舒建明

(浙江省蘭溪市第一中學(xué) 321100)

解決問(wèn)題，需要我們首先要弄清題意，對(duì)題干進(jìn)行有效地瀏覽閱讀，并完成對(duì)題目的理解、分析、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化.然而，根據(jù)筆者多年觀察，現(xiàn)在很多學(xué)生在解答數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，往往都對(duì)題目條件一知半解，缺乏對(duì)題目的有效解讀，無(wú)法實(shí)現(xiàn)對(duì)問(wèn)題的清晰表達(dá).所以，能否順利解題，讀題并理解題意至關(guān)重要.

1 研究背景

這道題以向量為載體，以多變量最值為背景，考查向量的數(shù)量積運(yùn)算和向量模的概念及對(duì)幾何意義的理解，對(duì)大部分學(xué)生來(lái)說(shuō)，要完全正確地解答出來(lái)，確實(shí)有一定的難度.但問(wèn)題是，很多學(xué)生根本就無(wú)法理解題意.典型的陷入困境的做法如下：

e1·e2=|e1|·|e2|cosθ，b·e1=|b|·|e1|cosθ1=2，|b-(xe1+ye2)|2≥|b-(x0e1+y0e2)|2=1.

大部分學(xué)生面對(duì)數(shù)量積選擇定義，面對(duì)模就直接平方.不能否定他們的選擇就是錯(cuò)誤的，但問(wèn)題是他們并沒(méi)有多花一點(diǎn)時(shí)間去理解題意，而倉(cāng)促動(dòng)筆.理解題目中的x0，y0，也不清楚不等式|b-(xe1+ye2)|≥|b-(x0e1+y0e2)|=1(x0，y0∈R)所暗含的含義.其實(shí)對(duì)于這個(gè)不等式，在必修1中有一個(gè)關(guān)于最值的定義：

一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：

(1)對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≤M;

(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.

那么 ，我們稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值.

在該題中，如果對(duì)這個(gè)定義有一定的了解，我們應(yīng)該很容易知道|b-(xe1+ye2)|≥|b-(x0e1+y0e2)|=1(x0，y0∈R)的含義，即當(dāng)x=x0,y=y0時(shí)，|b-(xe1+ye2)|取到最小值1.

另外，對(duì)數(shù)量積運(yùn)算b·e1=|b|·|e1|cosθ1=2理解的單一化，也造成思維的局限性.我們知道，求數(shù)量積的運(yùn)算除了根據(jù)定義，還有幾何意義，即：b·e1的幾何意義是|b|與b在e1方向上的投影的乘積；還有坐標(biāo)法，甚至極化恒等式.所有這些方法的多樣化選擇，也會(huì)有助于我們對(duì)題目的理解，并選擇正確的方向進(jìn)行求解.

本題中出現(xiàn)的讀題障礙，只是整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生問(wèn)題解決的一個(gè)縮影.在日常的學(xué)習(xí)中，我們的學(xué)生由于要完成大量的練習(xí)，而往往缺少對(duì)問(wèn)題進(jìn)行有效解讀，讀懂題目含義.再加上數(shù)學(xué)語(yǔ)言的抽象化、符號(hào)化等特征，也增加了學(xué)生閱讀理解的難度.

2 理論基礎(chǔ)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出，通過(guò)高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來(lái)發(fā)展所必需的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想，基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力.因此，我們?cè)陉P(guān)注學(xué)生掌握知識(shí)技能的同時(shí)，更關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，用數(shù)學(xué)思維去分析解讀問(wèn)題.

按照波利亞《怎樣解題》中提出的解題步驟：第一，弄清問(wèn)題；第二，擬定計(jì)劃；第三，實(shí)現(xiàn)計(jì)劃；第四，回顧.其中，弄清問(wèn)題是我們開(kāi)始解題的第一步，同時(shí)它包含了兩個(gè)階段：熟悉問(wèn)題和深入理解問(wèn)題.而要弄清問(wèn)題直至深入理解，這一切就要求我們學(xué)生具有較強(qiáng)的讀題能力，知道已知什么，要我們做什么，并由此尋找與此相關(guān)的信息點(diǎn)，以完成由已知到未知的過(guò)渡.

3 提高讀題能力的措施分析

3.1 重視數(shù)學(xué)語(yǔ)言教學(xué)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的水平劃分明確要求，學(xué)生能夠理解用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)的概念、規(guī)則、推理和論證. 蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家斯托利亞爾認(rèn)為：“數(shù)學(xué)教學(xué)也就是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的教學(xué).”懂得數(shù)學(xué)語(yǔ)言是我們進(jìn)行數(shù)學(xué)問(wèn)題解讀并理解題目的基礎(chǔ).數(shù)學(xué)語(yǔ)言包括文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言，以及將數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)化后的自然語(yǔ)言.

數(shù)學(xué)讀題過(guò)程重在理解，它是內(nèi)部語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化過(guò)程，最終是要用自己的語(yǔ)言來(lái)理解題目的已知和要求，它是對(duì)新知識(shí)的同化和順應(yīng)的過(guò)程.在閱讀時(shí)，往往需要完成各種語(yǔ)言間的轉(zhuǎn)化.

