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        對接賦值非良策 化整為零乃妙方
        ——對一類數(shù)列求和問題的分析與思考

        2022-04-01 11:28:00葉誠理林新建林品玲
        數(shù)理化解題研究 2022年7期
        關(guān)鍵詞:賦值導(dǎo)數(shù)命題

        葉誠理 林新建 林品玲

        (1.福建省福清第一中學(xué) 350300;2.福建省福清進修學(xué)校 350300)

        以函數(shù)、導(dǎo)數(shù)為背景的數(shù)列求和取值范圍問題,是近年來高考壓軸題的??停畬Ψ浅R?guī)的數(shù)列求和問題學(xué)生往往束手無策,需要從數(shù)學(xué)思想方法的高度對問題進行化歸轉(zhuǎn)化、構(gòu)造賦值,難度極高.那么,有沒有比較自然的解題策略呢?下面舉一道典型例題加以剖析.

        1 試題呈現(xiàn)

        (2)若不等式f(x)≥1在x∈[0,+∞)時恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;

        2 命題意圖分析

        本題考查導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用,旨在運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、不等式恒成立問題以及構(gòu)造函數(shù)證明數(shù)列不等式的方法,綜合性較強,考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力,考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和邏輯推理等核心素養(yǎng).

        3 解答難點剖析

        本題難在第(3)問,對于這類出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)壓軸題中的數(shù)列求和不等式問題,常見的解題套路是對接前面的函數(shù)不等式結(jié)論,對變量x有效賦值,結(jié)合對數(shù)運算,從而構(gòu)造與結(jié)論相匹配的數(shù)列通項,利用數(shù)列求和的裂項相消法證得不等式.

        將上述式子相加可得:

        原不等式得證.

        評析對考生而言,完成以上這樣的對接賦值具有極高的難度,需要較強的數(shù)學(xué)抽象能力和直觀想象能力,他們往往束手無策,望題興嘆而已!

        4 難點突破策略

        由此可運用化整為零策略,令

        當(dāng)n≥2時,則

        bn=Sn-Sn-1

        由此只需證明

        求導(dǎo)或利用第(2)問的結(jié)論便可輕松予以證明.

        故對任意n∈N*,an

        5 命題路徑探秘

        將函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式結(jié)合的綜合問題是近年來高考的熱門題型.解題者遵循“求和看通項”這種化整為零的思路破解這類試題,而命題者則遵循“從通項生成和”這種逆向思維命制試題,命題過程中充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化、化整為零的數(shù)學(xué)思想,本種命題手法在全國高考卷中屢見不鮮.

        例2 (2017年全國Ⅲ卷理科22)已知函數(shù)f(x)=x-1-alnx.

        (1)若f(x)≥0,求a的值;

        進而不等式兩邊分別構(gòu)造兩個數(shù)列,其中右邊轉(zhuǎn)化成常規(guī)的等比數(shù)列求和,問題便水到渠成.

        例3 (2014年高考全國Ⅱ卷理科17題)已知{an}滿足a1=1,an+1=3an+1.

        6 教學(xué)研究感悟

        為什么有許多學(xué)生解決不了一些并不復(fù)雜甚至是簡單的數(shù)學(xué)問題呢?除了極少數(shù)學(xué)生不知道相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識外,絕大部分學(xué)生不是不會方法,而是由于沒有站在思想的高度來思考和引領(lǐng)方法,或者是因為思想不明確而想不起來用什么方法來處理問題.

        上述試題的自然解法源于數(shù)學(xué)思想的指引,善于觀察不等式的結(jié)構(gòu)特征,把不等式兩邊看成兩個數(shù)列的求和,從而構(gòu)造兩個數(shù)列,把研究和的大小轉(zhuǎn)化成判斷通項的大小,體現(xiàn)了化整為零、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程思想在數(shù)學(xué)解題中的重要作用.

        解題是命題的基礎(chǔ),命題是解題的超越.作為一線數(shù)學(xué)老師,不但要研究試題的解題方法、分析試題的產(chǎn)生背景,還要揣摩命題者的思路、懂得試題的命制原理,這樣才能促使自己在教學(xué)中能更好地引領(lǐng)學(xué)生把握試題的本質(zhì),從數(shù)學(xué)思想方法的高度提高解題的能力和素養(yǎng).

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