，發(fā)現(xiàn)能夠有效地消除或減弱粗差對參數(shù)估計的影響；通過與其他圓柱面擬合的方法比較，發(fā)現(xiàn)該方法所求解的圓柱參數(shù)結果和精度符合實際，適用于各種情況下的圓柱擬合；通過進一步對參數(shù)結果進行統(tǒng)計分析，發(fā)現(xiàn)圓度的分布隨機且符合正態(tài)特性，驗證了該方法的正確性。