對(duì)于語(yǔ)言的教學(xué)，從學(xué)生進(jìn)入高中學(xué)習(xí)第一課開(kāi)始，書(shū)本教材中就有所體現(xiàn)了，即集合.集合語(yǔ)言是數(shù)學(xué)語(yǔ)言中的最明顯的代表，它貫穿了我們整個(gè)高中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終.

A. min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|}

B. min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|}

C. max{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2

D. max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2

讀題剖析第一步：選項(xiàng)呈現(xiàn)符號(hào)語(yǔ)言.

max{|a+b|2,|a-b|2}和|a|2+|b|2.

第二步：由向量加法減法的幾何意義，考慮平行四邊形，即圖形語(yǔ)言.

圖1

第三步：將題目條件結(jié)合圖1內(nèi)化為自己的語(yǔ)言，即自然語(yǔ)言.兩對(duì)角線中較大的與兩鄰邊的平方比較大小，該圖中就是研究△ABC中的三邊,有平方和的結(jié)構(gòu)考慮余弦定理.

第四步：利用數(shù)學(xué)的文字語(yǔ)言，將其代數(shù)化.

此時(shí)，我們首先要讀懂題目中的這些符號(hào)語(yǔ)言，將這些符號(hào)語(yǔ)言用自己通俗的話語(yǔ)(即自然語(yǔ)言)加以表達(dá)，以便能夠更好地理解題目的含義.最后，又將自己對(duì)該題的理解轉(zhuǎn)化為文字語(yǔ)言，以便能夠進(jìn)行書(shū)面表達(dá)和運(yùn)算.

3.2 強(qiáng)化基于直觀想象下的問(wèn)題解讀能力培養(yǎng)

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng).在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，很多抽象的概念和內(nèi)容，需要我們從形的角度進(jìn)行理解，由形析數(shù)，是我們發(fā)現(xiàn)和解讀問(wèn)題的重要手段.

讀題剖析條件1:由a·b=a2，得|b|cos=|a| (b在a方向上投影等于|a|)，形：如圖2所示.

圖2 圖3

我們通過(guò)直觀想象，建立數(shù)與形的聯(lián)系，借助幾何直觀來(lái)理解問(wèn)題，最終轉(zhuǎn)化為一個(gè)解三角形的問(wèn)題.直觀想象在最初的問(wèn)題解讀過(guò)程中，不僅加深了對(duì)題目的理解，而且起到了方向性的作用.

3.3 加強(qiáng)知識(shí)的關(guān)聯(lián)性教學(xué)，促進(jìn)邏輯推理素養(yǎng)的提升

邏輯推理素養(yǎng)的基本水平要求是能夠結(jié)合與學(xué)過(guò)的知識(shí)有關(guān)聯(lián)的命題，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的條件與結(jié)論的分析探索論證的思路.對(duì)于較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，能夠通過(guò)構(gòu)建過(guò)渡性命題，探索論證的途徑.

對(duì)本題來(lái)說(shuō)，學(xué)生的解題思路無(wú)可非議，他所找到的與問(wèn)題相關(guān)的關(guān)聯(lián)性問(wèn)題就是“平方關(guān)系”.但是，我們?nèi)绻屑?xì)分析題干條件，和要求對(duì)象間的聯(lián)系，本題還有其它的知識(shí)關(guān)聯(lián)性.

目標(biāo)引導(dǎo)的關(guān)聯(lián)性：cos2α=cos2α-sin2α=(cosα+sinα)(cosα-sinα).

通過(guò)對(duì)條件和結(jié)論關(guān)聯(lián)性的邏輯推理，我們就很明確本題的另外一種解題策略.

3.4 給予學(xué)生進(jìn)行閱讀的機(jī)會(huì)

數(shù)學(xué)讀題能力的提高除了教師要教會(huì)學(xué)生能夠讀懂各種數(shù)學(xué)的語(yǔ)言，并能實(shí)現(xiàn)有效的相互轉(zhuǎn)化，以及教給學(xué)生各種閱讀的方法外，還要在日常的課堂教學(xué)中給予學(xué)生更多的自我閱讀機(jī)會(huì)，如閱讀教材.

案例5必修1《函數(shù)的概念》

應(yīng)該說(shuō)這個(gè)概念相比較初中時(shí)候的函數(shù)概念更加抽象，它從集合角度定義了兩個(gè)變量間的關(guān)系，里面的關(guān)鍵點(diǎn)是“非空數(shù)集，任意性和唯一性”.在課前5分鐘，我讓學(xué)生自己閱讀教材.盡管結(jié)果可能并不如我們所愿，但我們卻給予了學(xué)生靜心閱讀的機(jī)會(huì)，讓他們自己去讀懂各種各樣的例子、符號(hào)，抽象出內(nèi)容的精髓.

數(shù)學(xué)的題目數(shù)不勝數(shù)，花樣變化萬(wàn)千，唯有我們踏踏實(shí)實(shí)地提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思維去思考和解讀問(wèn)題，我們才能以不變應(yīng)萬(wàn)變?nèi)プx懂它，理解它，我們才有可能找到解決它的辦法.